Elektrotechnik Grundlagen

Ersatzspannungsquelle

In diesem Artikel erklären wir dir, wie Ersatzspannungsquellen dabei helfen komplexe Widerstandschaltungen zu vereinfachen. Dabei wird die Schaltung durch eine einzige Quelle und ihrem Innenwiderstand ausgedrückt.

Schau auch direkt in unser Video rein. Darin zeigen wir dir das Vorgehen Schritt für Schritt.

Inhaltsübersicht

Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle einfach erklärt

Viele elektrische Geräte sind sehr kompliziert aufgebaut und enthalten viele in Reihe und parallel geschaltete Widerstände oder auch mehrere Strom- und Spannungsquellen. Aber eigentlich interessierst du dich nur für die Ausgangsspannung deines Geräts und willst die Schaltung auf eine Spannungs- oder Stromquelle mit Innenwiderstand reduzieren.

Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle, Innenwiderstand, Leerlaufspannung
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Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

Dafür musst du die Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle bestimmen. Die Ersatzspannungsquelle, die auch häufig als Thévenin-Theorem bezeichnet wird, hat genau den Wert der Leerlaufspannung zwischen den zwei Ausgangsklemmen A und B. Ihr Innenwidertand entspricht dem Innenwiderstand zwischen den Anschlussklemmen. Die Ersatzstromquelle nimmt den Wert des Kurzschlussstroms zwischen den besagten Klemmen an. Durch bestimmen der Ersatzquelle vereinfacht sich deine Schaltung um ein Vielfaches, dadurch ist die anschließende Berechnung einfacher. Im Folgenden zeigen wir dir anhand eines Beispiel genau wie du vorgehen musst.

Beispielaufgabe: Umzeichnen des Schaltplans

Wir wollen jetzt in folgender Schaltung die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle zwischen den Klemmen A und B bestimmen.

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Ersatzspannungsquelle Aufgabe

Die Klemmen sind mitten in der Zeichnung. Das stört die Übersichtlichkeit und daher empfiehlt es sich, die Schaltung etwas umzuzeichnen. Du kannst den Zweig mit Widerstand R_3 und den mit den Widerständen R_2 und R_4 einfach tauschen und schon liegen die Klemmen außen. Aus der Schaltung kannst du sie sogar noch etwas herauszeichnen.

Innenwiderstand bestimmen

Um den Innenwiderstand zu bestimmen, schaust du von rechts in die Schaltung zwischen den Klemmen A und B und fasst die Widerstände zu einem Ersatzwiderstand zusammen. Für die Berechnung kannst du alle vorkommenden Spannungsquellen gedanklich kurzschließen. Denn sie haben den Widerstand Null.

Du trennst alle Stromquellen auf. Das entspricht einem unendlich großen Widerstand, so dass kein Strom fließen kann. Unsere Schaltung vereinfacht sich durch Kurzschließen der Spannungsquellen und Auftrennen der Stromquellen zu:

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Zusammenfassen der Widerstände

Wie du erkennen kannst sind jetzt nur noch Widerstände in der Schaltung. Der Innenwiderstand unserer Ersatzquelle entspricht dem Ersatzwiderstand zwischen den Klemmen. Daher können wir nun die Widerstände Schritt für Schritt zusammenfassen. Der Einfacheit halber nehmen wir an, dass alle Widerstände gleich groß sind und den Wert R haben.

R_1=R_2=R_3=R_4=R

Anschließend bietet es sich an, die Reihenschaltung aus R_2 und R_4 zu R_{24} zusammenzufassen.

R_{24}=R_2+R_4=2R

Nun liegt eine Parallelschaltung von R_1, R_{24} und R3 vor.

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Innenwiderstand bestimmen

Jetzt fassen wir zunächst die Parallelschaltung von R_{24} und R_3 zusammen. Du könntest auch direkt alle drei parallel geschalteten Widerstände zusammenfassen, aber R_{24||3} können wir später für die Bestimmung der Leerlaufspannung noch gebrauchen.

