Lineare Algebra

Orthonormalbasis

Was ist eine Orthonormalbasis und wie unterscheidet sie sich von einer Orthogonalbasis? Nicht nur diese Fragen klären wir in dem folgenden Artikel. Wir zeigen dir auch, wie du beliebige Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis darstellen kannst und wie du eine Orthonormalbasis bestimmen kannst.

All diese Dinge lassen sich in einem Video allerdings noch einprägsamer und prägnanter erläutern. Und genau aus diesem Grund haben wir für dich ein solches Video erstellt.

Inhaltsübersicht

Orthonormalbasis einfach erklärt

Eine Orthonormalbasis (oft mit ONB abgekürzt) ist eine Basis eines Vektorraumes, wobei deren Basisvektoren orthonormal zueinander sind. Das heißt das Skalarprodukt zweier beliebiger Basisvektoren ergibt Null und jeder Basisvektor besitzt die Norm 1.

Grundsätzlich steckt in dem Begriff Orthonormalbasis schon alles drin, was ihn ausmacht – orthonormal und Basis. Wir wollen also zunächst diese beiden Begriffe noch einmal kurz klären:

  • Eine Basis eines Vektorraum V ist eine Menge aus Vektoren dieses Vektorraums. Diese sogenannten Basisvektoren sind linear unabhängig und stellen ein Erzeugendensystem des Vektorraums dar. Das bedeutet, dass jeder beliebige Vektor des Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann. Da die Vektoren linear unabhängig sind, stellen sie ein kleinstmögliches Erzeugendensystem dar. Würde man einen Basisvektor weglassen, könnte man nicht mehr jeden beliebigen Vektor des Vektorraums als Linearkombination darstellen.
  • Zwei Vektoren v und w nennt man orthonormal, wenn sie orthogonal zueinander sind und die Norm 1 besitzen:
    • Orthogonalität: \langle v,w\rangle=0
    • Normierung: ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}=1, ||w||=\sqrt{\langle w,w\rangle}=1

Unterschied Orthonormalbasis und Orthogonalbasis

Der Begriff Orthonormalbasis unterscheidet sich vom Begriff der Orthogonalbasis also dadurch, dass bei der Orthogonalbasis die Normierung der Basisvektoren nicht gefordert wird. Hier genügt es, dass sie orthogonal zueinander stehen. Eine Menge paarweise orthogonal zueinander stehender Vektoren heißt Orthogonalsystem. Analog nennt man eine Menge paarweise orthonormaler Vektoren ein Orthonormalsystem. Eine Orthonormalbasis ist also eine Basis, welche ein Orthonormalsystem darstellt.

Es gilt: Für jeden endlichdimensionalen Vektorraum mit einem Skalarprodukt lässt sich auch eine Orthonormalbasis bestimmen.

Koordinatendarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis

Betrachtungen in der Linearen Algebra hängen oft maßgeblich davon ab, welche Basis man für den betrachteten Vektorraum wählt.

Darstellung von Vektoren hinsichtlich einer Orthonormalbasis

Hat man für einen Vektorraum V eine ONB B=\left\{b_1,b_2,...,b_n\right\} aus den Basisvektoren b_1,b_2,...,b_n gefunden, kann man jeden beliebigen Vektor v\in V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

v=v_1\cdot b_1 + v_2\cdot b_2+...+v_n\cdot b_n=\sum\limits_{i=1}^n v_i\cdot b_i   mit v_i\in \mathbb{R}

Die Koeffizienten v_i dieser Linearkombination nennt man dann die Koordinaten des Vektors bzgl. dieser Basis. Für sie gilt:

v_i=\langle v, b_i\rangle

Der Vektor v lässt sich bzgl. der ONB B=\left\{b_1,b_2,...,b_n\right\} also folgendermaßen darstellen:

v=\sum\limits_{i=1}^n \langle v, b_i\rangle\cdot b_i

Beispiel der Vektordarstellung

Wir wollen den Vektor v=\left( \begin{array}{cc}1\\2\end{array}\right) des \mathbb{R}^2 bezüglich einer ONB darstellen. Die einfachste ONB stellt die Standardbasis aus den folgenden Basisvektoren dar:

e_1=\left( \begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right), e_2=\left( \begin{array}{cc}0\\1\end{array}\right)

