Hier erklären wir dir die Regel von l’Hospital zur Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion . Du möchtest die Regeln von l’Hospital schnell anwenden können? Dann schau dir unser Video
dazu an!
Mit der Regel von l’Hospital kannst du den Grenzwert einer Funktion berechnen, wenn er einen unbestimmten Ausdruck ergibt:
Dazu reicht es, wenn du dir die Ableitungen
von und
anschaust. Der Satz von l’Hospital sagt:
Was musst du also machen, um den Grenzwert zu ermitteln?
Gesucht ist , also
und
. Du hast dann:
Somit kannst du l’Hospital anwenden!
Manchmal kommt es auch vor, dass du den Satz von l’Hospital zweimal anwenden musst, um auf das Ergebnis zu kommen. Schau dir auch dazu ein Beispiel an:
Weil die e-Funktion für sehr große x-Werte gegen unendlich geht, erhältst du als Grenzwert:
Du kannst l’Hospital also anwenden!
Durch erneutes Ableiten kannst du das Problem aber lösen:
Du kannst l’Hopital nicht nur verwenden, wenn mit
oder
gilt. Mit ein paar kleinen Tricks kannst du den Satz auch auf andere Funktionen übertragen!
Dazu musst du sie nur auf die Form eines Quotienten bringen. In der Tabelle zeigen wir dir alle Fälle, bei denen du mit den l’Hospital Regeln Konvergenz oder Divergenz zeigen kannst und wie du die Funktionen am besten umformst. Weiter unten findest du noch Beispiele dazu!
Grenzwert |
Funktion |
Umformung |
Beispiel |
---|---|---|---|
entfällt | s.o. | ||
|
1 | ||
2 | |||
3 |
Achtung: Die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht! Aus der Existenz des Grenzwertes kannst du nicht folgern, dass
existiert! Falls es dir schwerfällt, das zu glauben, ist hier ein Gegenbeispiel:
Aber: existiert nicht! Diese Funktion divergiert.
Jetzt weißt du viel über die Theorie. Nun zeigen wir dir für die in der oberen Tabelle aufgeführten Fälle verschiedene Beispiele.
Beispiel 1:
Berechne Gegeben ist
für
für
Damit du l’Hopital anwenden kannst, brauchst du die zweite Transformation der Tabelle und erhältst
Ableiten liefert mit der Regel von l’Hospital den gesuchten Grenzwert. Mit und
gilt:
Beispiel 2:
Gesucht wird . Wir haben also:
für
für
Um den Grenzwert mit l’Hopital zu berechnen, brauchst du die Transformation gemäß Fall 3 in der Tabelle
Zähler und Nenner leiten wir nun unabhängig voneinander ab (unter Verwendung der Produktregel ) und betrachten den Grenzwert
Beispiel 3:
Ein Beispiel für den vierten in der Tabelle aufgeführten Fall ist die Bestimmung des Grenzwertes . Hier ist
und
, wir haben also den Fall
gegeben, denn:
und
Damit wir eine Aussage zum Grenzwert treffen können, müssen wir die Funktion erst gemäß Zeile 4 der Tabelle mithilfe der e-Funktion umschreiben. Allgemein gilt , wir erhalten also
Jetzt betrachten wir nur den Limes des Exponenten mit dem Satz von l’Hopital:
Damit gilt für unsere ursprüngliche Funktion:
Jetzt weißt du genau, wie du mit der Regel von l’Hospital den Limes ausrechnest. Du bist dir bei Grenzwerten, aber allgemein noch unsicher? Kein Problem! Schau dir gleich hier unser Video dazu an.
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