Elektrotechnik Grundlagen

Linear unabhängige Maschen

Inhaltsübersicht

In diesem Beitrag lernst du was linear unabhängige Maschen in der Schaltungsanalyse sind und wie man sie berechnet.

Bedeutung „linear unabhängig“

Aber was bedeutet „linear unabhängig“ in Bezug auf Maschen überhaupt? Das lässt sich recht schnell beantworten, wenn wir uns diese Schaltung anschauen:

Linear unabhängige Maschen
Beispiel für eine Schaltung

Aufstellen der Maschengleichungen

Sie besteht aus drei Widerständen und der Spannungsquelle U. Es fließen die Ströme I_1, I_2 und I_3. Wir definieren nun drei Maschen. Aus dem Kirchhoffschen Gesetz folgen die Maschengleichungen, die wir jetzt aufstellen:

  • Für Masche 1 gilt: I_1\ \ast\ R_1+I_2\ \ast\ R_2\ =U.
  • Für Masche 2 gilt: I_3\ \ast\ R_3\ - I2 * R2 =0.
  • Und für Masche 3 folgt: I_1\ \ast\ R_1+I_3\ \ast\ R_3\ =U.

Fällt dir schon etwas auf? Noch nicht? Dann schreiben wir es als Matrix-Vektor-Gleichung auf.

Linear unabhängige Maschen
Maschengleichungen für Masche 1, 2 und 3

Durch Matrixumformung lässt sich die letzte Zeile eliminieren, indem wir von Zeile drei die beiden anderen Zeilen subtrahieren. In der letzten Zeile stehen jetzt nur noch Nullen, diese Zeile enthält somit keine Information mehr. Masche 3 war also unnötig, denn sie ist linear abhängig von Masche 1 und 2.

Linear unabhängige Maschen
Masche 3 ist linear abhängig von Masche 1 und 2

Springen wir nochmal zurück zu den Maschengleichungen, dann siehst du auch hier, dass die Gleichung von Masche 3 gerade die Summe der Gleichungen von Masche 1 und Masche 2 ist.

Graphentheorie: Knoten, Zweige und Maschen

Wie du siehst ist es ziemlich umständlich, linear abhängige Maschen aufzustellen. Wie können wir das verhindern? Dazu machen wir einen kleinen Ausflug in die Graphentheorie.

Graphen bestehen aus Knoten und den Verbindungen dazwischen – den Zweigen. Schließen die Zweige eine Fläche ein, dann bilden sie eine Masche. In der Mathematik gibt es ein ganzes Fachgebiet, dass sich nur mit solchen Graphen beschäftigt, daher werden wir uns hier nur auf das Wichtigste beschränken.

Linear unabhängige Maschen
Graphen bestehen aus Knoten, Maschen und Zweigen

Ein Graph besteht also aus Knoten, Zweigen und Maschen… Also wie jedes beliebige Netzwerk! Wenn wir alle Knoten markiert haben, dann können wir die Schaltung durch Weglassen der Bauteile einfach in einen Graph umwandeln. Wichtig hierbei ist, dass die Knoten K1 und K2 über einen einzigen Zweig verbunden sind, und nicht über drei Zweige, wie das vielleicht in der eckigen Darstellung aussieht. Zeichnen wir das ganze doch einfach rund.

Linear unabhängige Maschen
K1 und K2 sind über einen einzigen Zweig verbunden

Anwendung in der Elektrotechnik

Genau das macht die mathematische Graphentheorie so interessant für die Elektrotechnik. Wir können jedes beliebige Netzwerk als Graph darstellen. Zum Glück haben das aber schon andere für uns erforscht und herausgefunden, dass es in jedem Netzwerk mit N Unbekannten auch genau N linear unabhängige Maschen gibt. Das ist schon mal eine sehr aufmunternde Nachricht, denn nun weißt du wie viele Maschen du überhaupt finden musst.

Linear unabhängige Maschen
In jedem Netzwerk mit N Unbekannten gibt es N linear unabhängige Maschen

Für die Schaltung von vorhin bedeutet das, dass es genau zwei linear unabhängige Maschen gibt. Zwar gibt es drei unbekannte Ströme I1, I2 und I3. Allerdings genügt es zwei davon zu berechnen, da der dritte Strom mit der Knotengleichung I1-I2-I3=0 bestimmt werden kann.

