Lineare Algebra

Orthogonale Projektion

In diesem Artikel zeigen wir dir, was eine orthogonale Projektion ist und welche Rolle das Skalarprodukt dabei spielt.

Wenn du die orthogonale Projektion in unter 5 Minuten verstehen willst, dann schau dir gerne unser Theorievideo dazu an.

Schau dir gerne auch noch unsere Videos zu einer Übungsaufgabe und einer beispielhaften Klausuraufgabe an, um die orthogonale Projektion sofort praktisch zu üben.

Inhaltsübersicht

Orthogonale Projektion einfach erklärt

Merke
Bei der orthogonalen Projektion handelt es sich um eine sogenannte Abbildung. Sie kommt in vielen mathematischen Bereichen, wie zum Beispiel der analytischen Geometrie oder der linearen Algebra vor.

In der Geometrie wird ein Punkt auf eine Gerade oder eine Ebene senkrecht projiziert, während in der linearen Algebra das Konzept auf höherdimensionale Vektorräume verallgemeinert wird.

Orthogonale Projektion Skalarprodukt

Das Skalarprodukt behandelt die Multiplikation zweier Vektoren und lässt sich am Beispiel der Vektoren \vec{a} und \vec{b} formulieren:

\vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\ =\ \left|\vec{a}\right|\cdot\ \left|\vec{b}\right|\cdot\cos{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}

Bei einer Multiplikation von Vektoren spielt auch der Winkel, der durch die beiden Vektoren aufgespannt wird, eine Rolle. Ein Sonderfall existiert, falls dieser Winkel 90° beträgt. Hier wird der Kosinus null und damit auch das komplette Produkt.

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Orthogonale Projektion von Vektoren

Bei dieser Projektion wird ein Vektor senkrecht auf einen anderen Vektor projiziert. Das dient in diesem Artikel als Basisfall, auf dem später aufgebaut werden soll. Folgende Grafik verdeutlicht den Zusammenhang:

Senkrechte Projektion Vektoren Orthogonale Projektion
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Senkrechte Projektion eines Vektors b auf den Vektor a

Herleitung Vektorprojektion

Es lassen sich zwei Gleichungen herleiten. Sie dienen allgemein in jeder senkrechten Projektion als Grundlage. Die erste beinhaltet den Zusammenhang, dass das projizierte Objekt ein Bestandteil von dem zugrunde gelegten Objekt ist. In dem Fall muss {\vec{b}}_a ein Teil von \vec{a} sein und sich somit durch einen Faktor und dem Vektor \vec{a} selbst ausdrücken lassen. Die zweite beschreibt die Orthogonalität der beiden Vektoren \vec{a} und \vec{c} , welcher das Lot auf \vec{a} darstellt. Dies kann mithilfe des Skalarproduktes festgestellt werden.

So ergeben sich die zwei Zusammenhänge:

Erste Gleichung: {\vec{b}}_a\ =\ x\ \cdot\ \vec{a}

Zweite Gleichung: \vec{c}\ \cdot\ \vec{a}\ =\ 0

Es befinden sich aktuell drei unbekannte Variablen in den Gleichungen, weshalb eine ausgetauscht werden muss. Nur so kann eine eindeutige Lösung berechnet werden. \vec{c} darf in der zweiten Gleichung wie folgt ersetzt werden:

\vec{c}\ =\ \left(\vec{b}\ -\ {\vec{b}}_a\right)

Daraufhin wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt:

\left(\vec{b}\ -\ \left(x\ \cdot\ \vec{a}\right)\right)\cdot\ \vec{a}\ =\ 0

Nach dem Auflösen erhält man den Skalierungsfaktor x als:

x\ =\ \frac{\vec{a}\ \cdot\ \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}

Mit der Hilfe der ersten Gleichung kann jetzt der zusammengesetzte Vektor {\vec{b}}_a berechnet werden.

