Lineare Algebra

Inverse Matrix berechnen

Du sollst eine inverse Matrix berechnen? Hier bist du genau richtig, denn wir zeigen dir Schritt für Schritt wie du eine Matrix invertieren kannst! Wenn du dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen willst, dann schau dir einfach unser Video  an.

Inhaltsübersicht

Inverse Matrix berechnen einfach erklärt  

Um eine inverse Matrix A^{-1} zu berechnen, schreibst du zuerst die Einheitsmatrix rechts daneben und erzeugst nun durch Zeilenumformungen eine Einheitsmatrix auf der linken Seite. Dabei kannst du den Gauß-Jordan-Algorithmus verwenden. Wenn du links die Einheitsmatrix erzeugt hast, kannst du rechts einfach deine inverse Matrix ablesen.

\left(\begin{array}{rr}0&1\\-1&0\\\end{array}\left|\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\left|\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right).

Dabei nutzt du aus, dass die Matrix A multipliziert mit der inversen Matrix A^{-1} die Einheitsmatrix E ergibt. Es gilt also

A \cdot A^{-1} = E.

\left(\begin{array}{rr}0&1\\-1&0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)

Du kannst aber nicht jede beliebige Matrix invertieren, sondern nur quadratische Matrizen, deren Determinante nicht Null ist. 

\det(A) \neq 0

Mit dieser Formel kannst du die Matrix also schnell auf Invertierbarkeit prüfen. Anschließend kannst du die inverse Matrix berechnen. Wie das genau funktioniert, sehen wir uns gleich mal gemeinsam an.

Matrix invertieren  

Lass uns an einem Schritt für Schritt Beispiel zeigen, wie du eine inverse Matrix berechnen kannst.

A = \left( \begin{array}{rrr}2&0&1\\4&1&2\\4&2&0\\\end{array}\right)

Die Matrix A ist quadratisch und hat die Determinante \det(A) = -4 \neq 0, sie ist also invertierbar. Du kannst die inverse Matrix berechnen, indem du folgende Schritte durchgehst. 

Schritt 1: Als erstes schreibst du die Einheitsmatrix neben die ursprüngliche Matrix A. Ab jetzt behandelst du die so erweiterte Matrix als Gesamtpaket.

\left( \begin{array}{rrr}2&0&1\\4&1&2\\4&2&0\\\end{array}\left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Schritt 2: Jetzt formst du die Matrix so um, dass du links die Einheitsmatrix erhältst. Dazu bietet sich zum Beispiel der Gauß-Jordan-Algorithmus an.

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\left|\begin{array}{rrr}1&-0.5&0.25\\-2&1&0\\-1&1&-0.5\\\end{array}\right)

Schritt 3: Damit hast du es geschafft, denn die Matrix rechts vom Trennstrich ist die invertierte Matrix. Du kannst sie jetzt direkt ablesen.

A^{-1} = \left(\begin{array}{rrr}1&-0.5&0.25\\-2&1&0\\-1&1&-0.5\\\end{array}\right)

Inverse Matrix berechnen Beispiel  

Jetzt nochmal Schritt für Schritt. Du startest mit der Matrix A.

A = \left( \begin{array}{rrr}2&0&1\\4&1&2\\4&2&0\\\end{array}\right)

Schritt 1: Rechts neben die Matrix schreibst du die Einheitsmatrix, dazwischen setzt du einen Trennstrich. So verlierst du nicht den Überblick.

\left(\begin{array}{rrr}2&0&1\\4&1&2\\4&2&0\\\end{array} \left| \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Schritt 2: Jetzt erzeugst du auf der linken Seite eine Einheitsmatrix. Dabei orientieren wir uns am Gauß-Jordan-Algorithmus

\left(\begin{array}{rrr}2&0&1\\4&1&2\\4&2&0\\\end{array} \left| \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Umformung 1)

Zuerst willst du links oben eine 1 erzeugen. Teile dafür die komplette erste Zeile durch 2. Dabei verändert sich auch die rechte Matrix.

[Zeile 1] : 2.

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0.5\\4&1&2\\4&2&0\\\end{array}\left|\begin{array}{rrr}0.5&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Umformung 2)

Jetzt musst du in der ersten Spalte ganz links noch Nullen unter der Eins erzeugen. Dafür multiplizierst du die erste Zeile mit 4 und ziehst sie von der zweiten Zeile ab. 

