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l’Hospital

Wichtige Inhalte in diesem Video

Hier erklären wir dir die Regel von l’Hospital zur Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ . Du möchtest die Regeln von l’Hospital schnell anwenden können? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

l’Hospital einfach erklärt

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(00:14)

Mit der Regel von l’Hospital kannst du den Grenzwert einer Funktion $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ berechnen, wenn er einen unbestimmten Ausdruck ergibt:

$\lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{h(x)} = \textcolor{red}{\frac{0}{0}} \qquad \text{oder} \qquad \lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{h(x)} = \textcolor{red}{\frac{\infty}{\infty}}$

Dazu reicht es, wenn du dir die Ableitungen von g(x) und h(x) anschaust. Der Satz von l’Hospital sagt:

$\lim\limits_{x \rightarrow a} \textcolor{red}{\frac{g(x)}{h(x)}} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \textcolor{blue}{\frac{g'(x)}{h'(x)}}$

Was musst du also machen, um den Grenzwert zu ermitteln?

l’Hospital Regel — Vorgehensweise

Schritt 1: Leite beide Funktionen $\textcolor{red}{g(x)}$ und $\textcolor{red}{h(x)}$ unabhängig voneinander ab.
Schritt 2: Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{x \rightarrow a} \textcolor{blue}{\frac{g'(x)}{h'(x)}}.$

l’Hospital verwenden

Gesucht ist $\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\textcolor{red}{\cfrac{\sin(x)}{x}}$ , also $g(x)=\textcolor{red}{\sin(x)}$ und $h(x)=\textcolor{red}{x}$ . Du hast dann:

$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(0)}{0} = \textcolor{red}{\frac{0}{0}}$

Somit kannst du l’Hospital anwenden!

Schritt 1: Berechne die Ableitungen: $g'(x) = \textcolor{blue}{\cos(x)}$ und $h'(x) = \textcolor{blue}{1}$ .
Schritt 2: Bestimmte den Grenzwert:

$\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\textcolor{red}{\frac{\sin(x)}{x}} = \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\textcolor{blue}{\frac{\cos(x)}{1}} = \frac{\cos(0)}{1} = 1$

Manchmal kommt es auch vor, dass du den Satz von l’Hospital zweimal anwenden musst, um auf das Ergebnis zu kommen. Schau dir auch dazu ein Beispiel an:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty } \textcolor{red}{\frac{2x^2}{e^x}} \qquad \text{mit} \, g(x) = \textcolor{red}{2x^2} \, \text{und} \, h(x) = \textcolor{red}{e^x}$

Weil die e-Funktion für sehr große x-Werte gegen unendlich geht, erhältst du als Grenzwert:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty } \textcolor{red}{\frac{2x^2}{e^x}} = \textcolor{red}{\frac{\infty}{\infty}}$

Du kannst l’Hospital also anwenden!

Schritt 1: Berechne die Ableitungen: $g'(x) = \textcolor{blue}{4x}$ und $h'(x) = \textcolor{blue}{e^x}$ .
Schritt 2: Berechne den Grenzwert:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\textcolor{blue}{4x}}{\textcolor{blue}{e^x}} = \textcolor{blue}{\frac{\infty}{\infty}}$

Durch erneutes Ableiten kannst du das Problem aber lösen:

Schritt 1: Berechne die zweiten Ableitungen: $g''(x) = \textcolor{teal}{4}$ und $h''(x) = \textcolor{teal}{e^x}$ .
Schritt 2: Berechne den Grenzwert:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty } \textcolor{red}{\frac{2x^2}{e^x}} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty } \textcolor{blue}{\frac{4x}{e^x}} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty } \textcolor{teal}{\frac{4}{e^x}} = 0$

Satz von l’Hospital: Anwendungen

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(01:52)

Du kannst l’Hopital nicht nur verwenden, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = \frac{g(a)}{h(a)}$ mit $\frac{g(a)}{h(a)} = \frac{0}{0}$ oder $\frac{g(a)}{h(a)}=\frac{\infty}{\infty}$ gilt. Mit ein paar kleinen Tricks kannst du den Satz auch auf andere Funktionen übertragen!

Dazu musst du sie nur auf die Form eines Quotienten bringen. In der Tabelle zeigen wir dir alle Fälle, bei denen du mit den l’Hospital Regeln Konvergenz oder Divergenz zeigen kannst und wie du die Funktionen am besten umformst. Weiter unten findest du noch Beispiele dazu!

