Elektrotechnik Grundlagen

Hochpass

Du hast heute auf dem Weg zur Arbeit Radio gehört? Dann hast du den Hochpassfilter heute schon benutzt, auch wenn nur unbewusst. In diesem Artikel möchten wir dir die Funktionsweise dieses Filters erklären, zeigen aus welchen einfachen Bauelementen er besteht und dir dann seine Eigenschaften wie Grenzfrequenz und Übertragungsfunktion erläutern.

Wenn du dieses Thema lieber in Videoform erklärt haben möchtest, dann schau dir doch unser Video  dazu an!

Inhaltsübersicht

Hochpass einfach erklärt

Im Allgemeinen lässt ein Hochpass Spannungen mit Frequenzen über einer bestimmten Grenzfrequenz passieren. Daher kommt auch der Name Hochpassfilter. Unterhalb dieser Grenzfrequenzen werden die Spannungen blockiert. Zur Grenzfrequenz  haben wir bereits ein ausführliches Video, welches du dir auch gerne ansehen kannst. Der Filter wird meistens durch einen Widerstand R und einen Kondensator C realisiert, kann aber auch aus einem Widerstand R und einer Spule L aufgebaut werden.

RC Hochpass

In diesem Artikel wird überwiegend der RC Hochpass behandelt, wie du ihn in folgender Schaltung erkennst. Du siehst, dass in diesem Fall ein Kondensator C in Reihe zu einem Widerstand R geschalten wird. An den linken Klemmen wird die Eingangsspannung U_E angelegt und parallel zum Widerstand kannst du die Ausgangsspannung U_A abgreifen.%Bild einfügen https://www.elektronik-kompendium.de/sites/slt/schalt/02061711 ; Index E und A groß

Hier ist ein Filter 1. Ordnung dargestellt, das heißt, dass in der Schaltung ein Kondensator und ein Widerstand vorhanden sind. Ein Filter 2. Ordnung hätte dementsprechend zwei Kondensatoren und zwei Widerstände. Darauf werden wir später noch genauer eingehen.

Um den Hochpass zu verstehen musst du wissen, dass sich der Blindwiderstand X_C, also der Widerstand eines Kondensators bei einer bestimmten Frequenz, mit 1 geteilt durch die Kreisfrequenz \omega mal Kapazität C berechnen lässt.

X_C = \frac{1}{\omega C}

Wenn an der Eingangsspannung  eine sehr niedrige Frequenz f anliegt, also f \rightarrow 0, so gilt für die Ausgangsspannung:

U_A \approx 0

Die Begründung hierfür ist, dass der Blindwiderstand X_C für niedrige Frequenzen steigt. Der Strom sieht sozusagen einen sehr großen Widerstand und somit fällt hier ein Großteil der Spannung ab. Du kannst dir das so vorstellen, dass der Kondensator die Schaltung unterbricht. Das hat zur Folge, dass keine Ausgangsspannung U_A abfällt.

Liegt jedoch am Eingang eine hohe Frequenz an, so erhältst du:

U_A \approx U_E

Das kannst du so verstehen, dass für \omega = 2\pi f \rightarrow \infty der Blindwiderstand X_C gegen 0 geht.  Hier kann der Strom also fast ungehindert hindurch. Der Kondensator kann als Kurzschluss angenommen werden, was zur Folge hat, dass fast die komplette Eingangsspannung am Ausgang anliegt.

Schau dir unser Video über den Tiefpassfilter an, falls du noch weiter in die Thematik einsteigen möchtest.

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Hochpass Bodediagramm

Was genau das Bodediagramm zeigt, haben wir bereits in einem anderen Artikel erklärt. In unserem Fall lässt sich sagen, dass dieses Diagramm den Frequenzverlauf eines Hochpassfilters beschreibt.%Bild einfügen: https://www.elektroniktutor.de/analogtechnik/an_pict/hpass2 ; Ohne 3. Diagramm

Beachte, dass die Frequenz logarithmisch eingetragen ist!

Im Amplitudengang siehst du bei der typischen Verstärkung von -3dB, oder einem Verhältnis der Amplituden von \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,707 , die Grenzfrequenz  f_gOberhalb dieser Frequenz beginnt der Filter die Spannung durchzulassen.

Nach der Grenzfrequenz nähert sich die Kurve relativ schnell der Verstärkung von 0dB, beziehungsweise dem Verhältnis von 1. Das bedeutet einfach, dass U_A \approx U_E gilt.

Im Bodediagramm kannst du auf Anhieb erkennen, ab welcher Frequenz der Filter die Spannung blockt (Sperrbereich), beziehungsweise die Spannung durchlässt (Durchlassbereich).

Hochpass Grenzfrequenz

Zum Thema Grenzfrequenz haben wir bereits ein eigenes Video. Willst du mehr darüber erfahren, dann schaue es dir unbedingt an!

Zusammengefasst ist die Grenzfrequenz f_g die Frequenz, bei der sich der Widerstand R und Blindwiderstand X_C abgleichen, also:

R = X_C

Wir haben ja bereits dargestellt, wie sich der Blindwiderstand berechnen lässt.

