Lineare Algebra
Vektorrechnung
 – Video

Du willst wissen, wie du einen Vektor berechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig. In diesem Artikel und in unserem Video erfährst du mehr zu Verbindungsvektoren!

Vektor berechnen einfach erklärt

Um den Vektor zu berechnen, der die Punkte A und B verbindet, musst du A von B abziehen.

Der Verbindungsvektor beginnt dann bei A (Fußpunkt) und endet bei B (Spitze)

Beispiel: Der Vektor \textcolor{orange}{\overrightarrow{AB}} zwischen zwei Punkten A(2|1) und B(6|4) ist

    \[\textcolor{orange}{\overrightarrow{AB}} =  \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}\right)} - \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{6} - \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{4} - \textcolor{red}{1} \end{array}\right) = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)}\]

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Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten

Auch im Dreidimensionalen kannst du einen Vektor aus zwei Punkten bestimmen. Schau dir gleich an einem Beispiel an, wie du konkret vorgehst.

Vektoren berechnen Beispiele

Wenn du zwischen zwei Punkten Vektoren berechnen willst, rechnest du immer Spitze minus Fuß — sowohl im Zweidimensionalen als auch im Dreidimensionalen .

Beispiel 1

Bestimme den Verbindungsvektor zwischen A(5|2|1) und B(3|3|1).

Lösung:

    \[\textcolor{orange}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)} - \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3}-\textcolor{red}{5} \\ \textcolor{blue}{3}-\textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{1}-\textcolor{red}{1} \end{array}\right) = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)}\]

Gut zu wissen: Verbindungsvektor vs. Ortsvektor

In den Beispielen zur Vektorberechnung bestimmst du immer Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten. Ein Vektor vom Nullpunkt zu einem Punkt hingegen heißt Ortsvektor.

Einen Ortsvektor zu bestimmen ist einfach: Er hat immer die gleichen Koordinaten wie der Punkt selbst. Beispiel: Für A(2|1) ist der Ortsvektor \overrightarrow{A} = \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)}

Beispiel 2

Du sollst den Vektor bestimmen, der von M(-3|-1) nach N(0|-5) verläuft.

Lösung:

    \[\textcolor{orange}{\overrightarrow{MN}} = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -5 \end{array}\right)} - \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} -3 \\ -1 \end{array}\right)} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0}-\textcolor{red}{(-3)} \\ \textcolor{blue}{-5}-\textcolor{red}{(-1)} \end{array}\right) = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right)}\]

Beispiel 3

Bestimme den Verbindungsvektor zwischen C(0|2|-1) und D(4|-5|1).

Lösung:

    \[\textcolor{orange}{\overrightarrow{CD}} = \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 4 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right)} - \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{4}-\textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{-5}-\textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{1}-\textcolor{red}{(-1)} \end{array}\right) = \textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c} 4 \\ -7 \\ 2 \end{array}\right)}\]

Vektor berechnen — kurz und knapp

Um den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, subtrahierst du den Ortvektor von A vom Ortsvektor von B. Der Fußpunkt des Vektors ist dann der Subtrahend (also A) und die Spitze ist der Minuend (also B). Als Formel kannst du dir merken:

    \[\textcolor{orange}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{B}} - \textcolor{red}{\overrightarrow{A}}\]

Vektorrechnung

Jetzt kannst du Vektoren zwischen zwei Punkten ermitteln und auch einen Ortsvektor berechnen. Aber wie kannst du mit diesen Vektoren rechnen? Das erfährst du in unserem Video zur Vektorrechnung ! Viel Spaß!

Zum Video: Vektorrechnung
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