Was sind Koeffizientenmatrix A, Variablenvektor x und Ergebnisvektor b in einem linearen Gleichungssystem?

In der Matrixgleichung enthält A die Koeffizienten der Unbekannten. Der Vektor x sammelt alle Variablen, die du suchst. Der Vektor b enthält die Ergebnisse auf der rechten Seite der Gleichungen, also die bekannten Werte.

Wie gehe ich bei der Cramerschen Regel Schritt für Schritt vor, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen?

Du löst mit der Cramerschen Regel, indem du zuerst berechnest. Danach ersetzt du für jede Unbekannte die i-te Spalte von A durch b und berechnest . Am Ende teilst du durch und erhältst .

Wie berechne ich die Determinante einer 3×3-Matrix mit der Regel von Sarrus?

Bei der Regel von Sarrus schreibst du die 3×3-Matrix zweimal nebeneinander und bildest Diagonalprodukte. Die drei Diagonalen von oben zählen positiv, die drei Diagonalen von unten negativ. Konkret: .

Wie bilde ich die Matrix Aᵢ für die Cramersche Regel richtig?

Die Matrix bildest du, indem du in der Matrix A genau die i-te Spalte durch den Ergebnisvektor b ersetzt. Alle anderen Spalten bleiben unverändert an ihrem Platz. Danach berechnest du die Determinante dieser neuen Matrix, also .

Wie bekomme ich aus det(A) und det(Aᵢ) am Ende die Unbekannte xᵢ?

Die Unbekannte erhältst du, indem du durch teilst: . So wird aus jeder ersetzten Spalte ein eigener Bruchwert. Im Beispiel gilt etwa .

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Cramersche Regel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Cramersche Regel einfach erklärt

(00:26)

Anwendung der Cramerschen Regel

(00:41)

Berechnen der Determinanten A

(00:59)

Gleichungssysteme in der Schaltungsanalyse

(02:23)

Dieser Artikel beschäftigt sich mich dem Lösen von Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. Wir zeigen dir wie du sie richtig anwendest und demonstrieren sie dir an einem Beispiel aus der Elektrotechnik.

Schau für eine Zusammenfassung auch gerne in unser Video dazu rein.

Inhaltsübersicht

Cramersche Regel einfach erklärt

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(00:26)

Die Cramersche Regel ist ein Verfahren zur Bestimmung der Unbekannten eines linearen Gleichungssystems.

Ein lineares Gleichungssystem besteht allgemein aus einer Koeffizientenmatrix , dem Variablenvektor und dem Ergebnisvektor .

Cramersche Regel, Matrix, Matrixgleichung — Cramersche Regel, Matrixgleichung

Die Cramersche Regel lässt sich in drei Schritte unterteilen:

Bestimmen der Determinante der Matrix
Ersetzen der i-ten Spalte der Matrix mit dem Ergebnisvektor des Systems und Bestimmen der Determinanten
Division der Determinanten durch die Determinante zur Bestimmung der Unbekannten

Anwendung der Cramerschen Regel

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(00:41)

Bei der Cramerschen Regel handelt es sich um ein systematisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystem, das mit Determinanten arbeitet. Eine weitere Möglichkeit ist das Gaußsche Eliminationsverfahren .

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Berechnen der Determinanten A

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(00:59)

Um ein Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel zu lösen, musst du zuerst die Determinanten der Matrix bestimmen. Beispielsweise haben wir in den Gleichungssystemen der Maschenstrom- und Knotenpotentialverfahren eine 3×3 Matrix. Diese lässt sich mit der so genannten Regel von Sarrus, oder auch Zaunregel, berechnen.

Regel von Sarrus

Um die Regel von Sarrus anzuwenden, schreibst du am Besten die Matrix zwei Mal nebeneinander. Dann multiplizierst du alle Werte, die diagonal zueinander stehen. Die drei Terme, bei denen du oben startest, werden positiv und die Terme, bei denen du unten startest, negative berücksichtigt. So kannst du die Determinante berechnen.