X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}

Aus

R = \frac{1}{2\pi f_g C}

ergibt sich nun durch umformen nach der Grenzfrequenz die Formel:

f_g = \frac{1}{2\pi RC}%Bild einfügen: https://www.elektroniktutor.de/analogtechnik/an_pict/hpass2 ; Nur 3. Diagramm

Im Phasengang wird der Phasenwinkel \varphi der Schaltung über der Frequenz aufgetragen. Bei der Grenzfrequenz siehst du einen Winkel \varphi von genau 45°. Das lässt sich auch ganz einfach erklären. Wir haben vorher gesagt, dass bei der Grenzfrequenz R = X_C gilt. Setzt du das in folgende Formel für den Phasenwinkel ein, erhälst du:

\varphi = arctan(\frac{X_C}{R}) = arctan(1) = 45°

Hochpass Übertragungsfunktion

Da ein Hochpassfilter ein dynamisches System ist, lässt sich hierfür eine Übertragungsfunktion bilden.

Zum Thema Übertragungsfunktionen haben wir ebenfalls ein ausführliches Video, in dem alle wichtigen Aspekte detailliert erklärt werden.

Um die Übertragungsfunktion herzuleiten stellt man den Spannungsteiler auf, welcher das Verhältnis von Eingangsspannung U_E zu Ausgangsspannung U_A beschreibt. Daraus folgt:

\frac{U_A}{U_E} = \frac{R}{R + X_C} =  \frac{R}{R - j\frac{1}{\omega C}}

Wenn du nun den Bruch mit j\omega C erweiterst

\underline{G}(j\omega) = \frac{U_A}{U_E} = \frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}

und s = j\omega einsetzt erhältst du die Hochpass Übertragungsfunktion

\underline{G}(j\omega) = \frac{sRC}{1+sRC} .

Du kannst dir nun nochmal die Grenzwerte mithilfe dieser Funktion deutlich machen.

Für f \rightarrow 0 gilt

\frac{U_A}{U_E} =  \frac{R}{R + \frac{1}{j\omega C}} \approx \frac{R}{R + \infty} \approx \frac{1}{\infty} \approx 0

und für f \rightarrow \infty gilt

\frac{U_A}{U_E} =  \frac{R}{R + \frac{1}{j\omega C}} \approx \frac{R}{R + 0} \approx 1 .

Das bedeutet, dass für Frequenzen gegen Null das Verhältnis von Ein- und Ausgangsspannung Null ist. Das ist so, da 1 geteilt durch \infty gegen Null geht. Für Frequenz gegen unendlich wird das Verhältnis Eins.

RL Hochpass

Im RL Hochpass kommt statt einem Kondensator eine Spule zum Einsatz, die folgendermaßen verschalten werden.%Bild einfügen: https://www.elektronik-kompendium.de/sites/slt/schalt/02061712 ; Index UA und UE groß

Dieser Filter hat zwar die selbe Wirkung wie der RC Hochpass, verhält sich aber anders, da nun die Ausgangsspannung parallel zur Spule abgegriffen wird.

Die Spule L hat den Blindwiderstand X_L.

X_L = \omega L = 2\pi fL

Wir können jetzt wieder ähnliche Überlegungen wie vorher anstellen.

Für f \rightarrow 0 geht der Blindwiderstand X_L gegen 0. Der Strom sieht so gut wie kein Hindernis, somit fällt auch keine Spannung an der Spule ab. Daraus folgt:

U_A \approx 0

Zum besseren Verständnis kannst du dir vorstellen, als wäre die Spule bei niedrigen Frequenzen nur ein normaler Draht, also ein Kurzschluss.

Für f \rightarrow \infty wird der Blindwiderstand X_L sehr groß. Der Großteil der Spannung wird an der Spule abfallen, die sozusagen eine Unterbrechung erzeugt. Somit erhält man:

U_A \approx U_E

Das Ergebnis unserer Überlegung ist nun, dass niedrige Frequenzen von der Schaltung geblockt werden. Für hohe Frequenzen ist die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung, sie lässt also die Spannung passieren. Daraus können wir schlussfolgern, dass die Schaltung ebenfalls ein Hochpassfilter ist.

Hochpass 2. Ordnung

Bis jetzt haben wir Hochpassfilter 1. Ordnung behandelt. Für einen Hochpass 2. Ordnung werden einfach zwei Filter 1. Ordnung in Reihe geschalten.%Bild einfügen: vgl. https://www.elektronik-kompendium.de/sites/slt/schalt/02061711 ; 2 mal diese Schaltung hintereinander, dann die Pfeile in der Mitte entfernen, ganz links UE ganz rechts UA

Wenn du wieder die Grenzfrequenz bestimmst erhältst du folgende Formel:

f_g = \frac{1}{2\pi \sqrt{R_1 C_1 R_2 C_2}}%Bild: https://www.electronics-tutorials.ws/wp-content/uploads/2013/08/opamp78.gif?fit=333%2C224 ; Bild sozusagen umdrehen, also so wie oben!! Achsenbeschriftung wie oben, 3dB Roll Off und 6dB Roll Off weglassen, unterschiedlich Kennzeichnen wie: 1. Ordnung Rot, 2. Ordnung blau

Im Bodediagramm hat ein Hochpassfilter 2. Ordnung (Blau) eine Steigung von 40dB/Dekade. Du kannst auch sagen, dass dieser doppelt so steil ist wie ein Hochpass 1. Ordnung (Rot). Somit hat ein Filter höherer Ordnung einen schärferen Übergang zwischen Sperr- und Durchlassbereich.

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