[Zeile 2] - 4 \cdot [Zeile 1]

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0.5\\0&1&0\\4&2&0\\\end{array} \left| \begin{array}{rrr}0.5&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Umformung 3)

Genauso gehst du jetzt bei der dritten Zeile vor, auch hier ziehst du viermal die erste Zeile ab, um eine Null zu erzeugen.

[Zeile 3] - 4 \cdot [Zeile 1]

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0.5\\0&1&0\\0&2&-2\\\end{array} \left| \begin{array}{rrr}0.5&0&0\\-2&1&0\\-2&0&1\\\end{array}\right)

Umformung 4)

Als nächstes schaust du dir die zweite Spalte an. Die zweite Zeile hat schon eine 1 an der passenden Stelle. Deshalb musst du nur noch eine 0 in der dritten Zeile schaffen. Dafür nutzt du die zweite Zeile, multiplizierst sie mit 2 und ziehst sie von der dritten Zeile ab.

[Zeile 3] - 2 \cdot [Zeile 2]

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0.5\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{array} \left| \begin{array}{rrr}0.5&0&0\\-2&1&0\\2&-2&1\\\end{array}\right)

Umformung 5)

Weiter geht’s mit der dritten Spalte. Hier erzeugst du zuerst eine Eins in der dritten Zeile, indem du die gesamte Zeile durch -2 teilst.

[Zeile 3] : (-2)

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0.5\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array} \left| \begin{array}{rrr}0.5&0&0\\-2&1&0\\-1&1&-0.5\\\end{array}\right)

Jetzt steht links schon fast die Einheitsmatrix. Du musst nur noch einen Eintrag in der ersten Zeile korrigieren.

Umformung 6)

Um die letzte Null zu erzeugen, multiplizierst du die dritte Zeile mit 0.5 und ziehst sie von der ersten Zeile ab.

[Zeile 1] - 0.5 \cdot [Zeile 3]

\left( \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\left| \begin{array}{rrr}1&-0.5&0.25\\-2&1&0\\-1&1&-0.5\\\end{array}\right)

Schritt 3: Geschafft, du hast links eine Einheitsmatrix erzeugt. Jetzt kannst du die Inverse direkt aus dem rechten Teil ablesen.

A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}1&-0.5&0.25\\-2&1&0\\-1&1&-0.5\\\end{array}\right)

Analog zu diesem Beispiel kannst du jede inverse Matrix berechnen.

Inverse Matrix berechnen 2×2

Mit diesem Verfahren kannst du jede Matrix invertieren. Für 2×2-Matrizen gibt es aber noch eine Art Abkürzung.

\left( \begin{array}{rr}a&b\\c&d\\\end{array}\right)^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \cdot \left( \begin{array}{rr}d&-b\\-c&a\\\end{array}\right)

Wie das genau funktioniert, erfährst du in unserem extra Video Inverse Matrix 2×2 .

Inverse 2x2
Zum Video: Inverse 2×2

Matrix invertieren Aufgabe

Hier findest du noch zwei Aufgaben, damit du auch ganz sicher jede Matrix invertieren kannst.

Aufgabe 1: Inverse Matrix berechnen

Invertiere die Matrix

A = \left( \begin{array}{rr}-2&0\\2&1\\\end{array} \right).

Lösung Aufgabe 1

Mit der Formel kannst du die inverse Matrix bestimmen

A^{-1}=\frac{1}{(-2) \cdot 1 - 2 \cdot 0} \left(\begin{array}{rr}1&0\\-2&-2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}-0.5&0\\1&1\\\end{array}\right)

Aufgabe 2: Matrix invertieren 

Bestimme die Inverse Matrix 3×3

B = \left( \begin{array}{rrr}0&-1&-2\\2&3&1\\-1&-1&0\\\end{array}\right).

Lösung Aufgabe 2

Im ersten Schritt die Einheitsmatrix daneben schreiben.

\left(\begin{array}{rrr}0&-1&-2\\2&3&1\\-1&-1&0\\\end{array}\left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

Dann auf der linken Seite durch Umformungen eine Einheitsmatrix erzeugen.

\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\left|\begin{array}{rrr}-1&-2&-5\\1&2&4\\-1&-1&-2\\\end{array}\right)

Jetzt kannst du die gesuchte Inverse rechts ablesen.

B^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}-1&-2&-5\\1&2&4\\-1&-1&-2\\\end{array}\right).

 

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