$det(A)= \left( + a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c\cdot d\cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b \right)$

Berechnen der Determinanten Ai

Zur Berechnung der Determinanten A_i ersetzt du in die i-te Spalte der Matrix mit dem Ergebnisvektor . Anschließlich bestimmst du die Determinante A_i dieser neuen Matrix. In diesem Fall erneut mit der Regel von Sarrus.

Cramersche Regel, Regel von Sarrus, Matrix, Determinante — Einsetzen des Ergebisvektors in die Matrixgleichung

Berechnen der Unbekannten

Nachdem du jetzt deine Determinanten A_i , also A_1 , A_2 und A_3 , kannst du deine Unbekannten x_i über folgende Formel bestimmen.

$x_i= \frac{det(A_i)}{det(A)}$

Gleichungssysteme in der Schaltungsanalyse

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(02:23)

Wenn wir elektronische Schaltungen mit dem Maschenstrom– oder Knotenpunktpotentialverfahren analysieren, ergibt sich immer bei Gleichungssystemen aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Jedes System aus linearen Gleichungen lässt sich auch als Matrixgleichung schreiben.

Cramersche Regel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sind Koeffizientenmatrix A, Variablenvektor x und Ergebnisvektor b in einem linearen Gleichungssystem?

In der Matrixgleichung $A \cdot x = b$ enthält A die Koeffizienten der Unbekannten. Der Vektor x sammelt alle Variablen, die du suchst. Der Vektor b enthält die Ergebnisse auf der rechten Seite der Gleichungen, also die bekannten Werte.
Wie gehe ich bei der Cramerschen Regel Schritt für Schritt vor, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen?

Du löst mit der Cramerschen Regel, indem du zuerst berechnest. Danach ersetzt du für jede Unbekannte die i-te Spalte von A durch b und berechnest . Am Ende teilst du durch und erhältst .
Wie berechne ich die Determinante einer 3×3-Matrix mit der Regel von Sarrus?

Bei der Regel von Sarrus schreibst du die 3×3-Matrix zweimal nebeneinander und bildest Diagonalprodukte. Die drei Diagonalen von oben zählen positiv, die drei Diagonalen von unten negativ. Konkret: .
Wie bilde ich die Matrix Aᵢ für die Cramersche Regel richtig?

Die Matrix bildest du, indem du in der Matrix A genau die i-te Spalte durch den Ergebnisvektor b ersetzt. Alle anderen Spalten bleiben unverändert an ihrem Platz. Danach berechnest du die Determinante dieser neuen Matrix, also .
Wie bekomme ich aus det(A) und det(Aᵢ) am Ende die Unbekannte xᵢ?

Die Unbekannte erhältst du, indem du durch teilst: $x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)}$ . So wird aus jeder ersetzten Spalte ein eigener Bruchwert. Im Beispiel gilt etwa $I_{m1}=\frac{60}{16}=3,75A$ .

Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel lösen – Beispiel

Schauen wir uns das ganze mal an einem Beispiel für die Anwendung der Cramerschen Regel an. In unserem Beitrag zum Maschenstromverfahren kamen wir am Ende auf folgendes Gleichungssystem:

Gesucht sind die Maschenströme $I_{m1}$ , $I_{m2}$ , und $I_{m3}$ . Alle Wiederstände sind gleich groß und haben den Wert 1 Ohm. Die Spannungsquelle $U_{q0}$ hat 5 Volt und die Quelle $U_{q0}$ liefert 20 Volt. Wenn wir die Werte einsetzen, sieht unser Gleichungssystem folgendermaßen aus:

Zur besseren Übersicht, vernachlässigen wir im Folgenden die Einheiten.

Zuerst bestimmen wir die Determinante der Matrix mit der Regel von Sarrus.

Im nächsten Schritt bilden wir die Matrix A_1 , indem wir die erste Spalte der Matrix durch den Ergebnisverktor ersetzen. Dann können wir mit Hilfe der Sarrus Regel auch die Determinante A_1 berechnen.