Verhalten im Unendlichen (Video)

Erfahre in diesem kurzem Erklärvideo, wie sich Funktionen unendlich verhalten. Wir zeigen dir leicht verständlich, was passiert, wenn Zahlen gegen Unendlich streben.

VIDEOSKRIPT

Du fragst dich was es mit dem Verhalten im Unendlichen auf sich hat? Dann bist du hier genau richtig!

Verhalten im Unendlichen einfach erklärt

Immer wenn du den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem siehst, erkennst du eigentlich nur einen kleinen Ausschnitt. So wie bei der Normalparabel hier.

Normalparabel – Wikipedia

Denn der Graph geht unendlich lang weiter. Du kannst hier also erahnen, dass der Funktionswert immer weiter steigt, je größer oder auch kleiner die x-Werte werden.

Eine Funktion kann sich jedoch auch anders verhalten: Sie kann entweder steigen, sinken oder sich einem konstanten Wert annähern. Wenn du wissen willst, auf welche der Arten sich eine Funktion im Unendlichen verhält, musst du dir ansehen, was passiert, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden. Deswegen setzt du sehr große oder sehr kleine Werte für das x in die Funktion ein. X geht bei der Funktion f(x)=x^2 also immer gegen plus oder minus unendlich. Um das festzuhalten, schreibst du das so unter den Limes: Grenzwert – MatheGuru

Der Limes drückt allgemein das Grenzverhalten einer Funktion aus. Unter ihm steht die Veränderung des X-Wertes und nach ihm, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält

Verhalten im Unendlichen – Beispiel ganzrationale Funktion

Sieh dir zum Beispiel die Funktion f von x ist gleich zwei x hoch drei plus vier x Quadrat plus fünf an, um das noch genauer zu verstehen.

verhalten für x gegen unendlich, verhalten gegen unendlich, verhalten im unendlichen ganzrationale Funktion, kurvendiskussion verhalten im unendlichen, grenzverhalten

Bei solchen Funktionen, die mehrere x haben, schaust du dir immer nur das x mit dem höchsten Exponenten an. Das ist hier die zwei x hoch drei.

Wenn du für das x nun sehr hohe Werte einsetzt, wird auch der Funktionswert immer höher. Im Gegensatz dazu ergeben immer kleinere X werte auch niedrigere Funktionswerte. Das liegt an der ungeraden Hochzahl. Bei geraden Potenzen, verschwindet das Minuszeichen, während bei ungeraden Hochzahlen das Minus bleibt.

Deine Beobachtungen fasst du dann als Limes zusammen. Du schreibst also mit dem Limes: für x gegen plus unendlich geht die Funktion zwei x hoch drei plus vier x Quadrat plus fünf gegen plus unendlich. Und für x gegen minus unendlich geht sie gegen minus unendlich.

lim𝑥→+∞2𝑥3+4𝑥2+5=+∞
lim
�
→
+
∞
⁡
2
�
3
+
4
�
2
+
5
=
+
∞

lim𝑥→−∞2𝑥3+4𝑥2+5=−∞
lim
�
→
−
∞
⁡
2
�
3
+
4
�
2
+
5
=
−
∞

Super! Du hast die erste Funktion auf ihr Verhalten im Unendlichen untersucht!

Verhalten im Unendlichen – E Funktion

Eine besondere Funktion, die sich im Unendlichen auch unterschiedlich verhält ist die E Funktion. Dafür ist das Beispiel minus e hoch drei x gegeben.

Wenn die x-Werte immer größer werden, werden die Funktionswerte dagegen immer kleiner. Im Gegensatz dazu nähern sich die Funktionswerte bei immer kleineren x Werten 0 an. Sie werden aber nie ganz null. Die limes-Schreibweise sieht dann am Ende so aus. Für x gegen plus unendlich geht minus e hoch drei x gegen 0. Für x gegen minus unendlich geht minus e hoch drei x gegen minus unendlich.

lim𝑥→+∞−𝑒3𝑥= 0
lim
�
→
+
∞
⁡
−
�
3
�
=

0

lim𝑥→−∞−𝑒3𝑥=−∞
lim
�
→
−
∞
⁡
−
�
3
�
=
−
∞

Prima! Du hast auch die zweite Funktion untersucht!

Verhalten im Unendlichen – Gebrochenrationale Funktion

Schau dir jetzt noch eine etwas komplexere Funktion an. Die gebrochenrationale Funktion vier x plus 3 geteilt durch fünf x Quadrat.

Bei gebrochenrationalen Funktionen ist wichtig, ob Zähler oder Nenner des Terms größer ist. In unserem Beispiel ist das der Nenner, weil hier die größere Potenz fünf x Quadrat steht. Immer wenn die Potenz im Nenner größer ist, geht die Funktion im Unendlichen gegen null. Also kannst du auch so den Limes formulieren. Allerdings kannst du ihn hier zusammenfassen, weil das Verhalten für x gegen plus und minus unendlich gleich ist: Für x gegen plus und minus unendlich geht vier x plus 3 geteilt durch fünf x Quadrat gegen null.

lim𝑥→±∞4𝑥+35𝑥2=0
lim
�
→
±
∞
⁡
4
�
+
3
5
�
2
=
0

Wenn jedoch nicht der Nenner größer ist, verhält sich die Funktion im Unendlichen anders. Ist der Zähler größer als der Nenner, geht die Funktion entweder gegen plus oder minus unendlich. Wenn der Zähler und Nenner gleich groß sind, dann geht die Funktion gegen einen konstanten Wert K.

Outro

Super! Du kannst nun verschiedene Funktionen auf ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen! Das Thema ist ein Schritt der Kurvendiskussion. Um auch die anderen Schritte zu lernen, schau in unser Video dazu rein!