Lineare Algebra

Vektorraum

In diesem Beitrag erklären wir den Begriff Vektorraum und wie du beweisen kannst, dass eine Menge einen Vektorraum definiert. Zudem stellen wir eine Reihe von Beispielen für Vektorräume vor und klären die Begriffe Basis und Dimension eines Vektorraums.

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Inhaltsübersicht

Vektorraum einfach erklärt

Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente addiert und mit Skalaren multipliziert werden können. Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Das Ergebnis der Vektoraddition und Skalarmultiplikation muss stets wieder ein Vektor sein und die Skalare müssen aus einem Körper \mathbb{K} stammen. Deshalb spricht man auch vom Vektorraum über dem Körper \mathbb{K}. Häufig handelt es sich dabei um den Körper der reellen \mathbb{R} oder komplexen  Zahlen \mathbb{C}. Darüber hinaus muss ein Vektorraum eine Reihe von Bedingungen, die sogenannten Vektorraumaxiome, erfüllen.

Vektorraum Definition

Eine Menge V ist ein Vektorraum, wenn es eine Verknüpfung \oplus : V \times V \to V und eine Verknüpfung \odot : \mathbb{K} \times V \to V bzgl. einem Körper (\mathbb{K}, \cdot, +) gibt. Die erste Verknüpfung wird Vektoraddition und die zweite Skalarmultiplikation genannt. Zudem müssen diese für alle u,v,w \in V und \alpha, \beta \in \mathbb{K} die folgenden Vektorraumaxiome erfüllen:

bzgl. der Vektoraddition:

V1: u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v) \oplus w (Assoziativgesetz)

V2: Es existiert ein neutrales Element 0_V \in V mit v \oplus 0_V = 0_V \oplus v = v

V3: Es existiert zu jedem v\in V ein inverses Element v^{-1} \in V mit v \oplus v^{-1} = v^{-1} \oplus v = 0_V

V4: v \oplus u = u \oplus v (Kommutativgesetz)

bzgl. der Skalarmultiplikation:

S1: \alpha \odot (u \oplus v) = (\alpha \odot u) \oplus(\alpha \odot v) (Distributivgesetz)

S2: (\alpha + \beta) \odot v = (\alpha \odot v) \oplus (\beta \odot v)

S3: (\alpha \cdot \beta) \odot v = \alpha \odot (\beta \odot v)

S4: Für das Einselement 1_K \in \mathbb{K} gilt: 1_K \odot v = v

Vektorraumaxiome Vektorraum Bedingungen
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Vektorraumaxiome

Vektorraum beweisen

Um zu zeigen, dass eine Menge zusammen mit ihren Verknüpfungen \oplus und \odot einen Vektorraum bildet, müssen folglich alle Vektorraumaxiome nachgeprüft werden. Dabei ist zu beachten, dass "+" für Elemente des Körpers \mathbb{K} und "\oplus" für die Elemente in V definiert ist. Das heißt die beiden Vorschriften können sich durchaus unterscheiden. Gleiches gilt auch für "\cdot" und "\odot".

Beispiele für Vektorräume

Damit klar wird, wie eine Beweisführung für einen Vektorraum aussehen kann, betrachten wir im Folgenden eine Reihe von typischen Beispielen.

Koordinatenraum

Der wohl bekannteste Vektorraum ist der Koordinatenraum. Sei (\mathbb{K},+, \cdot) ein Körper und n \in \mathbb{N} eine natürliche Zahl. Dann ist der Koordinatenraum definiert als die Menge aller n-Tupel mit Einträgen aus \mathbb{K}:

\mathbb{K}^n=\{(v_1, ..., v_n) | v_1, ..., v_n \in \mathbb{K}\}.

Dabei ist die Vektoraddition \oplus : \mathbb{K}^n \times \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n für zwei Vektoren v=(v_1, ..., v_n) und w=(w_1, ..., w_n) aus \mathbb{K}^n folgendermaßen definiert:

v \oplus w = (v_1, ..., v_n) \oplus (w_1, ..., w_n) = (v_1 + w_1, ..., v_n + w_n)

mit + als Addition im Körper \mathbb{K}.

Die Skalarmultiplikation \odot : \mathbb{K} \times \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n ist für \alpha \in \mathbb{K} als

\alpha \odot v = \alpha \odot (v_1, ..., v_n) = (\alpha \cdot v_1, ..., \alpha \cdot v_n)

festgelegt. Dabei stellt \alpha \cdot v_i die Multiplikation im Körper \mathbb{K} dar.

