Elektrotechnik Grundlagen

Grenzfrequenz

Dieser Artikel behandelt die Grenzfrequenz und geht dabei vor allem auf ihre Berechnung bei Tief- und Hochpässen ein. Neben diesen Berechnungen betrachten wir auch deren zugehörigen Amplitudengänge. Außerdem wird ein Bandpass hinsichtlich der Thematik analysiert.

Schau doch gerne in unser Video rein, um dir einen Überblick verschaffen.

Inhaltsübersicht

Definition der Grenzfrequenz

Merke
Die Grenzfrequenz entspricht in der Elektro- und Nachrichtentechnik der Frequenz, ab der die Amplitude eines Signals auf einen bestimmten Wert abfällt.

In der Regel liegt dieser bei -3dB bezüglich seiner ursprünglichen Amplitude. Häufig wird sie im Zusammenhang mit verschiedenen Filterschaltungen angegeben und ist daher eine charakteristische Kenngröße für den jeweiligen Filter.

Grenzfrequenz eines Tiefpasses 1. Ordnung

Ein Tiefpassfilter 1. Ordnung besteht aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators. Sein Eingang ist am Widerstand gegen Masse. Sein Ausgangssignal kann am Kondensator entnommen werden.

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Tiefpass 1. Ordnung

Ein Tiefpassfilter lässt Signale niedriger Frequenz ungehindert durch und wirkt entsprechend dämpfend auf Signale höherer Frequenz. Die Grenzfrequenz des Tiefpasses gibt die Frequenz an, bei der ein Signal um den Faktor 0,707 oder \frac{\sqrt{2}}{2} bzw. -3dB seiner ursprünglichen Amplitude abfällt. Im Folgenden wird sich vor allem auf den RC-Tiefpass konzentriert.

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Grenzfrequenz eines RC-Tiefpasses berechnen

Ein wichtiger Zusammenhang des Tiefpassfilters 1. Ordnung ist, dass bei Erreichen der Grenzfrequenz der Widerstand und Blindwiderstand des Kondensators gleich groß sind. Mathematisch lässt sich das folgendermaßen ausdrücken:

R=X_C

Mit R als Widerstand und X_C als Blindwiderstand des Kondensators.

An dieser Stelle wird die Definition des Blindwiderstandes eines Kondensators über seine Kapazität genutzt.

|X_C|=\frac{1}{\omega C}

Somit ergibt sich folgender Ausdruck:

R=\frac{1}{\omega C}

Durch Einsetzen der Kreisfrequenz \omega=2\pi f

R=\frac{1}{2\pi f_GC}

und Umstellen der Formel nach der Frequenz ergibt sich für die Grenzfrequenz f_g eines Tiefpasses:

f_G=\frac{1}{2\pi RC}

Amplitudengang des Tiefpassfilters

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Amplitudengang des Tiefpassfilters

Eine weitere Möglichkeit ist die Grenzfrequenz aus dem Amplitudengang zu ermitteln. Sie entspricht der Frequenz bei der die Verstärkung auf -3dB gefallen ist. In der asymptotischen Näherung kann sie auch am Schnittpunkt der beiden Asymptoten abgelesen werden. Häufig wird sie deshalb auch als Eckfrequenz bezeichnet. Im Amplitudengang wird das Verhalten des Tiefpassfilters 1. Ordnung nochmal deutlich.

Die Verstärkung für Signale niedriger Frequenzen beträgt ungefähr 0 dB beziehungsweise 1 . Das bedeutet, dass sie weder gedämpft noch verstärkt werden. Ab der Grenzfrequenz nimmt die Verstärkung mit 20 dB pro Dekade ab. Die Verstärkung wird negativ in der dB-Darstellung, beziehungsweise kleiner 1 und größer 0 in der linearen Darstellung. Hohe Frequenzen haben also eine Verstärkung kleiner 1, was einer Dämpfung entspricht.

Grenzfrequenz eines Hochpasses 1. Ordnung

Bei der Schaltung des Hochpassfilters 1. Ordnung mit Kondensator ist im Vergleich zum Tiefpassfilter lediglich die Reihenfolge der Bauelemente vertauscht.

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Hochpass 1. Ordnung

Sein Eingang ist also am Kondensator, sein Ausgangssignal kann am Widerstand entnommen werden. Ein Hochpass lässt daher Signale hoher Frequenz durch und dämpft Signale niedriger Frequenz. Auch hier entspricht die Grenzfrequenz der Frequenz bei dem die Verstärkung -3dB beträgt bzw. die Signalamplitude auf \frac{\sqrt{2}}{2} der ursprünglichen Amplitude abgefallen ist. Im Folgenden wird sich vor allem auf den RC-Hochpass konzentriert.

Grenzfrequenz eines RC-Hochpasses berechnen

Die Berechnung der Grenzfrequenz des Hochpassfilters gleicht der des Tiefpasses. Auch hier gibt die sie die Frequenz an bei der der Widerstand und der Blindwiderstand des Kondensators den gleichen Wert annehmen.

R=X_C

R=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f_GC}

\Rightarrow f_G=\frac{1}{2\pi RC}

Amplitudengang des Hochpassfilters

Ähnlich wie beim Tiefpassfilter entspricht die Grenzfrequenz des Hochpassfilters dem Wert der Frequenz bei dem die Verstärkung -3dB beträgt. Der allgemeine Verlauf des Amplitudengangs eines Hochpassfilters in genau gegensätzlich zu dem eines Tiefpasses.

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Amplitudengang des Hochpassfilters

Grenzfrequenz des Bandpasses und der Bandsperre

Im Gegensatz zum Hochpass oder Tiefpass besitzen der Bandpass und die Bandsperre zwei Grenzfrequenzen, die obere und die untere. Außerdem wird eine dritte Frequenz definiert, die als Mittenfrequenz oder Resonanzfrequenz bezeichnet wird. Dem Amplitudengang kann die Notwendigkeit für die Definition zweier Grenzfrequenzen entnommen werden.

Analog zum Hoch und Tiefpassfilter geben die Grenzfrequenzen die Frequenzen an bei denen die Verstärkung3dB beträgt.

Die Mittenfrequenz ist dabei das geometrische Mittel der oberen und unteren Grenzfrequenz.

f_0=\sqrt{f_L\cdot f_H}

Außerdem beschreibt die Mittenfrequenz bzw. die Resonanzfrequenz jene Frequenz, bei welcher der Blindwiderstand der Induktivität und derjenige der Kapazität gleich groß sind und diese sich deshalb gegenseitig aufheben.

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