Grenzwert $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$	Funktion $f(x)$	Umformung	Beispiel
$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$	$\frac{g(x)}{h(x)}$	entfällt	s.o.
$0 \cdot \infty$	$g(x) \cdot h(x)$	$\cfrac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}}$	1
$\infty - \infty$	$g(x) - h(x)$	$\cfrac{\frac{1}{h(x)} - \frac{1}{g(x)}} {\frac{1}{g(x) \cdot h(x)}}$	2
$0^\infty, \infty^0 , 1^\infty$	$g(x)^{h(x)}$	$e^{h(x) \cdot \ln(g(x)}$	3

Achtung: Die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht! Aus der Existenz des Grenzwertes $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{h(x)}$ kannst du nicht folgern, dass $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{g'(x)}{h'(x)}$ existiert! Falls es dir schwerfällt, das zu glauben, ist hier ein Gegenbeispiel:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty }\cfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\sin(x)+x}{\cos(x)+x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( 1 +\cfrac{\sin(x)-\cos(x)}{\cos(x)-x}\right) = 1$

Aber: $\lim\limits_{x \rightarrow \infty }\cfrac{g'(x)}{h'(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty }\cfrac{\cos(x)+1}{-\sin(x)+1}$ existiert nicht! Diese Funktion divergiert.

l’Hospital Regeln: Beispiele

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(02:04)

Jetzt weißt du viel über die Theorie. Nun zeigen wir dir für die in der oberen Tabelle aufgeführten Fälle verschiedene Beispiele.

Beispiel 1: $g(x) \cdot h(x)$

Berechne $\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\ln(x) \cdot x.$ Gegeben ist

$g(x) = \ln(x) \longrightarrow - \infty$ für $x \rightarrow 0$

$h(x) = x \longrightarrow 0$ für $x \rightarrow 0$

Damit du l’Hopital anwenden kannst, brauchst du die zweite Transformation der Tabelle und erhältst

$\cfrac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}} = \cfrac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}.$

Ableiten liefert mit der Regel von l’Hospital den gesuchten Grenzwert. Mit $g'(x) = \frac{1}{x}$ und $\left( \frac{1}{h(x)}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ gilt:

$\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \ln(x) \cdot x = \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\cfrac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2} }= \lim\limits_{x \rightarrow 0 } -x = 0.$

Beispiel 2:

Gesucht wird $\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1}{\ln(x+1)} - \cfrac{1}{x}$ . Wir haben also:

$g(x) = \cfrac{1}{\ln(x+1)} \longrightarrow \infty$ für $x \rightarrow 0$

$h(x) = \cfrac{1}{x}\longrightarrow \infty$ für $x \rightarrow 0.$

Um den Grenzwert mit l’Hopital zu berechnen, brauchst du die Transformation gemäß Fall 3 in der Tabelle

$\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1}{\ln(x+1)} - \cfrac{1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{x-\ln(x+1)}{x \cdot \ln(x+1)}.$

Zähler und Nenner leiten wir nun unabhängig voneinander ab (unter Verwendung der Produktregel ) und betrachten den Grenzwert

$\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1 - \frac{1}{x+1}}{\ln(x+1)+ \frac{x}{x+1}} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \cfrac{x}{(x+1) \cdot \ln(x+1)+x}$

$= \lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1}{\ln(x+1)+2} = \cfrac{1}{2} .$

Beispiel 3: $g(x)^{h(x)}$

Ein Beispiel für den vierten in der Tabelle aufgeführten Fall ist die Bestimmung des Grenzwertes $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }(x+e^x)^{\frac{1}{x}$ . Hier ist g(x) = x+e^x und $h(x) = \frac{1}{x}$ , wir haben also den Fall $-\infty^0$ gegeben, denn:

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }(x+e^x)=- \infty,$ und

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0.$

Damit wir eine Aussage zum Grenzwert treffen können, müssen wir die Funktion erst gemäß Zeile 4 der Tabelle mithilfe der e-Funktion umschreiben. Allgemein gilt $x = e^{\ln(x)}$ , wir erhalten also

$(x+e^x)^{\frac{1}{x}} = e^{\ln \left( (x+e^x)^{\frac{1}{x}}\right)} = e^{\frac{1}{x} \ln(x+e^x)}.$

Jetzt betrachten wir nur den Limes des Exponenten mit dem Satz von l’Hopital:

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty } \frac{ \ln(x+e^x) }{x}=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty } \frac{1}{(x+e^x)} \cdot \left(1+e^x \right)= 0.$

Damit gilt für unsere ursprüngliche Funktion:

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty } (x+e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty } e^{\frac{1}{x} \ln(x+e^x)} = e^0 = 1.$

Grenzwert

Jetzt weißt du genau, wie du mit der Regel von l’Hospital den Limes ausrechnest. Du bist dir bei Grenzwerten, aber allgemein noch unsicher? Kein Problem! Schau dir gleich hier unser Video dazu an.