Hier erklären wir dir die Regel von l’Hospital zur Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion 
ganz einfach und mit vielen Beispielen. Alle Fälle, bei denen du l’Hospital anwenden kannst, fassen wir übersichtlich in einer Tabelle zusammen.
Du möchtest die Regeln von l’Hospital schnell anwenden können? Dann schau dir unser Video dazu an!
l’Hospital einfach erklärt
Mit der Regel von l’Hospital (manchmal auch hospitalsche Regel, Satz von L’Hospital, oder nur L’Hôpital) kannst du ganz einfach den Grenzwert einer Funktion berechnen, wenn der Limes der Funktion
einen unbestimmten Ausdruck liefert. Also immer dann, wenn 
oder 
ist.
Dazu reicht es, wenn du dir die Ableitungen
von 
und 
anschaust. Es gilt:
Was musst du also machen?
-
Schritt 1: Leite beide Funktionen und unabhängig voneinander ab.
-
Schritt 2: Bestimme den Grenzwert
Es kann passieren, dass du alles wie hier beschrieben berechnet hast, aber das Ergebnis immer noch unbestimmt ist, also zum Beispiel 
oder 
. Ist das der Fall, so musst du die Regel von l’Hospital einfach noch einmal anwenden.
l’Hospital Anwendungen
Zum Glück kann man l’Hospital nicht nur verwenden, wenn 
mit 
oder 
. Mit ein paar kleinen Tricks kannst du die Aussage auch auf andere Funktionen übertragen. Dazu musst du sie nur auf die Form eines Quotienten bringen. In der Tabelle zeigen wir dir alle Fälle, bei denen du mit l’Hospital Konvergenz oder Divergenz zeigen kannst und wie du die Funktionen am besten umformst. Die Spalte „Beispiele“ bezieht sich auf die im nächsten Abschnitt ausführlich berechneten Beispiele zu jedem der Fälle.
| Grenzwert |
Funktion |
Umformung |
Beispiel |
|---|---|---|---|
| entfällt | 1 | ||
|
|
2 | ||
| 3 | |||
| 4 |
Achtung: Die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht! Aus der Existenz des Grenzwertes 
kannst du nicht folgern, dass 
existiert! Falls du das nicht glauben solltest, ist hier ein Gegenbeispiel:
Aber: 
existiert nicht! Diese Funktion divergiert.
l’Hospital Beispiele
Jetzt weißt du viel über die Theorie, nun zeigen wir dir für die in der oberen Tabelle aufgeführten Fälle verschiedene Beispiele:
Beispiel 1: 
Gesucht ist hier 
Du hast also:
mit 
mit 
Wir können l’Hospital direkt anwenden! Dazu berechnen wir 
und 
und erhalten:
Manchmal kommt es auch vor, dass du die Regel von l’Hospital zweimal anwenden musst, um auf das Ergebnis zu kommen. Das erschwert die Sache zum Glück nicht besonders, wie dieses Beispiel zeigt. Gesucht sei
mit 
und 
Wir leiten beide Funktionen einmal ab, und erhalten 
und 
. Für 
gilt hier leider immer noch 
. Durch erneutes Ableiten können wir das Problem jedoch leicht lösen
Beispiel 2: 
Etwas schwieriger ist die Berechnung von 
Gegeben ist
für 
für
Damit du l’Hospital anwenden kannst, brauchst du die zweite Transformation der Tabelle und erhältst
Ableiten liefert mit der Regel von l’Hospital den gesuchten Grenzwert. Mit 
und 
gilt:
Beispiel 3: 
Gesucht wird 
. Wir haben also
für
für 
Um den Grenzwert mit l’Hospital zu berechnen, brauchst du die Transformation gemäß Fall 3 in der Tabelle
Zähler und Nenner leiten wir nun unabhängig voneinander ab (unter Verwendung der Produktregel ) und betrachten den Grenzwert
Beispiel 4: 
Ein Beispiel für den vierten in der Tabelle aufgeführten Fall ist die Bestimmung des Grenzwertes 
. Hier ist 
und 
, wir haben also den Fall 
gegeben, denn
und
Damit wir eine Aussage zum Grenzwert treffen können, müssen wir die Funktion erst gemäß Zeile 4 der Tabelle mithilfe der e-Funktion umschreiben. Allgemein gilt 
, wir erhalten also
Jetzt betrachten wir nur den Limes des Exponenten mit der Regel von l’Hospital:
Damit gilt für unsere ursprüngliche Funktion
