In diesem Beitrag erfährst du, wie die Punktprobe bei Vektoren funktioniert und wie du damit überprüfst, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
Inhaltsübersicht
Was ist eine Punktprobe bei Vektoren?
Mit der Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt P auf einer Geraden g liegt. Dafür setzt du den Punkt in die Geradengleichung ein und berechnest t:
➡️Beispiel:
- Gerade g:
- Punkt P (3 | 4)
Setze den Punkt P ein:
Daraus ergibt sich für jede Zeile eine Gleichung. Löse diese nach t auf:
- 3 = 1 + t ⇒ t = 2
- 4 = 2 + t ⇒ t = 2
Beide Gleichungen liefern den selben t-Wert → P liegt auf der Geraden g ✓
Eine Geradengleichung besteht aus dem Stützpunkt 
und einem Richtungsvektor 
. Der Paramter t beschreibt, wie weit du dich entlang des Richtungsvektors bewegt.
Wie funktioniert die Punktprobe im zweidimensionalen Raum?
Prüfe, ob der Punkt P (3 | -1) auf der Geraden 
liegt.
Dafür gehst du 4 Schritte durch:
1. Punkt P einsetzen — Setze die Koordinaten von P als 
in die Geradengleichung ein.
2. Gleichungen aufstellen — Stelle für jede Zeile eine Gleichung auf.
- 3 = 2 + t
- -1 = -4 + 3t
3. Nach t auflösen — Löse beide Gleichung nach t auf.
| 3 = 2 + t t = 3 – 2 t = 1 |
-1 = -4 + 3t 3t = -1 – (-4) = 3 t = 1 |
4. t-Werte vergleichen — Liefern beide Gleichungen denselben t-Wert, liegt P auf g.
Bei beiden Gleichungen ist t = 1. Deshalb gilt: P liegt auf g. ✓
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Wie funktioniert die Punktprobe im dreidimensionalen Raum?
Überprüfe, ob der Punkt P (4 | 3 | 2) auf der Geraden 
liegt.
1. P einsetzen — Setze die Koordinaten von P als in die Geradengleichung ein.
2. Gleichungen aufstellen — Stelle für jede Zeile eine Gleichung auf.
- 4 = 1 + t
- 3 = 0 + 2t
- 2 = 2 + 0t
3. Nach t auflösen — Löse jede Gleichung nach t auf.
| 4 = 1 + t t = 4 – 1 t = 3 |
3 = 0 + 2t 2t = 3 t = 1,5 |
2 = 2 + 0t 2 = 2 t → beliebig |
4. t-Werte vergleichen — Liefern alle Gleichungen denselben t-Wert, liegt P auf g.
In der ersten Gleichung gilt t =3, aber in der zweiten ist t = 1,5. Die t-Werte sind verschieden. Deshalb gilt: P liegt nicht auf g. ✗
Ist eine Koordinate des Richtungsvektors
gleich 0, fällt die Variable t in dieser Zeile komplett weg. Denn 0 • t = 0.
Bei der Gleichung 
haben wir genau das in der zweiten Zeile.
In so einem Fall kannst du direkt prüfen, ob die Zahl des Punktes P und die Zahl des Stützpunkts in dieser Zeile übereinstimmen: 4 = 5. Da das ein Widerspruch ist, liegt P also nicht auf der Geraden und die Rechnung ist zuende.
Geraden verstehen
Die Punktprobe gehört zu Geraden in der analytischen Geometrie und zeigt die Lage von Punkten im Koordinatensystem. Wer sich mit Geraden beschäftigt, rechnet mit Stützpunkt, Richtungsvektor und Parameterform. So wird klar, wie Punkte und Geraden zusammenhängen und woran du ihre Lage sicher erkennst. Weitere Videos dazu findest du in unserem Mathematikbereich.