Du kannst leicht nachprüfen, dass diese Vektoren bzgl. des Standardskalarprodukts orthogonal zueinander sind und die Norm 1 besitzen. Auch die Koordinaten v_i sind leicht zu berechnen.

v_1=1, v_2=2

Der Vektor v sieht in der Darstellung bzgl. der Standardbasis also wie folgt aus:

v=1\cdot \left( \begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right) + 2\cdot \left( \begin{array}{cc}0\\1\end{array}\right)

Neben der Standardbasis lassen sich allerdings auch andere Orthonormalbasen des \mathbb{R}^2 finden. Zum Beispiel kann man die folgende Orthonormalbasis bestimmen.

b_1=\left( \begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), b_2=\left( \begin{array}{cc}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)

Wir wollen hier kurz exemplarisch die Orthonormalität dieser Basisvektoren zeigen und hierfür die Bedingungen prüfen:

  • Orthogonalität: \langle b_1,b_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=0
  • Normierung b_1: ||b_1||=\sqrt{\langle b_1,b_1\rangle}=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1
  • Normierung b_2: ||b_2||=\sqrt{\langle b_2,b_2\rangle}=\sqrt{\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1

Es handelt sich hierbei also tatsächlich um eine orthonormal Basis. Nun können wir wie oben angegeben die Koordinaten v_1, v_2 des Vektors v=\left( \begin{array}{cc}1\\2\end{array}\right) bzgl. dieser ONB bestimmen:

v_1=\langle v, b_1\rangle=1\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}

v_2=\langle v, b_2\rangle=1\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}+ 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Der Vektor v besitzt also bezüglich der angegebenen ONB die folgende Darstellung:

v=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \left( \begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left( \begin{array}{cc}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)

Orthonormalbasis - Beispiel
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Orthonormalbasis – Beispiel

Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen

In der Koordinatendarstellung bzgl. einer ONB besitzt jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarproduktes. Konkret bedeutet dies folgendes: besitzen die Vektoren v und w bzgl. der ONB die Koordinaten v_1, v_2, ..., v_n bzw. w_1, w_2, ..., w_n dann gilt im Reellen

\langle v, w\rangle= v_1w_1 + v_2w_2+...+v_nw_n

und im Komplexen

\langle v, w\rangle= \bar{v}_1w_1 + \bar{v}_2w_2+...+\bar{v}_nw_n.

Bezüglich einer ONB ist die Darstellungsmatrix einer orthogonalen Abbildung eine orthogonale Matrix und die Darstellungsmatrix einer unitären Abbildung ist bzgl. einer orthonormal Basis eine unitäre Matrix.

Orthonormalbasis bestimmen

Will man eine Orthonormalbasis bestimmen, dann bietet sich das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren  an. Dieses soll im folgenden in den Grundzügen erklärt werden.

Gram-Schmidt-Verfahren

Mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann man aus den linear unabhängigen Vektoren v_1, v_2, ..., v_n ein Orthonormalsystem bestimmen. Bilden die Vektoren v_1, v_2, ..., v_n eine Basis, so stellt das bestimmte Orthonormalsystem auch eine orthonormal Basis dar. Die einzelnen Vektoren w_1, w_2, ..., w_n des Orthonormalsystems werden bei dem Verfahren schrittweise berechnet, indem sie zunächst mithilfe der orthogonalen Projektion  orthogonalisiert und anschließend normiert werden.

Orthonormalbasis aus Eigenvektoren

Bei der Bestimmung einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ist die folgende Erkenntnis nützlich: ist die reelle Matrix A symmetrisch, so sind ihre Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten  orthogonal zueinander. Bilden diese Eigenvektoren auch noch eine Basis des betrachteten Vektorraums, so müssen sie lediglich normiert werden, wenn man eine Orthonormalbasis berechnen will.


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