Lineare Algebra

Determinante 2×2

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die Determinante einer 2×2 Matrix berechnest. Du möchtest das Thema anschaulich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Determinante 2×2 einfach erklärt

Einer 2×2 Matrix kannst du eine Zahl zuordnen, die du Determinante nennst.

Betrachte die Matrix A= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}. Um die 2×2 Determinante der Matrix A zu bestimmen, berechnest du zuerst das Produkt der Haudiagonale 3 \cdot 5 und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale 1 \cdot 4 ab

\det(A)= \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 4 = 11.

Merke

Die Determinante einer 2×2 Matrix A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} berechnest du wie folgt

\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= a \cdot d - c \cdot b

Du rechnest also: Links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben.

Hinweis: Für die Notation der Determinante findest du die Schreibweisen \det(A) oder |A|.

Determinante 2×2 berechnen

Du bestimmst die Determinante einer 2×2 Matrix indem du ihre Komponenten in die Formel a \cdot d - c \cdot b einsetzt. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Beispiel 1

Betrachte als Beispiel die Matrix A= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. Für die Determinante berechnest du zuerst die Produkte der Diagonalen. Das heißt, du multiplizierst zuerst die Komponenten 1 und 3

1 \cdot 3 = 3.

Anschließend bestimmst du das Produkt aus 2 und 4

2 \cdot 4 = 8.

Um nun die 2×2 Determinante von A zu berechnen, ziehst du nun das zweite Produkt vom ersten Produkt ab

\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5.

Beispiel 2

Möchtest du die Determinante der 2×2 Matrix B= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} berechnen, so multiplizierst du auch hier wieder die Einträge der Diagonalen und subtrahierst sie anschließend. Als Ergebnis bekommst du

\det(B) = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}= -2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4.

Beispiel 3

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Um die Determinante der 2×2 Matrix C= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} zu bestimmen, rechnest du

\det(C)= \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 8 \cdot 3 = 0.

Weitere Themen zur Determinante

Neben der Determinante einer 2×2 Matrix haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Determinante 2×2 Aufgaben

Im folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit welchen du das Berechnen einer 2×2 Determinante üben kannst.

Aufgabe 1: Determinante berechnen 2×2

Berechne die Determinante der Matrix A= \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}.

Lösung Aufgabe 1

Für die Determinante der Matrix A setzt du die Einträge von A in die Formel \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= a \cdot d - c \cdot b ein. Damit ergibt sich für die Matrix A die Determinante

\det(A)= \begin{vmatrix} -5 & -6 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = -5 \cdot 2 + 8 \cdot 6 = 38.

Aufgabe 2: 2×2 Matrix Determinante

Bestimme die Determinante der Matrix A= \begin{pmatrix} -7 & -4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}.

Lösung Aufgabe 2

Auch hier verwendest du die Formel \det(A) = a \cdot d - c \cdot b. Du rechnest somit

\det(A)= \begin{vmatrix} -7 & -4 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = 7 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 21.

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