Beispielsweise ist die euklidische Ebene \mathbb{R}^2 ein solcher Koordinatenraum.

Wir wollen nun im Folgenden zeigen, dass es sich beim Koordinatenraum \mathbb{K}^n tatsächlich um einen Vektorraum handelt, indem wir die Vektorraumaxiome prüfen. Hierfür seien u,v,w Elemente aus \mathbb{K}^n und \alpha und \beta aus \mathbb{K}.

Axiome der Vektoraddition:

Zuerst müssen wir das Assoziativgesetz V1 zeigen. Wir betrachten daher u \oplus (v \oplus w) und führen die Vektoraddition entsprechend ihrer Definition aus:

u \oplus (v \oplus w) = (u_1, ..., u_n) \oplus \left( (v_1, ..., v_n) \oplus (w_1, ..., w_n)\right)

= (u_1, ..., u_n) \oplus (v_1+w_1, ..., w_1+w_n)

= (u_1 + (v_1+w_1), ..., u_n+(v_n+w_n)).

Da in jedem Körper \mathbb{K} das Assoziativgesetz gilt, können wir nun entsprechend Umklammern und erhalten:

u \oplus (v \oplus w) = (u_1 + (v_1+w_1), ..., u_n+(v_n+w_n))

= ((u_1+v_1)+w_1, ..., (u_n+v_n)+w_n)

= (u_1+v_1, ..., u_n+v_n) \oplus (w_1, ..., w_n)

= ((u_1, ..., u_n) \oplus (v_1, ..., v_n)) \oplus (w_1, ..., w_n)

  =(u \oplus v)\oplus w.

Damit wurde V1 bewiesen.

Für V2 müssen wir zeigen, dass ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Addition im Vektorraum existiert. In diesem Fall ist es das n-Tupel, welches in jedem Eintrag das Nullelement 0_K des Körpers \mathbb{K} stehen hat:

0_{\mathbb{K}^n}= (0_K, ..., 0_K).

Wir müssen jedoch noch zeigen, dass es sich bei diesem Element tatsächlich um das neutrale Element von \mathbb{K}^n handelt. Wir betrachten dafür

v \oplus 0_{\mathbb{K}^n}= (v_1, ..., v_n) \oplus (0_K, ..., 0_K) = (v_1 + 0_K, ..., v_n+0_K)

Da 0_K das Nullelement, also das neutrale Element der Addition in \mathbb{K} darstellt, gilt v_i+ 0_K = v_i für alle i=1, ...,n und deshalb

(v_1 + 0_K, ..., v_n+0_K) = (v_1, ..., v_n) = v

Völlig analog begründet sich auch 0_{\mathbb{K}^n} \oplus v = v, womit V2 bewiesen ist.

Für V3 müssen wir zeigen, dass jeder Vektor v \in \mathbb{K}^n ein inverses Element v^{-1} im Vektorraum besitzt. Daher betrachten wir einen beliebigen Vektor v=(v_1, ..., v_n), dessen Einträge bekanntermaßen alle aus dem Körper \mathbb{K} stammen. Nun wissen wir zudem, dass zu jedem Element aus einem Körper ein additives Inverses in diesem Körper existiert. Somit gibt es für jedes der v_i \in \mathbb{K} ein additives Inverses -v_i \in \mathbb{K}, sodass

v_i + (-v)= 0_K = -v_i + v_i

gilt. Aus diesem Grund definieren wir das inverse Element in \mathbb{K}^n als

v^{-1}=(-v_1, ..., -v_n).

Denn damit ist

v \oplus v^{-1} = (v_1, ..., v_n) \oplus (-v_1, ..., -v_n)

=(v_1 + (-v_1), ..., v_n + (-v_n))

= (0_K, ..., 0_K) = 0_{\mathbb{K}^n}

erfüllt. Analog gilt auch v^{-1} \oplus v = 0_{\mathbb{K}^n} und somit V3.

Zum letzten Punkt der Vektoraddition V4: Die Kommutativität zwischen zwei Elementen v_i und w_i aus \mathbb{K}^n ist aufgrund der in \mathbb{K} geltenden Kommutativität

v_i + w_i = w_i + v_i

gegeben. Somit ist auch V4 erfüllt.

Axiome der Skalarmultiplikation

Im ersten Axiom S1 zeigen wir das Distributivgesetz. Hierfür berechnen wir

\alpha \odot (u \oplus v) = \alpha \odot (u_1+v_1, ..., u_n + v_n)

= (\alpha \cdot (u_1+v_1), ..., \alpha \cdot (u_n+v_n)).

