Elektrotechnik Grundlagen

Kirchhoffsche Regeln

Inhaltsübersicht

In diesem Artikel erklären wir dir die Kirchhoffschen Regeln. Wir gehen also genauer auf die Knoten- und Maschenregel ein und demonstrieren dir ihre Anwendung anhand eines Beispiels.

Schau auch gerne in unser Video rein. Darin begleiten wir dich Schritt für Schritt durch das Thema.

Kirchhoffsche Regeln einfach erklärt

Die Kirchhoffschen Regeln kannst du dir als Grundlage einer jeden Schaltungsanalyse vorstellen. Auf dieser Grundlage bauen weitere fortgeschrittene Methoden auf. Bei den Kirchhoffschen Regeln handelt es sich um zwei Grundsätze:

Die erste Kirchhoffsche Regel, auch Knotenregel oder Knotensatz genannt besagt, dass die Summe aller Ströme an einem Knoten gleich Null sein muss.

Die zweite Kirchhoffsche Regel wird auch als Maschenregel oder Maschensatz bezeichnet. Laut ihr ist die Summe der Spannungen in einer Masche gleich Null.

Erste Kirchhoffsche Regel: Knotenregel

Die erste Kirchhoffsche Regel, wird als Knotenregel oder Knotensatz bezeichnet. Sie besagt, dass die Summe aller Ströme an einem Knoten gleich Null ist. Das bedeutet: Die Summe der in einen Knotenpunkt zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme. Wäre dem nicht so, dann wäre in dem Knoten ein wachsender Ladungshaufen, was physikalisch nicht möglich ist. Dabei gehen wir hier von einer idealen, verlustfreien Schaltungen aus. In unserem Beispiel haben wir einen beliebigen Knoten „K“ und fünf Ströme. Die Richtung der bereits eingezeichneten Stromzählpfeile nehmen wir vorerst so an:

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1. Kirchhoffsche Regel: Knotensatz

Im folgenden Kapitel stellen wir die Gleichung für die Ströme im Knotenpunkt auf.

Vorzeichenregeln der Ströme

Um die zugehörige Kirchhoffsche Gleichung aufzustellen, benötigst du eine Regel zur Festlegung des Vorzeichens der einzelnen Ströme:

  • Fließt der Strom in den Knoten hinein, dann ist er positiv.
  • Fließt der Strom aus dem Knoten hinaus, dann ist sein Vorzeichen negativ.

Für unser Beispiel mit dem Knoten K gilt also die folgende Gleichung:

{K:\ \ \ I}_1+I_2-I_3+I_4-I_5=0

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Vorzeichen der Ströme

An dieser Stelle ist es wichtig anzumerken, dass die tatsächliche Stromrichtung beim Aufstellen der Gleichung unwichtig und meistens auch gar nicht bekannt ist. Es wird nur die Richtung berücksichtigt, die mittels Stromzählpfeil eingezeichnet und somit angenommen wurde. Falls die eingezeichnete Richtung in der Realität nicht zutreffen sollte, dann ergibt sich bei der Berechnung ein negativer Strom.

Beispiel der Knotenregel

Die Anwendung der Knotenregel demonstrieren wir dir am folgenden Beispiel:

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Schaltung mit drei Knotenpunkten

Gesucht sind hier die Knotengleichungen für die eingezeichneten Knotenpunkte K_1, K_2 und K_3. Zudem suchen wir die Maschengleichungen für die Maschen M_1, M_2 und M_3. Die Richtung der einzelnen Strom- und Spannungspfeile sind nicht vorgegeben und können daher frei gewählt werden.

Wir beginnen mit dem Aufstellen der Knotengleichungen und gehen folgendermaßen vor:

Zuerst zeichnest du die Ströme ein, deren Richtung frei wählbar ist. Der Spannungspfeil der Spannungsquelle ist mit U_0 bereits vorgegeben. Folglich geht der aus U_0 herausfließende Gesamtstrom I_{ges} nach oben. Die Indizes der einzelnen Ströme kannst du nach den Indizes der Widerstände wählen. Der Gesamtstrom fließt über den Widerstand R_1 und heißt somit I_1.

