Lineare Algebra

Kern einer Matrix

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dem Kern einer Matrix, insbesondere wie du den Kern einer Matrix bestimmen kannst und gehen dabei auf lineare Gleichungssysteme und den Gauß-Algorithmus ein.

Du möchtest innerhalb von wenigen Minuten selbst den Kern einer Matrix bestimmen können? Dann schau dir unser Video  an.

Inhaltsübersicht

Kern einer Matrix einfach erklärt

Der Kern einer Matrix ist eine Menge von Vektoren. Genauer gesagt, handelt es sich dabei um all die Vektoren, welche von rechts an die Matrix multipliziert den Nullvektor ergeben. Also alle Vektoren, die von der betrachteten Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, liegen im sogenannten Kern der Matrix.

Formal bedeutet das: Betrachten wir eine Matrix A\in \mathbb{R}^{m\times n}, dann besteht ihr Kern Kern(A) aus allen Vektoren v \in \mathbb{R}^n, welche die Gleichung

A\cdot v=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots & v_n \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots & 0 \end{array} \right)

erfüllen. In mathematischer Mengenschreibweise heißt das

Kern(A) = \{v\in \mathbb{R}^n | A\cdot v = 0\}.

Er entspricht also, anders ausgedrückt, der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Av=0.

Kern einer Matrix bestimmen

Im Folgenden erklären wir anhand von Beispielen, wie man den Kern einer Matrix bestimmen kann.

Jetzt neu
Teste Dein Wissen mit Übungsaufgaben

Kern und Determinante

Es gibt einen Vektor, welcher im Kern einer jeden Matrix ist: der Nullvektor. Denn A \cdot \vec{0} = \vec{0}, unabhängig von den Einträgen der Matrix A. Ob noch mehr Vektoren im Kern enthalten sind, können wir für quadratische Matrizen anhand der Determinante herausfinden.

Betrachten wir eine quadratische Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dann besitzt sie einen vollen Rang  und die zugehörige lineare Abbildung ist demnach injektiv . Für eine solche injektive Abbildung gilt, dass auf jeden Vektor der Zielmenge höchstens einmal abgebildet werden darf. Nun wissen wir bereits, dass der Nullvektor mit A \cdot \vec{0} = \vec{0} erneut den Nullvektor ergibt. Das heißt für eine injektive Abbildung darf kein weiterer Vektor v die Gleichung Av=0 erfüllen. Damit ist der Nullvektor der einzige Vektor im Kern der Matrix. Tritt dies ein spricht man von einem trivialen Kern.

Ist andererseits die Determinante der Matrix gleich Null, enthält ihr Kern noch weitere Vektoren.

Merke

Für den Kern einer Matrix A gilt:

\det(A) \neq 0 \quad \rightarrow \quad \text{Kern(A)}=\{0\} \quad \text{trivial}

\det(A)=0 \quad \rightarrow \quad \text{Kern(A) ist nicht trivial}.

Beispielsweise gilt für die Determinante der folgenden Matrix A:

\det(A) = \det\left(\begin{array}{cc}2&2\\0&3 \end{array}\right)= 2\cdot 3 - 0 \cdot 2 = 6 \neq 0.

Damit kann ihr Kern schnell bestimmt werden: Kern(A)=0. Das bedeutet er ist trivial.

Die Determinante der Matrix B,

\det(B)= \det\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\6&3\end{array}\right) = 2\cdot 3 - 6\cdot 1 = 0,

zeigt uns, dass der Kern dieser Matrix neben der Null noch weitere Vektoren besitzt. Diese werden wir im nächsten Abschnitt bestimmen.

Ebenfalls keinen trivialen Kern besitzt die folgende Matrix C, deren Determinante wir mit der Regel von Sarrus berechnet haben:

\det(C)= \det\left(\begin{array}{ccc} 2 &4 &1 \\ 1 &3 &0 \\ 1&1&1 \end{array}\right) = 6+0+1-3-0-4 =0.

Die weiteren Vektoren, welche sich im Kern der Matrix C befinden, werden wir ebenfalls später noch bestimmen.