Im Körper \mathbb{K} ist das Distributivgesetz erfüllt, weshalb für \alpha und alle u_i, v_i in \mathbb{K} gilt

\alpha\cdot (u_i+v_i) = (\alpha \cdot u_i) + (\alpha \cdot v_i).

Setzen wir das nun für jeden Eintrag oben ein, erhalten wir

\alpha \odot (u \oplus v) = (\alpha \cdot (u_1+v_1), ..., \alpha \cdot (u_n+v_n))

= ((\alpha \cdot u_1)+(\alpha \cdot v_1), ..., (\alpha \cdot u_n)+(\alpha \cdot v_n))

= (\alpha\cdot u_1, ..., \alpha \cdot u_n) \oplus (\alpha \cdot v_1, ..., \alpha \cdot v_n)

=(\alpha \odot (u_1, ..., u_n)) \oplus (\alpha \odot (v_1, ..., v_n))

=(\alpha \odot u) \oplus (\alpha \odot v)

und somit das Distributivgesetz.

Nun zum Axiom S2. Ähnlich zu S1 nutzt man hier aus, dass im Körper \mathbb{K} gilt

(\alpha+\beta) \cdot v_i = (\alpha \cdot v_i) + (\beta \cdot v_i).

Mit dieser Eigenschaft ergibt sich folglich:

(\alpha + \beta) \odot v = (\alpha + \beta) \odot (v_1, ..., v_n)

=((\alpha + \beta)\cdot v_1, ..., (\alpha + \beta) \cdot v_n)

=((\alpha \cdot v_1)+(\beta \cdot v_1), ..., (\alpha \cdot v_n) + (\beta \cdot v_n))

= (\alpha \cdot v_1, ..., \alpha \cdot v_n) \oplus (\beta \cdot v_1, ..., \beta \cdot v_n)

= (\alpha \odot (v_1, ..., v_n)) \oplus (\beta \odot (v_1, ..., v_n))

=  (\alpha \odot v) \oplus (\beta \odot v).

S3 ist aufgrund der Assoziativität bzgl. "\cdot" im Körper \mathbb{K}, erfüllt. Denn es gilt:

(\alpha \cdot \beta) \odot v = ((\alpha \cdot \beta)\cdot v_1, ..., (\alpha \cdot \beta)\cdot v_n)

= (\alpha \cdot (\beta \cdot v_1), ..., \alpha \cdot (\beta \cdot v_n))

= \alpha \odot (\beta \cdot v_1, ..., \beta \cdot v_n)

= \alpha \odot (\beta \odot v).

Schließlich beweisen wir das letzte Vektorraumaxiom S4. Hierbei zeigen wir, dass das Einselement des Körpers \mathbb{K} auch in der Skalarmultiplikation des Vektorraums ein neutrales Element darstellt. Nun, da 1_K  \in \mathbb{K} das neutrale Element der Multiplikation ist, d.h. 1_K \cdot v_i = v_i für alle v_i \in \mathbb{K}, gilt:

1_K \odot v = 1_K \odot (v_1, ..., v_n)

= (1_K \cdot v_1, ..., 1_K\cdot v_n)

= (v_1, ..., v_n) = v.

Somit haben wir bewiesen, dass der Koordinatenraum \mathbb{K}^n ein Vektorraum ist.

Polynomräume

Ein weiteres sehr bekanntes Beispiel für einen Vektorraum ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper (\mathbb{K},+,\cdot):

\mathbb{K}[X] := \left\{p(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + a_3x^3 + ...+ a_nx^n | a_i \in \mathbb{K}, n \in \mathbb{N}\right\}

Das heißt jedes Polynom wird durch die Folge ihrer Koeffizienten charakterisiert. Dabei gilt für ein Polynom vom Grad n, dass die Folge der Koeffizienten \left(a_i\right)_{i\geq 0} ab dem n+1-ten Folgenglied nur aus Nullelementen 0_K besteht, d.h. \left(a_i\right)_{i\geq 0} = (a_0, a_1, ..., a_n, 0_K, 0_K, 0_K, ...).

Die Vektoraddition entspricht in diesem Fall der üblichen Addition von Polynomen, d.h. für zwei Polynome p(x)=\sum \limits_{i=0}^n a_ix^{i} und q(x)= \sum \limits_{i=0}^m b_ix^{i} aus \mathbb{K}[X] gilt

p(x)\oplus q(x) = \sum \limits_{i=0}^n a_ix^{i} \oplus  \sum \limits_{i=0}^m b_ix^{i} = \sum \limits_{i=0}^{max(n,m)} (a_i+b_i)x^{i}.

