Lineare Algebra

Orthogonale Matrix

Hier erfährst du, was eine orthogonale Matrix eigentlich ist und wie du sie erkennst. Du willst dich beim Lernen zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Orthogonale Matrix einfach erklärt

Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn sie multipliziert mit ihrer transponierten Matrix  A^T die Einheitsmatrix E ergibt. Bei orthogonalen Matrizen gilt also 

A \cdot A^T=E.

Beispielsweise für A=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\\\end{array}\right) gilt dann

\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-1 & 0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\\\end{array}\right).

Vielleicht erinnerst du dich an den Begriff der orthogonalen Vektoren. Damit werden zwei Vektoren bezeichnet, deren Skalarprodukt 0 ergibt. Für Vektoren im \mathbb{R}^2 und im \mathbb{R}^3 heißt das, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Das Besondere an einer orthogonalen Matrix ist, dass die Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind. Sie stehen also senkrecht aufeinander und sind auf die Länge 1 normiert (Einheitsvektor ). Orthogonale Matrizen tauchen zum Beispiel bei einer Drehung oder einer Spiegelung an bestimmten Geraden auf. 

Orthogonale Matrix bestimmen

 Schauen wir uns an, wie du prüfen kannst, ob eine Matrix orthogonal ist.

Beispiel

Am besten lässt sich das an einem Beispiel erklären. Wir betrachten die Matrix Q

Q=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 0\\\end{array}\right).

Um eine orthogonale Matrix bestimmen zu können, überprüfst du die Formel A \cdot A^T=E von oben. Dafür musst du zunächst die transponierte Matrix Q^T berechnen und diese dann mit Q multiplizieren.

Q^T=\left(\begin{array}{rr}0&1\\1&0\\\end{array}\right)

Q \cdot Q^T=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\\\end{array}\right)=E_2

Die Matrix Q ist also orthogonal, weil die Multiplikation der Matrix Q mit der transponierten Matrix Q^T die Einheitsmatrix E_2 ergibt. 

Du kannst an unserem Beispiel auch die Eigenschaften aus der Definition oben erkennen. 

Die Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren \left(\begin{array}{c}0 & 1\end{array}\right) und \left(\begin{array}{c}1 & 0\end{array}\right) sind orthogonal, weil das Skalarprodukt 0 ergibt. Oder ganz anschaulich: Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Außerdem haben beide Vektoren die Länge 1.

Weitere Beispiele

Im Folgenden wollen wir dir ein paar Beispiele von orthogonalen Matrizen vorstellen.

P=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\\end{array}\right)

Die Matrix P ist eine sogenannte Permutationsmatrix, das bedeutet genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte ist 1 und alle anderen Einträge sind 0. Wenn du die Matrix P transponierst und dann mit der ursprünglichen Matrix P multiplizierst, erkennst du schnell, dass diese Permutationsmatrix orthogonal ist. 

D=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-1 & 0\\\end{array}\right)

Die Matrix D ist eine Drehmatrix, das heißt sie beschreibt eine Drehung im \mathbb{R}^2. Ähnlich wie beim ersten Beispiel kannst du hier leicht feststellen, dass die Matrix D eine orthogonale Matrix ist. 

S=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0\\0 & 1\\\end{array}\right)

Die Matrix S beschreibt eine Spiegelung an der y-Achse. Auch sie ist eine orthogonale Matrix.

Orthogonale Matrix Eigenschaften

Eine wichtige Eigenschaft der orthogonalen Matrix hast du jetzt bereits mehrfach gesehen

A \cdot A^T=E

Eine orthogonale Matrix multipliziert mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix. Daraus leitet sich auch gleich die nächste Eigenschaft ab

A^T=A^{-1}.

Die transponierte Matrix entspricht bei einer orthogonalen Matrix nämlich der invertierten Matrix.

Eine Besonderheit der orthogonalen Matrix betrifft ihre Determinante. Ist eine Matrix orthogonal, so ist der Betrag ihrer Determinante 1. 

|\det(A)|=1

Das bedeutet entweder gilt \det(A)=1 oder \det(A)=-1.

Die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix haben alle den Betrag 1. Einerseits umfasst das natürlich die reellen Eigenwerte +1 und -1. Andererseits bedeutet es aber auch, dass alle komplexen Eigenwerte immer paarweise als komplex konjungierte auftauchen. Außerdem haben alle komplexen Eigenwerte die Form 

\lambda=e^{it}.

Falls du also mal die Eigenvektoren einer orthogonalen Matrix finden sollst, sparst du dir hier ein wenig Arbeit.

Orthogonale Matrix Aufgabe

Im Folgenden haben wir nochmal zwei Beispiele mit Lösung für dich zusammengestellt. Prüfe, ob die beiden Matrizen orthogonal sind.

A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\\end{array}\right)

B=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-2 & 1\\\end{array}\right)

Lösung

Die Orthogonalität einer Matrix kannst du mithilfe der Formel A \cdot A^T=E prüfen. 

Für die Matrix A ergibt sich

A \cdot A^T=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\\end{array}\right)=E_3.

Die Matrix A ist also eine orthogonale Matrix.

Für die Matrix B ergibt sich

B \cdot B^T=\left(\begin{array}{rr}5 & 0\\0 & 5\\\end{array}\right) \neq E_2.

Die Matrix B ist keine orthogonale Matrix. Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zwar orthogonal, aber nicht auf Länge 1 normiert. 

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.