 

R_{24||3}=\frac{R_{24}R_3}{R_{24}+R_3}=\frac{2R\cdot R}{2R+R}=\frac{2}{3}R

Im nächsten und letzten Schritt fassen wir die parallelen Widerstände R_1 und R_{24||3} zusammen. Die Rechnung ergibt \frac{2}{5}R. Das ist der Ersatzwiderstand zwischen den Klemmen A und B.

R_{AB}=R_i=\frac{2}{5}R

Leerlaufspannung berechnen

Im nächsten Schritt bestimmst du die Klemmenspannung U_{AB}, wenn an den Klemmen keine Last hängt wird diese als Leerlaufspannung der Schaltung bezeichnet. Sie wird der Spannung U deiner Ersatzquelle entsprechen. Wir schauen uns dafür folgende Schaltung an:

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Leerlaufspannung bestimmen

Die Widerstände R_3, R_2 und R_4 haben wir schon zusammengefasst. Und dieses Ergebnis können wir jetzt verwenden.

R_{24||3}=\frac{2}{3}R

Die gesucht Klemmenspannung U_{AB} liegt in diesem Fall an der Parallelschaltung aus R_3 und der Reihenschaltung aus R_2 und R_4. Wenn dir die Spannung U_0 bekannt ist, kannst du U_{AB} einfach über den Spannungsteiler bestimmen.

U_{AB}=\frac{R_{24||3}}{R_1+R_{24||3}}U_0=\frac{\frac{2}{3}R}{R+\frac{2}{3}R}U_0=\frac{2}{5}U_0

Damit hast du eine komplexe Schaltung auf eine Ersatzspannungsquelle reduziert. Zusammengefasst gilt für diese Schaltung also.

U=U_{AB}=\frac{2}{5}U_0

R_i=R_{AB}=\frac{2}{5}R

Ersatzstromquelle bestimmen

Alternativ zur Ersatzspannungsquelle kannst du auch die Ersatzstromquelle bestimmen. Wenn du zuvor bereits die Ersatzspannungsquelle bestimmt hast ist es besonders einfach. Der Strom der Ersatzspannungsquelle ergibt sich aus dem Kurzschlussstrom unserer Schaltung. Der Kurschlussstrom ist der Strom der über die Klemmen fließt, wenn sie kurzgeschlossen, also ideal verbunden sind. Da wir bereits die Ersatzschaltung bestimmt haben ergibt sich der Kurschlussstrom I_K zu:

I_K=\frac{U_{AB}}{R_i}

Mit U=U_{AB}=\frac{2}{5}U_0 und  R_i=\frac{2}{5}R folgt:

I_K=\frac{\frac{2}{5}U_0}{\frac{2}{5}R}=\frac{U_0}{R}

Wenn du zuvor noch nicht die Ersatzspannungsquelle berechnet hast, kannst die die Ersatzstromquelle auch direkt aus der Schaltung bestimmen. Dafür schließt du in der Schaltung die Klemmen A und B kurz.

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Ersatzstromquelle bestimmen

R_{24||3} kannst du ignorieren, da der Widerstand kurzgeschlossen wird. Übrig bleibt nur R_1. Der Kurzschlussstrom ist also:

I_{AB}=\frac{U_0}{R_1}=\frac{U_0}{R}

Damit hast du auch die Kennwerte der Ersatzstromquelle bestimmt: I_{AB}=\frac{U_0}{R} und R_{AB}=\frac{2}{5}R.

Weitere Möglichkeit: Anwendung des Ohm’schen Gesetzes

Es gibt noch eine zweite Möglichkeit den Innenwiderstand einer Schaltung zu bestimmen. Wenn du den Kurzschlussstrom und die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B kennst, kannst du mit dem Ohm’schen Gesetz aus ihnen den Ersatzwiderstand berechnen.

R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I_{AB}}=\frac{\frac{2}{5}U_0}{\frac{U_0}{R}}=\frac{2}{5}R

Für unsere Schaltung ergibt sich über diese Rechnung ebenfalls \frac{2}{5}R. Wir haben also alles richtig gemacht.


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