Die Skalarmultiplikation ist ebenfalls nicht überraschend für \alpha \in \mathbb{K} als

\alpha \odot p(x) = \sum \limits_{i=0}^n (\alpha \cdot a_i)x^{i}

definiert. Wir möchten auch für den Polynomraum zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Vektorraum handelt, indem wir die Vektorraumaxiome prüfen.

Axiome der Vektoraddition

Es seien p(x)= \sum \limits_{i=0}^n a_ix^{i}, q(x) = \sum \limits_{i=0}^m b_ix^{i} und z(x) = \sum \limits_{i=0}^k c_ix^{i} Polynome aus \mathbb{K}[X] und \alpha und \beta aus \mathbb{K}.

V1: Das Assoziativgesetz ist aufgrund der bereits geltenden Assoziativität im Körper \mathbb{K} erfüllt. Daher gilt

p(x) \oplus (q(x) \oplus z(x))= (p(x) \oplus q(x)) \oplus z(x).

V2: Das neutrale Element 0_{\mathbb{K}[X]} entspricht dem Nullpolynom, d.h. jenem Polynom, das durch die Nullfolge (0_K, 0_K,...) charakterisiert ist. Denn damit gilt

p(x) \oplus 0_{\mathbb{K}[X]} = \sum \limits_{i=0}^n (0_K+a_i)x^{i} = \sum \limits_{i=0}^n a_ix^{i} = p(x),

genauso wie 0_{\mathbb{K}[X]} \oplus p(x) = p(x).

V3: Zu jedem Polynom p(x) existiert ein inverses Element p(x)^{-1}, welches durch die additiven Inversen der Koeffizienten im Körper \mathbb{K} definiert ist. D.h. p(x)^{-1}= \sum \limits_{i=0}^n (-a_i)x^{i} mit -a_i + a_i = 0_K für alle i=0,..., n. Denn so ist die Eigenschaft

p(x) \oplus p(x)^{-1} = \sum \limits_{i=0}^n (a_i +(-a_i))x^{i}= \sum \limits_{i=0}^n 0_K x^{i} = 0_{\mathbb{K}[X]}

= p(x)^{-1} \oplus p(x)

erfüllt.

V4: Das Kommutativgesetz ist ebenfalls aufgrund der in \mathbb{K} geltenden Kommutativität gegeben. Demnach gilt

p(x) \oplus q(x) = q(x) \oplus p(x).

Axiome der Skalarmultiplikation

S1: Das Distributivgesetz gilt erneut aus dem Grund, dass die Distributivität in \mathbb{K} erfüllt ist und somit:

\alpha \odot (p(x) \oplus q(x)) = \sum \limits_{i=0}^{max(n,m)} (\alpha \cdot (a_i+b_i))x^{i}

= \sum \limits_{i=0}^{max(n,m)} ((\alpha \cdot a_i)+(\alpha \cdot b_i))x^{i}

= (\alpha \odot p(x)) \oplus (\alpha \odot q(x)).

S2: Da die gewünschte Eigenschaft in \mathbb{K} gilt, erhalten wir auch im Polynomraum

(\alpha + \beta) \odot p(x) =  \sum \limits_{i=0}^n ((\alpha + \beta)\cdot a_i )x^{i}

=  \sum \limits_{i=0}^n ((\alpha \cdot a_i )+ (\beta \cdot a_i))x^{i}

= \sum \limits_{i=0}^n (\alpha \cdot a_i )x^{i} \oplus \sum \limits_{i=0}^n (\beta \cdot a_i)x^{i}

= (\alpha \odot p(x)) \oplus (\alpha \odot p(x)).

S3: \mathbb{K} besitzt die Assoziativität auch bzgl. der in \mathbb{K} definierten Mutiplikation. Diese wenden wir an, um S3 zu zeigen:

(\alpha \cdot \beta) \odot p(x) =  \sum \limits_{i=0}^n ((\alpha \cdot \beta)\cdot a_i) x^{i}

=  \sum \limits_{i=0}^n (\alpha \cdot (\beta\cdot a_i) )x^{i}

= \alpha \odot \sum \limits_{i=0}^n (\beta \cdot a_i)x^{i}

= \alpha \odot (\beta \odot p(x)).

