Lineare Algebra

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz hilft dir, Determinanten zu berechnen. Du möchtest schnell verstehen, wie das funktioniert? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Laplacescher Entwicklungssatz einfach erklärt

Der Laplacesche Entwicklungssatz (auch Laplace Entwicklung, Laplacesche Entwicklung) ist ein Verfahren mit dem du die Determinante einer nxn Matrix berechnen kannst. Die Idee dabei ist, dass du die Determinante einer Matrix auf eine kleinere Determinante bringst. Damit kannst du zum Beispiel eine 4×4 Matrix zunächst auf eine 3×3 Matrix umformen und dann auf eine 2×2 Matrix. Anschließend kannst du dann von dieser Matrix einfach die Determinante berechnen.

Laplacescher Entwicklungssatz

\det(A) = \sum \limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}), wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst oder

\det(A) = \sum \limits_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}), wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.

Dabei ist a_{ij} der Wert der i-ten Zeile und j-ten Spalte und A_{ij} die Matrix, die durch das Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A entsteht.                                                                                       

Tipp: Wähle für den Laplace Entwicklungssatz am besten eine Zeile oder eine Spalte, in der sich möglichst viele Nullen befinden, sodass die entsprechenden Summanden automatisch wegfallen.

Laplacescher Entwicklungssatz Beispiel

In diesem Abschnitt zeigen wir dir an einem konkreten Beispiel, wie du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.

Betrachte dafür die 3×3 Matrix A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \end{pmatrix}. Dabei spielt es keine Rolle nach welcher Zeile oder Spalte du die Determinante entwickelst. In diesem Beispiel wählen wir die erste Zeile i=1. Die Determinante von A lautet also

\det(A) = \sum \limits_{j=1}^{3} a_{1j} \cdot (-1)^{1+j} \cdot \det(A_{1j})=

= a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det(A_{13})

Das bedeutet, dass du nun Spalte für Spalte die einzelnen Summanden der Formel bestimmst.

Spalte 1: Fange mit der ersten Spalte an. Dafür benötigst du die Untermatrix A_{11}, die du bekommst, indem du die erste Zeile und die erste Spalte von A streichst 

Die Matrix A_{11} lautet also

A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 4  \\ -5 & -3 \end{pmatrix}.

Als nächstes benötigst du die Determinante der 2×2 Matrix A_{11}. Du berechnest die Determinante, indem du vom Produkt -1 \cdot 3 das Produkt -5 \cdot 4 abziehst

\det(A_{11}) = -1 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 17.

Außerdem kannst du aus der Matrix A ablesen, dass a_{11}=4 ist. Damit erhältst du für den ersten Summanden

a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) = 4 \cdot 1 \cdot 17 = 68.

Spalte 2: Gehe nun über zur zweiten Spalte. Um die Untermatrix A_{12} zu bekommen streichst du die erste Zeile und die zweite Spalte von A

Du erhältst damit

A_{12} = \begin{pmatrix} -1 & 4  \\ 0 & -3 \end{pmatrix}.

Berechne nun die Determinante der Matrix

\det(A_{12}) = 1 \cdot 3 - 0 \cdot 4 = 3.

Der zweite Summand lautet mit a_{12}=2 also 

a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) = 2 \cdot (-1) \cdot 3 = -6.

Spalte 3: Wiederhole das Ganze noch für die dritte Spalte. Du erhältst die Untermatrix A_{13} durch das Streichen der ersten Zeile und der dritten Spalte.

Sie lautet somit

A_{13} = \begin{pmatrix} -1 & 1  \\ 0 & -5 \end{pmatrix}.

Berechne nun wieder die Determinante der Matrix A_{13}

\det(A_{13}) = 1 \cdot 5 - 0 \cdot 1 = 5.

Damit hast du nun den dritten Summanden der Formel des Laplaceschen Entwicklungssatzes bestimmt

a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det(A_{13}) = 1 \cdot 1 \cdot 5 = 5.

Insgesamt lautet die Determinante der Matrix A also

\det\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \end{pmatrix} = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det\left(\begin{matrix} 1 & 4  \\ -5 & -3 \end{matrix}\right)

                                                     + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 4  \\ 0 & -3 \end{pmatrix}

                                                            + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 1  \\ 0 & -5 \end{pmatrix}      

= 4 \cdot 1 \cdot 17 + 2 \cdot (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 5

= 68 - 6 + 5 = 67

Bemerkung: Um das Vorzeichen (-1)^{i+j} einfacher zu bestimmen, kannst du dir auch einfach merken, dass bei jedem Wechsel einer Zeile oder Spalte, sich auch das Vorzeichen ändert.

A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow  \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}

Matrix nach einer Spalte entwickeln

Schau dir als nächstes Beispiel die Matrix A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & -6 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} an. Diesmal entwickeln wir die Determinante nach der zweiten Spalte, womit die Determinante von A wie folgt lautet:

\det(A) = \sum \limits_{i=1}^{3} a_{i2} \cdot (-1)^{i+2} \cdot \det(A_{i2}).

Du bestimmst also als erstes die Untermatrizen A_{12}, A_{22} und A_{32}, indem du die zweite Spalte und die entsprechende Zeile streichst. Die Untermatrizen sehen somit wie folgt aus

A_{12} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, A_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, A_{32} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}.

Als nächstes benötigst du die Determinante der Untermatrizen

\det(A_{12}) = (-3) \cdot (-1) - 2 \cdot (-2) = 7

\det(A_{22}) = 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 = -8

\det(A_{32}) = 0 \cdot (-2) - (-3) \cdot 4 = 12.

Somit kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen

\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+2} \cdot 7 + (-6) \cdot (-1)^{2+2} \cdot (-8) + 2 \cdot (-1)^{3+2} \cdot 12

= -7 + 48 - 24 = 17.                                                                

Laplacescher Entwicklungssatz 4×4 Matrix

Bisher hast du den Laplace Entwicklungssatz nur auf 3×3 Matrizen angewendet. Du kannst die Laplace Entwicklung allerdings auch auf größere Matrizen anwenden, wie etwa 4×4 Matrizen.

Betrachte zum Beispiel die Matrix A = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & -1 & -3 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -3 & 4 \end{pmatrix}, deren Determinante wir nach der vierten Spalte entwickeln.

Zunächst benötigst du die Untermatrizen A_{14}, A_{24}, A_{34} und A_{44}, für die du die vierte Spalte und die entsprechende Zeile der Matrix A streichst. Die Untermatrizen lauten somit

A_{14} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, A_{24} = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, A_{34} = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, A_{44} = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Um die Determinanten der Untermatrizen zu berechen kannst du wieder den Laplace Entwicklungssatz anwenden oder du verwendest die Regel von Sarrus, deren Vorgehensweise du im Artikel zur 3×3 Determinante nachlesen kannst. Damit bekommst du

\det(A_{14}) = 9+4-4+1+6+24=40

\det(A_{24}) = 9+10-4+1+ 6 + 60 = 82

\det(A_{34}) = 18 - 5 + 3 + 2 - 3 - 45 = -30

\det(A_{44}) = -12 -20 + 3 + 8 - 3 + 30 = 6.

Zum Schluss kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen

\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+4} \cdot 40 + (-3) \cdot (-1)^{2+4} \cdot 82 + 3 \cdot (-1)^{3+4} \cdot (-30)

+ 4 \cdot (-1)^{4+4} \cdot 6                                                                         

= -40 - 246 + 90 + 24 = - 172.                                            

Weitere Themen zur Determinante

Neben dem Thema „Laplacescher Entwicklungssatz“ haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.