Elektrotechnik Grundlagen

Effektivwert

In diesem Artikel gehen wir auf die allgemeine Formel für den Effektivwert ein und demonstrieren dir seine Berechnung anhand eines Beispiels. Außerdem findest du hier für häufig vorkommende Signalformen (Sinusspannung, Rechteckspannung, Dreieckspannung...) eine Übersicht über ihre Effektivwerte.

Wenn du das Ganze anschaulich erklärt haben willst, schau einfach in unser Video  rein.

Inhaltsübersicht

Effektivwert einfach erklärt

Der Effektivwert oder auch im Englischen RMS (root mean square)-Wert gibt für elektrische Wechselspannungen und Wechselströme den Wert an, den eine Gleichspannung beziehungsweise Gleichstrom haben müsste, um die selbe Wärmeleistung in einem rein ohmschen Verbraucher umzusetzen.

Merke
Eine Gleichspannung von 5V erzeugt in einem Widerstand also die selbe Leistung wie eine Wechselspannung mit einem Effektivwert von 5V. Dabei ist die Berechnung des Effektivwerts abhängig von der Signalform der Wechselspannung (Sinus, Rechteck, Dreieck).

Effektivwert Formel

Im folgenden Stellen wir dir die allgemeine Formel zur Berechnung des Effektivwerts vor und zeigen dir außerdem ihre Lösung für häufige Signalformen.

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Allgemeine Formel für den Effektivwert

Allgemeine Formel des Effektivwerts

Der Effektivwert der Spannung eines beliebigen kontinuierlichen Signal ergibt sich aus folgender Formel.

U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}

Gleiches gilt auch für den Strom:

I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i(t)^2 dt}

Mathematisch betrachtet entspricht der Effektivwert also dem quadratischen Mittel. Handelt es sich um ein nicht periodisches Signal muss das Integral strenggenommen über die komplette Signaldauer T erfolgen. In diesem Fall geht die T gegen unendlich(T \rightarrow \infty).

Effektivwert periodischer Signale

Häufig werden allerdings periodische Signale betrachtet. Für sie ist es ausreichend über eine Periode T zu integrieren um ihren Effektivwert zu erhalten.

U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} u(t)^2 dt}

I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} i(t)^2 dt}

Effektivwerte von Wechselspannungen

Für gängige periodische Signalformen (Sinusspannung, Rechteckspannung, Dreieckspannung) ist die Berechnung über die allgemeine Formel nicht zwingend erforderlich. Der Effektivwert dieser Signale ist von ihrer Amplitude abhängig. Es folgt eine Übersicht über die wichtigsten Wechselspannungen.

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Effektivwert von Rechtecks, Dreiecks und Sägezahn Signalen

Sinusspannung

Für eine Sinusspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert \hat{U}.

U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}

Symmetrische Rechteckspannung

Für eine periodisches symetrische Rechteckspannung entspricht der Effektivwert der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert \hat{U}:

U_{eff}=\hat{U}}

Dreieckspannung

Für eine Dreieckspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert \hat{U}.

U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{3}}

Sägezahnspannung

Für eine Sägezahnspannung ergibt sich der Effektivwert aus der Amplitude beziehungsweise dem Spitzenwert \hat{U}.

U_{eff}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{3}}

Pulssignal/Rechteckssignal

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Effektivwert eines gepulsten Rechtecksignals

Für ein Pulssignal der Amplitude \hat{U} und dem Duty Cycle beziehungsweise Taskgrad D ergibt sich der Effektivwert als.

U_{eff}= \hat{U} \cdot \sqrt{D}

Effektivwert berechnen Beispiel

In diesem Beispiel wird der Effektivwert einer weniger häufig vorkommenden Spannungsverlaufs ermittelt. Hier ist es wichtig darüber klarzuwerden, dass die Funktion dieses Spannungsverlaufs abschnittsweise definiert werden kann.

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Effektivwert Beispiel

In diesem Fall können die beiden Abschnitte durch Geradengleichungen beschrieben werden:

u(t)=\begin{cases} \frac{20V}{T} \cdot t , & 0 \leq t \leq \frac{T}{2}} \\ \frac{-10V}{T} \cdot t , & \frac{T}{2} \leq t \leq T \end{cases}

Im ersten Schritt wird die allgemeine Berechnungsformel angesetzt.

U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}

Bei Spannungsverläufen die Abschnittsweise definiert werden können, ist es sinnvoll auch das Integral abschnittsweise zu bilden. Mit dieser Überlegung folgt:

U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} u(t)^2 dt}=\sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{20V}{T}\cdot t \right)^2 dt + \int_{\frac{T}{2}}^{T} \left( \frac{-10V}{T}\cdot t \right)^2 dt} \right)

Nach dem Quadrieren der Klammern ergibt sich:

U_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \left(\int_{0}^{\frac{T}{2}} \frac{400V^2}{T^2}\cdot t^2 dt + \int_{\frac{T}{2}}^{T} \frac{100V^2}{T^2}\cdot t^2 dt} \right)

An dieser Stelle können die Integrale gelöst werden:

U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left(\left[\left \frac{400V^2}{3T^2}\cdot t^3\right]_0^\frac{T}{2} + \left[\left\frac{100V^2}{3T^2}\cdot t^3\right]_\frac{T}{2}^T } \right) }

Nach Einsetzten der Integrationsgrenzen ergibt sich:

U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2}{3T^2}\cdot \left(\frac{T}{2} \right) ^3 - 0  + \frac{100V^2}{3T^2}\cdot T^3 - \frac{100V^2}{3T^2}\cdot \left( \frac{T}{2} \right)^3 \right) }

= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2}{3T^2}\cdot \frac{T^3}{8}  -0  + \frac{100V^2}{3T^2}\cdot T^3 - \frac{100V^2}{3T^2}\cdot \frac{T^3}{8}  \right)}

Nun können die einzelnen Brüche multipliziert und T gekürzt werden:

U_{eff}= \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{400V^2 T}{24} -0  + \frac{100V^2 T}{3} - \frac{100V^2 T}{24}\right) }\\ = \sqrt{ \frac{400V^2 }{24} -0  + \frac{100V^2 }{3} - \frac{100V^2 }{24}}

Im letzten Schritt können die Brüche einfach addiert werden. Die Einheit des Ergebnisses, in diesem Fall Volt kann als Hinweis für die korrekte Berechnung herangezogen werden.

U_{eff}= \sqrt{\frac{275}{6}}V =6,77V


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