S4: Wir berechnen die Skalarmultiplikation 1_K \odot p(x), wobei 1_K \in \mathbb{K} das neutrale Element der Multiplikation in \mathbb{K} darstellt:

1_K \odot p(x) = \sum \limits_{i=0}^n  (1_K \cdot a_i)x^{i}

= \sum \limits_{i=0}^n  a_i x^{i}

=p(x).

Damit sind schließlich alle Vektorraumaxiome erfüllt.

Funktionenräume

Eine weitere große Gruppe von Vektorräumen sind die Funktionenräume. Um einen Funktionenraum definieren zu können, benötigen wir einen Körper \mathbb{K}, einen Vektorraum V über diesen Körper und eine beliebige Menge X. Dann entspricht der Funktionenraum F(X,V) der Menge aller Funktionen

f:X \to V.

Die Vektoraddition für den Funktionenraum muss demnach zwei Funktionen, die von X nach V abbilden, erneut auf eine Funktion mit Definitionsmenge X und Zielmenge V abbilden.

Deshalb definieren wir f\oplus g, als die Funktion f\oplus g:X \to V mit der Abbildungsvorschrift:

x \mapsto f(x) \oplus_V g(x).

Mit \oplus_V als die auf V definierte Vektoraddition und f(x) und g(x) als Elemente in V, liegt das Bild von f\oplus g in V und ist demnach wohldefiniert.

Analog definieren wir auch die Skalarmultiplikation von F(X,V). Für \alpha \in \mathbb{K} und f\in \F(X,V) ist \alpha \odot f die Funktion, welche alle x \in X folgendermaßen abbildet:

x \mapsto \alpha \odot_V f(x).

Basis und Dimension eines Vektorraums

In diesem Abschnitt erklären wir dir, was es mit der Basis und der Dimension eines Vektorraums auf sich hat.

Basis

Vektoren \{v_1, ..., v_n\} eines Vektorraums (V,+,\cdot) über \mathbb{K} bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig  sind und den gesamten Vektorraum aufspannen. Damit ist gemeint, dass jedes Element des Vektorraums als eine Linearkombination

w= \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n

der Basisvektoren \{v_1, ..., v_n\} mit Koeffizienten \alpha_i aus \mathbb{K} im Vektorraum dargestellt werden kann.

Beispielsweise sind die Vektoren

\left\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\right\}

eine sogenannte Standardbasis der Euklidischen Ebene \mathbb{R}^2. Denn sie sind linear unabhängig und jeder Vektor v=\left( \begin{array}{c} v_1\\v_2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^2 kann einfach mit \alpha_1=v_1 und \alpha_2=v_2 als Linearkombination

v=\left( \begin{array}{c} v_1\\v_2\end{array}\right) = v_1 \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) + v_2 \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)

im Vektorraum dargestellt werden. Tatsächlich handelt es sich bei dieser Basis sogar um eine sogenannte Orthonormalbasis .

Dimension

Als Dimension bezeichnet man die Anzahl der Basisvektoren einer Basis des Vektorraums. Tatsächlich muss diese Anzahl nicht wie im obigen Beispiel immer endlich sein. Betrachten wir noch einmal den Polynomraum \mathbb{K}[X], also die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus \mathbb{K}. Für diesen Vektorraum stellt

\{1, x, x^2, x^3, ...\}

eine Basis des Vektorraums dar. Diese Menge ist unendlich, weshalb auch die Dimension des Polynomraums unendlich ist.

Vektorräume mit zusätzlicher Struktur

Oftmals reichen die Vektoraddition und Skalarmultiplikation nicht aus und man möchte mehr Struktur auf dem Vektorraum haben, beispielsweise um Abstände zwischen zwei Elementen betrachten zu können. Es folgt eine Reihe von Vektorräumen mit solch zusätzlicher Struktur.

Normierter Raum

Das ist ein Vektorraum, dessen Vektoren eine Länge, die sogenannte Norm, besitzen.

Prähilbertraum

Ein Prähilbertraum ist ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit einer zusätzlichen Verknüpfung, die das Betrachten von Längen und Winkeln im Vektorraum ermöglicht.

Euklidischer Vektorraum

Der euklidische Vektorraum entspricht dem Prähilbertraum über \mathbb{R}. Die zusätzliche Verknüpfung ist in diesem Fall das Skalarprodukt.

Unitärer Vektorraum

Dieser ist ebenfalls ein Spezialfall des Prähilbertraums, hier mit \mathbb{K}=\mathbb{C}. Die zusätzliche Verknüpfung entspricht dem Skalarprodukt in \mathbb{C}.


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