Die beste Nachricht ist aber, dass die Graphentheorie auch ein Verfahren bietet die linear unabhängige Maschen zu bestimmen. Dazu machen wir eine kleine Spritztour durch eine Allee und schauen uns die Bäume an.

Linear unabhängige Maschen
Spritztour durch eine Allee

Vollständige Bäume als Spezialfall

Wie sind die Blätter mit dem Boden verbunden? Na klar, über die Äste und den Stamm! Ganz ähnlich ist es auch hier in einem Netzwerk.

Linear unabhängige Maschen
Ein Baum hat Äste und einen Stamm

Dazu suchst du dir einen beliebigen Knoten als deinen Boden aus. Er heißt Wurzelknoten. Die Knoten ganz außen heißen Blätter. Jedes Blatt hat nur einen einzigen Pfad zur Wurzel. Also wie bei einem echten Baum. Alle Äste enden in einem Blatt, kein Blatt wächst wieder an einem anderen Ast oder Blatt des Baumes an. Damit sind wir beim Hauptmerkmal eines Baumes: Bäume bilden keine Maschen! Vollständige Bäume sind eine spezielle Art von Graphen. In der Graphentheorie spricht man also von einem Baum, wenn in einem Graphen alle Knoten getroffen werden, ohne eine Masche zu bilden. Es werden somit keine Flächen eingeschlossen.

Linear unabhängige Maschen
Bäume bilden keine Maschen

Schauen wir uns folgendes Netzwerk genauer an. Den Baum zu entdecken ist hier nicht besonders schwer. Wie du siehst, bleiben noch ein paar Zweige übrig, die nicht zum Baum gehören, da sonst Flächen eingeschlossen werden und somit Maschen entstehen würden.

Linear unabhängige Maschen
Den Baum im Netzwerk entdecken

Bestimmung der linear unabhängigen Maschen

Diese Zweige gehören nicht zum vollständigen Baum. Sie heißen Verbindungszweige. Jetzt beenden wir die Spritztour und kommen zurück zur Schaltungsanalyse und dem Verfahren zur Bestimmung der linear unabhängigen Maschen.

  1. Zuerst musst du dein Netzwerk in einen Graphen umwandeln. Dazu suchst du alle Knoten und lässt die Bauteile einfach weg.

    Linear unabhängige Maschen
    1. Netzwerk in Graphen umwandeln

  2. Jetzt bildest du einen vollständigen Baum für deinen Graphen. Dafür gibt es meistens nicht nur eine einzige Lösung. Der Graph eines Netzwerks kann meist durch mehrere vollständige Bäume beschrieben werden.
    Linear unabhängige Maschen
    2. Vollständigen Baum bilden

    Wir machen es uns aber nicht komplizierter als es ist, und definieren den Knoten ganz unten als Wurzel.

    Achtung, es darf keine Maschen geben und natürlich brauchen alle Blätter eine Verbindung zu der Wurzel.

  3. Und nun der Trick dabei: Jede Masche darf genau einen Verbindungszweig enthalten, damit sie linear unabhängig ist! Da die Zweige des Graphen auch rund gezeichnet werden dürfen, wissen wir, dass die Linien unten rechts natürlich nur zu einem Zweig gehören.
Linear unabhängige Maschen
3. Jede Masche darf genau einen Verbindungszweig haben

In dem Netzwerk können wir nun die einzelnen Maschen einzeichnen. Wir zeichnen fünf Maschen. Jede Masche enthält nur einen einzigen Verbindungszweig, mehr wären auch nicht erlaubt. Die Richtung der Maschenumläufe können wir frei wählen. Jetzt kannst du garantiert alle linear unabhängigen Maschen in deinem Netzwerk finden und der weiteren Analyse steht nun nichts mehr im Weg!

Bei der Knotenwahl geht man äquivalent vor: Bei K Knoten sind einfach K-1 Knoten linear unabhängig, der letzte Knoten ist schließlich die Masse.

Jetzt weißt du wie du bei der Maschenwahl vorgehen musst und wann sie linear unabhängig sind. Viel Erfolg dabei!

 

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