Nach dem Einzeichnen der Ströme, sieht die Schaltung folgendermaßen aus:

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Einzeichnen der Ströme

Da zwischen den Widerständen R_2 und R_3 keine Abzweigung existiert, gilt:

I_2=I_3.

Den Strom I_3 kann man somit auch wegstreichen und durch I_2 ersetzen.

Jetzt kannst du die Gleichungen für die einzelnen Knoten aufstellen.

K1:\ {\ I}_1-I_2-I_6=0

K2:\ {\ I}_2-I_4-I_7=0\ \ \ mit\ {\ I}_2=I_3

K3:\ {\ I}_4+I_7-I_5=0

Die zweite Kirchhoffsche Regel: Maschenregel

Bei der zweiten kirchhoffschen Regel, auch Maschenregel oder Maschensatz genannt, werden die Spannungen betrachtet. Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null. Dahinter steckt der Energie-Erhaltungssatz: In einen geschlossenen Umlauf muss genau so viel Energie hineingesteckt werden, wie auch wieder herausgeholt wird. Das entspricht dem idealen, verlustfreien Fall, von dem wir hier ausgehen.

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2. Kirchhoffsche Regel: Maschensatz

Vorzeichenregeln der Spannungen

Schauen wir uns ein Beispiel mit der Masche M an. Sie umfasst eine Spannungsquelle mit der Spannung U_0 und vier Widerständen sowie den über ihnen abfallenden Spannungen U. Auch hier müssen wir die Richtungen der Spannungspfeile berücksichtigen.

Das Vorzeichen der Spannung richtet sich nach folgender Definition:

  • Zeigen der Spannungspfeil und der Maschenpfeil in die gleiche Richtung, dann ist das Vorzeichen der Spannung positiv.
  • Zeigt die Richtung der Spannung entgegengesetzt zum Maschenumlauf, dann ist das Vorzeichen negativ.
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Vorzeichen der Spannungen

Für unser Beispiel gilt also:

{M:\ \ \ U}_1+U_2+U_3+U_4-U_0=0

Auch hier ist die Richtung der einzelnen Spannungen reine Definitionssache. Üblich ist es aber, dass Strom und Spannung in die gleiche Richtung zeigen.

Beispiel der Maschenregel

Zuerst zeichnen wir hier die Spannungspfeile ein. Dabei orientieren wir uns an den bereits eingezeichneten Strömen, denn die Spannungen zeigen üblicherweise in die gleiche Richtung wie die definierten Ströme. Die Indizes wählen wir auch entsprechend den Widerständen.

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Einzeichnen der Spannungen

Um uns einen besseren Überblick über die Masche 1 zu verschaffen blenden wir die Teile der Schaltung die nicht zu Masche 1 gehören aus.

Wir ignorieren also R_4 und R_6. Unsere Masche sieht dann so aus:

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Anwendung der Maschenregel

Die Maschengleichung ergibt sich aus der Richtung eines Maschenumlaufs (hier gelb eingezeichnet). Basierend auf der Maschenregel wissen wir bereits, dass die Summe aller Spannungen Null sein muss. Alle Spannungen die in die gleiche Richtung zeigen, werden positiv und entgegen gerichtete Spannungen negativ berücksichtigt. Für Masche M_1 ergibt sich damit:

M_1:\ {\ U}_1+U_2+U_3+U_7+U_5-U_0=0

Für die anderen Maschen gehen wir genauso vor. Wir betrachten dabei jeweils nur den Teil der Schaltung den die Masche umfasst. Daraus ergibt sich:

M_2:\ {-U}_3-U_2+U_6-U_4=0

M_3:\ {\ U}_7-U_4=0

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Trennung der Maschen

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