Kern und homogene Gleichungssysteme

Wie bereits erwähnt, kommt das Bestimmen des Kerns dem Lösen eines homogenen linearen Gleichungssystems gleich. Daher wollen wir im Folgenden das Gleichungssystem, welches sich aus der Matrixgleichung

Bv = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\6&3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}v_1\\v_2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c}2v_1 + v_2 \\ 6v_1 + 3v_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)

\Leftrightarrow \begin{array}{c} (\text{I}) \; 2v_1 + v_2 =0 \\ (\text{II}) \; 6v_1 + 3v_2 =0 \end{array}

ergibt, lösen. Hierfür formen wir (I) nach v_2 um und erhalten

(\text{I}) \; v_2 = -2v_1

Setzen wir jetzt (I) in (II) ein, liefert uns das:

(\text{II}) \; 6v_1 +3\cdot (-2v_1) = 6v_1 - 6v_1 = 0.

Das bedeutet (II) ist unabhängig von der Wahl von v_1 stets erfüllt. Das hat wiederum zur Folge, dass wir v_1 beliebig wählen können und somit unendlich viele Lösungen erhalten. Damit haben die Vektoren v \in \mathbb{R}^2, welche das Gleichungssystem lösen, die Form

v = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} v_1 \\-2 v_1 \end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right).

Schließlich ergibt sich so für den Kern der Matrix B die folgende Lösungsmenge:

Kern(B)= \left\{\lambda\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right) \left\vert \lambda\in \mathbb{R} \right \right \}.

Kern mit Gauß berechnen

Nun da für größere Matrizen das Lösen von Gleichungssystemen mit dem Einsetzungsverfahren sehr mühsam werden kann, verwenden wir in solchen Fällen das Gaußsche Eliminationsverfahren . Wir betrachten also die Matrix C von der wir wissen, dass ihr Kern nicht trivial ist und führen das Verfahren nach Gauß durch:

\left(\begin{array}{ccc} 2 &4 &1 \\ 1 &3 &0 \\ 1&1&1 \end{array}\right) ~ \left(\begin{array}{ccc} 2 &4 &1 \\ 0 &1 &-1/2 \\ 0&-1&1/2 \end{array}\right) ~ \left(\begin{array}{ccc} 2 &4 &1 \\ 0 &1 &-1/2 \\ 0&0&0 \end{array}\right) ~ \left(\begin{array}{ccc} 2 &0 &3 \\ 0 &1 &-1/2 \\ 0&0&0 \end{array}\right)

Damit haben wir unser Gleichungssystem Av=0 weitestgehend zu folgendem vereinfacht:

\begin{array}{c} (\text{I}) \; 2v_1 +3v_3 = 0 \\  (\text{II}) \; v_2 -\frac{1}{2}v_3 = 0 \end{array}

Da wir nun zwei Gleichungen und drei Variablen besitzen, können wir eine Variable frei wählen. Wir wählen v_2 als diese freie Variable und lösen deshalb (II) nach v_3 auf. Anschließend setzen wir das Ergebnis in (I) ein und können so auch v_1 in Abhängigkeit von v_2 darstellen :

(II) v_3 = 2v_2

(II) in (I): 2v_1 + 6v_2=0

\Leftrightarrow v_1 = -3v_2

Die Lösungsvektoren haben demnach die Form

v= \left(\begin{array}{c} v_1\\v_2\\v_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -3v_2\\v_2\\2v_2 \end{array}\right) = v_2\left(\begin{array}{c} -3\\1\\2 \end{array}\right) .

Für den Kern der Matrix Cergibt sich damit in Mengenschreibweise:

Kern(C)= \left\{\lambda \left(\begin{array}{c} -3\\1\\2 \end{array}\right) | \lambda \in \mathbb{R} \right\}.

Jetzt neu
Teste Dein Wissen mit Übungsaufgaben

Andere Nutzer halten diese Inhalte aus dem Bereich „Lineare Algebra“ für besonders klausurrelevant

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.