Lineare Algebra

Eigenvektor

In diesem Artikel behandeln wir Eigenvektoren und zeigen auf, wie man einen Eigenvektor berechnen kann. Darüber hinaus gehen wir noch auf den Eigenraum ein.

Zusätzlich zu diesem Artikel haben wir das Thema in einem Video  für dich aufbereitet. So können Sachverhalte nämlich einfacher und einprägsamer dargestellt werden, was dich beim Lernen unterstützt. Schau doch mal rein!

Inhaltsübersicht

Eigenvektor einfach erklärt

Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein Vektor, den man von rechts an die Matrix multiplizieren kann und als Ergebnis einen Vektor erhält, der in die selbe Richtung zeigt.

Eigenvektor Beispiel
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Eigenvektor Beispiel

Eigenvektoren berechnen

In zwei einfachen Schritten lässt sich ein Eigenvektor berechnen. Diese sind hier zusammengefasst:

  1. Eigenwerte berechnen und in die Eigenwertgleichung einsetzen

    (A-\lambda E_n)\cdot v = 0

  2. Gleichungssystem lösen

Diese beiden Schritte wollen wir allerdings im Folgenden noch etwas genauer erläutern.

Eigenvektor einer Matrix: Eigenwerte in Eigenwertgleichung einsetzen

In unserem Artikel und Video zu den Eigenwerten haben wir dir bereits kurz erklärt, was ein Eigenvektor einer Matrix ist.

Merke
In Worte gefasst ist das ein Vektor, welchen du von rechts an die Matrix multiplizieren  kannst und das Ergebnis ist dann wieder ein Vektor, der in die selbe Richtung zeigt. Er ist nur möglicherweise etwas länger oder kürzer als der Ausgangsvektor.

Den Faktor, um wie viel der Vektor nach Multiplikation mir der Matrix länger oder kürzer geworden ist, nennt man Eigenwert. In einer Gleichung formuliert sieht das Ganze folgendermaßen aus:

A\cdot v = \lambda \cdot v

Hier ist A eine gegebene quadratische n\times n-Matrix. Die Vektoren v\neq 0, für die diese Gleichung gilt, heißen Eigenvektoren der Matrix. Die zugehörigen Zahlen \lambda sind ihre Eigenwerte. Die Eigenwerte lassen sich durch ein einfaches Verfahren bestimmen, wie wir in einem Artikel und Video bereits gezeigt haben. Außerdem haben wir dort auch thematisiert, dass die Gleichung A\cdot v = \lambda \cdot v als Eigenwertproblem bzw. Eigenwertgleichung bezeichnet wird. Man kann diese Gleichung auch in folgende Form bringen: (A-\lambda E_n)\cdot v = 0 Hierbei ist E_n die n\times n-Einheitsmatrix. Wenn man nun in diese Gleichung die berechneten Eigenwerte einsetzt, erhält man ein Gleichungssystem. Mithilfe dessen lassen sich Eigenvektoren berechnen.

Eigenvektoren berechnen: Gleichungssystem lösen

Wenn man nämlich die Eigenvektoren berechnen will, muss man nur noch dieses Gleichungssystem lösen. Hierfür stehen einem alle bekannten Mittel zur Verfügung. Häufig verwendet man dazu den Gauß-Algorithmus.

Beispiel: Eigenvektor berechnen

Nun wollen wir anhand eines Beispiels demonstrieren, wie man Eigenvektoren berechnen kann. Dazu betrachten wir die folgende Matrix

A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\1&2&2\\1&1&3\\\end{array}\right).

Die Eigenwerte für diese Matrix haben wir bereits in einem anderen Artikel und Video bestimmt. Sie lauten \lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=5. Wir wollen für den doppelten Eigenwert \lambda_1=\lambda_2=1 die Eigenvektoren bestimmen. Hierfür setzen wir im ersten Schritt den Eigenwert \lambda_1=\lambda_2=1 in die Eigenwertgleichung (A-\lambda E_3)\cdot v = 0 ein und erhalten:

(A-\lambda_1 E_3)\cdot v = \left(\begin{array}{ccc}2-1&1&2\\1&2-1&2\\1&1&3-1\\\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\\end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&1&2\\1&1&2\\\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\\end{array}\right)

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems sieht folgendermaßen aus:

L=\left\{a\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\\\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\0\\1\\\end{array}\right)\bigg\vert a,b \in \mathbb{R}\right\}

Jeder Vektor aus dieser Lösungsmenge ist also ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert 1. Das kann man auch leicht nachkontrollieren, indem man einen Vektor der Lösungsmenge an die Matrix multipliziert. Das Ergebnis ist dann der Vektor selbst.

Eigenraum

In dem eben gezeigten Beispiel hat man gesehen, dass es zu einem Eigenwert nicht nur einen einzelnen Eigenvektor gibt. Vereinigt man alle Eigenvektoren eines Eigenwertes \lambda mit dem Nullvektor, so erhält man einen Untervektorraum des \mathbb{R}^n. Diesen Untervektorraum nennt man den Eigenraum zum Eigenwert \lambda.

Algebraische und geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums wird als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes \lambda bezeichnet. Sie wird unterschieden von der algebraischen Vielfachheit. Diese ist die Vielfachheit des Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms .

Beispiel: Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Nun wollen wir in einem Beispiel noch einmal komplett aufzeigen, wie man für eine gegebene Matrix die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen kann. Dazu betrachten wir die Matrix

A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&2\\0&2&1\\\end{array}\right).

Wir bestimmen zunächst das charakteristische Polynom \chi_A(\lambda), indem wir die Determinante der Matrix (A-\lambda E_3) ermitteln:

\chi_A(\lambda)=\mathrm{det}(A-\lambda E_3)=\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda&2&0\\2&1-\lambda&2\\0&2&1-\lambda\\\end{array}\right) \\=\left(1-\lambda\right)^3-8\cdot(1-\lambda)=-\lambda ^3+3\lambda ^2+5\lambda-7

Die Nullstellen dieses Polynoms und somit die Eigenwerte der Matrix sind \lambda_1=1, \lambda_2=1+2\sqrt{2} und \lambda_3= 1-2\sqrt{2}. Wir wollen zunächst für den Eigenwert \lambda_1=1 einen Eigenvektor berechnen. Dazu setzen wir den Eigenwert in die Gleichung (A-\lambda_1 E_3)\cdot v = 0 ein und erhalten folgenden Ausdruck:

\left(\begin{array}{ccc}0&2&0\\2&0&2\\0&2&0\\\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\\end{array}\right)

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems lautet

L=\left\{a\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\0\\1\\\end{array}\right)\bigg\vert a \in \mathbb{R}\right\}

Jeder Vektor aus dieser Menge ist ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert \lambda_1=1. Da der Eigenwert \lambda_1=1 eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms \chi_A(\lambda) ist, ist seine algebraische Vielfachheit gleich 1. Ebenso ist seine geometrische Vielfachheit gleich 1, da sein Eigenraum eindimensional ist. Analog kann man für die anderen beiden Eigenwerte die Eigenvektoren bestimmen. Zum Eigenwert \lambda_2=1+2\sqrt{2} sind die Eigenvektoren aus der Menge

L=\left\{a\cdot \left(\begin{array}{c}1\\\sqrt{2}\\1\\\end{array}\right)\bigg\vert a \in \mathbb{R}\right\}.

Für \lambda_3=1-2\sqrt{2} ist jeder Vektor der Menge

L=\left\{a\cdot \left(\begin{array}{c}1\\-\sqrt{2}\\1\\\end{array}\right)\bigg\vert a \in \mathbb{R}\right\}

ein Eigenvektor.


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