Funktionen
Schnittpunkte und Schnittwinkel
 – Video
Video anzeigen

Was genau ein Schnittwinkel ist und wie du ihn bei linearen und allgemeinen Funktionen bestimmen kannst, erfährst du hier und in unserem Video!

Schnittwinkel einfach erklärt

Ein Schnittwinkel ist ein Winkel zwischen zwei Funktionen, die sich schneiden. Du hast bestimmt schon einmal gesehen, wie sich zwei Geraden schneiden und vier Schnittwinkel entstehen. In diesem Fall sind die jeweils gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Der für dich relevante Schnittwinkel α ist aber meist der kleinere Winkel (< 90°).

Alpha und Beta sind Nebenwinkel und ergeben zusammen 180 Grad: α + β = 180°

Schnittwinkel berechnen, schnittwinkel bestimmen, schnittwinkelproblem, schnittwinkel zweier geraden, winkel zwischen zwei geraden
direkt ins Video springen
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Damit aber erstmal ein Winkel zwischen zwei Geraden entstehen kann, brauchst du einen Schnittpunkt. Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie eine unterschiedliche Steigung besitzen. 

Die Geraden y = 2x-1 und y = 2x+4 haben zum Beispiel die gleiche Steigung m1 = m2. Sie sind parallel zueinander und erfüllen daher die Voraussetzung nicht.

Schnittwinkel berechnen — Formel

Wie kannst du den Schnittwinkel α nun berechnen? Du hast beispielsweise zwei Geraden gegeben. Relevant sind hier die beiden Steigungen m1 und m2, die du in die folgende Formel einsetzt. Das Ergebnis ist der gesuchte Schnittwinkel α

    \[tan(\textcolor{blue}{\alpha})=\left|\frac{\textcolor{red}{m_{1}} - \textcolor{cyan}{m_{2}}}{1+\textcolor{red}{m_{1}}\cdot \textcolor{cyan}{m_{2}}}\right|\]

Die Betragszeichen | brauchst du, damit das Vorzeichen der Zahl wegfällt und kein negativer Winkel herauskommt: |-2| = 2.

Damit du direkt los rechnen kannst, haben wir dir die Formel auch schon nach α umgestellt :

    \[\textcolor{blue}{\alpha}=tan^{-1} \left(\left| \frac{\textcolor{red}{m_{1}} - \textcolor{cyan}{m_{2}}}{1+\textcolor{red}{m_{1}}\cdot \textcolor{cyan}{m_{2}}} \right|\right)\]

Vorsicht: Damit du dein Ergebnis in Grad rausbekommst, musst du den Taschenrechner auf Degree (DEG) stellen. Den Arcustangens selbst findest du auf deinem Taschenrechner meistens als tan-1 oder arctan. 

Du bist gerade auf der Suche nach einem dualen Studium oder Ausbildungsplatz? Wir von Studyflix helfen dir weiter. Im Studyflix Ausbildungsportal warten über 20.000 freie Plätze auf dich. Schau doch mal vorbei.

Du willst wissen, wofür du das Thema Schnittwinkel berechnen lernst? Über das Studyflix Jobportal kannst du dich auf die Suche nach Praxiserfahrung begeben. Hier warten über 20.000 Praktika, Werkstudentenstellen, Einstiegsjobs und auch Abschlussarbeiten auf dich. Schau doch mal vorbei.

Schnittwinkel berechnen — Beispiele

Im Folgenden sind jeweils zwei Geraden gegeben, die sich schneiden. Sie haben also einen Schnittpunkt und erfüllen damit die Voraussetzung dafür, dass es einen Schnittwinkel α gibt.

Beispiel 1:

g: y = -0,5x – 1

h: y = 3x

Um den Schnittwinkel α zu bestimmen, setzt du die Steigungen der Funktionen in die Formel ein: 

\textcolor{blue}{\alpha}=tan^{-1} \left(\left| \frac{\textcolor{red}{(-0,5)} - \textcolor{cyan}{3}}{1+\textcolor{red}{(-0,5)}\cdot \textcolor{cyan}{3}} \right|\right)=81,87^\circ

Beispiel 2:

g: y = 2x + 4

h: y = x + 3

Wenn vor dem x keine Zahl steht, dann denke dir eine 1 oder bei einem Minus eine -1 dazu. 

Um denSchnittwinkel α zu bestimmen, setzt du die Steigungen der Funktionen in die Formel ein:

\textcolor{blue}{\alpha}=tan^{-1} \left(\left| \frac{\textcolor{red}{2} - \textcolor{cyan}{(-1)}}{1+\textcolor{red}{2}\cdot \textcolor{cyan}{(-1)}} \right|\right)=71,57^\circ

Ausnahme: 90 Grad Winkel

Wenn m1· m= -1 ergibt, dann schneiden sich die Geraden in einem 90 Grad Winkel (rechter Winkel). Das bedeutet, dass sie senkrecht aufeinander stehen und die Formel nicht angewendet werden kann. Dein Taschenrechner wird dich aber mit einem „Error“ darauf hinweisen. In diesem Fall kannst du dann mit m1 · m2 = -1 überprüfen, ob der Fehler daher kommt. Du weißt dann direkt, dass der Schnittwinkel 90 Grad beträgt.

Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen

Ein Schnittwinkel kann nicht nur zwischen zwei Geraden, sondern auch zwischen einer Geraden und den Koordinatenachsen entstehen. Es bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck.

Schnittwinkel mit koordinatenachsen, Schnittwinkel berechnen, schnittwinkel bestimmen, schnittwinkelproblem, schnittwinkel zweier geraden, winkel zwischen zwei geraden
direkt ins Video springen
Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen

Um hier die Schnittwinkel zu berechnen, schau dir die folgenden Schritte an:

  1. Schritt: Schnittwinkel α mit der x-Achse α = tan-1 (|m|)

    Der Schnittwinkel mit der x-Achse wird auch Steigungswinkel genannt.

  2. Schritt: Schnittwinkel β mit der y-Achse β = 180° – 90° – α
    Da ein Dreieck immer eine Winkelsumme von 180° hat, kannst du den rechten Winkel (90°) sowie den Winkel α davon abziehen. So erhältst du den Winkel β.

Beispiel: y = -2x + 5

1. Schritt: α = tan-1 (|-2|) = tan-1 (2) = 63,43°

2. Schritt: β = 180° – 90° – 63,43° = 26,57°

Schnittwinkel von Funktionen

Andere Funktionen wie Parabeln können auch mit Geraden einen Schnittwinkel bilden. Zur Berechnung der Schnittwinkel brauchst du die Steigungen beider Funktionen. Bei einer Parabel kannst du die Steigung aber nicht direkt ablesen. In diesem Fall bildest du zuerst die Ableitung . Vielleicht hast du schonmal gehört, dass die Ableitung die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt darstellt. Hier schaust du dir die Steigung in dem Schnittpunkt an. Der Schnittwinkel entsteht dann zwischen der Tangenten in dem Schnittpunkt und der Geraden.

Schnittwinkel einer Geraden und Parabel, Schnittwinkel berechnen, schnittwinkel bestimmen, schnittwinkelproblem, schnittwinkel zweier geraden, winkel zwischen zwei geraden
direkt ins Video springen
Schnittwinkel einer Parabel und einer Geraden

Schneiden sich die Gerade g und die Parabel f im Punkt P (a|f(a)) kannst du folgende Formel anwenden:

    \[\textcolor{blue}{\alpha}= | tan^{-1} (\textcolor{red}{f'(a)}) - tan^{-1} (\textcolor{cyan}{g'(a)}) |\]

Beispielrechnung für den Schnittwinkel

g: g(x) = 2x + 5

f: f(x) = x+ 2

Die Gerade g und die Parabel f schneiden sich in den Punkten P (-1|3) und Q (3|11). Du kannst nun für beide Punkte einen Schnittwinkel berechnen. Im Beispiel arbeitest du mit dem Punkt P.

Zuerst leitest du die Parabel f und die Gerade g ab:

f'(x) = 2x

g'(x) = 2

Dann setzt du die x-Koordinate des Schnittpunktes P (-1|3) ein:

f'(-1) = 2 · (-1) = -2

g'(-1) = 2

Nun hast du alle Komponenten, um die oben genannte Formel anzuwenden:

\textcolor{blue}{\alpha}= |tan^{-1} (\textcolor{red}{(-2)}) - tan^{-1} (\textcolor{cyan}{2})|=126,87^\circ 

Wie du im ersten Kapitel bereits gelernt hast, ist der kleinere Winkel der gesuchte Schnittwinkel. Deswegen musst du von 180° noch die 126,87° abziehen.

180° – 126,87° = 53,13°

Schnittwinkel berechnen — häufigste Fragen

  • Was ist ein Schnittwinkel?
    Ein Schnittwinkel ist ein Winkel zwischen beispielsweise zwei sich schneidenden Geraden. Meistens ist der gesuchte Schnittwinkel der kleinere Winkel (> 90 Grad).

  • Wie berechnest du den Schnittwinkel zweier Geraden?
    Den Schnittwinkel zweier Geraden berechnest du, indem du die Steigung beider Geraden in die Formel einsetzt.

  • Wie berechnest du den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Parabel?
    Den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Parabel berechnest du mithilfe der Ableitung. So kannst du die Steigung am Schnittpunkt herausfinden und in die Formel einsetzen. 

Steigungswinkel

Nachdem du das Schnittwinkelproblem gelöst hast und nun weißt, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden oder einer Geraden und einer Parabel bestimmst, kannst du dir auch anschauen, wie ein Steigungswinkel entsteht. Hier geht’s zum Video !

Zum Video: Steigungswinkel
Zum Video: Steigungswinkel

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.