{\vec{b}}_a\ =\ \frac{\vec{a}\ \cdot\ \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\ \cdot\ \vec{a}

Orthogonale Projektion berechnen

Die so hergeleiteten Formeln werden auf folgendes Beispiel angewandt. Dafür werden die zwei Vektoren \vec{a}=\ \left(\begin{matrix}6\\0\\\end{matrix}\right) und \vec{b}=\ \left(\begin{matrix}3\\3\\\end{matrix}\right) gebildet. Nun soll \vec{b} auf \vec{a} senkrecht projiziert werden. Der projizierte Vektor \vec{b_a} ergibt sich mit der aus den zwei Gleichungen hergeleiteten Formel:

{\vec{b}}_a\ =\ \frac{\vec{a}\ \cdot\ \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\ \cdot\ \vec{a}

Die einzelnen Teile des Bruches lassen sich wie folgt berechnen:

\vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\ =\left(\begin{matrix}6\\0\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}3\\3\\\end{matrix}\right)=18+\ 0=18

\left|\vec{a}\right|^2=\left(\sqrt{6^2+\ 0^2}\right)^2=36

Im nächsten Schritt entsteht so:

{\vec{b}}_a\ =\ \frac{18}{36}\ \cdot\left(\begin{matrix}6\\0\\\end{matrix}\right)=0,5\cdot\ \left(\begin{matrix}6\\0\\\end{matrix}\right)=\ \left(\begin{matrix}3\\0\\\end{matrix}\right)

Damit ist der senkrecht projizierte Vektor {\vec{b}}_a=\left(\begin{matrix}3\\0\\\end{matrix}\right) und hat einen Skalierungsfaktor von 0,5 gegnüber \vec{a}.

Orthogonale Projektion in der Geometrie

Neben der Projektion von Vektoren auf andere Vektoren können in der analytischen Geometrie auch Punkte senkrecht auf ein Objekt abgebildet werden. Das mathematische Objekt kann entweder eine Gerade oder eine Ebene sein.

Orthogonalprojektion auf eine Gerade

Eine Projektion eines Punktes auf eine Gerade lässt sich grafisch wie folgt darstellen.

Orthogonale Projektion Vektor Analytische Geometrie Lotfußpunkt
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Orthogonale Projektion eines Punktes P auf eine Gerade g mit Richtungsvektor r und Aufpunkt r0.

Die Linie von Punkt P nach Punkt P‘ wird Lot und P‘ wird Lotfußpunkt genannt. Hinzu kommt der Richtungsvektor \vec{r} der Geraden g und der Aufpunkt r_0. Die Herleitung der Berechnungen ist der vorherigen Herleitung für die orthogonale Projektion von Vektoren sehr ähnlich, denn die Punkte können auch als Ortsvektoren angesehen werden. Diese Notation muss jetzt in die zwei Gleichungen übertragen werden. Der Punkt P‘ ist dabei ein Teil von der Geraden g und das Lot von P nach P‘ muss senkrecht auf g stehen. So ergeben sich die Koordinaten des Punktes P‘, der durch die orthogonale Projektion entstanden ist, als:

\vec{P'}=\ \vec{r_0}+\ \frac{\left(\vec{P}\ -\ \vec{r_0}\right)\cdot\ \vec{r}\ }{\vec{r}\ \cdot\ \vec{r}}\ \cdot\ \vec{r}

In dieser Formel werden die Punkte P‘, P und r0 als Ortsvektoren aufgefasst und deshalb in der Notation der Vektoren geschrieben.

Orthogonalität auf eine Ebene

Ebenfalls kann ein Punkt auf eine Ebene im dreidimensionalem Raum senkrecht abgebildet werden. Dies sieht dann wie folgt aus:

Orthogonale Projektion Ebene Spannungsvektoren
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Orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Auch hier lassen sich die zwei Gleichungen anwenden und dienen als Ausgangspunkt für die Herleitung der allgemeinen Formel. Der projizierte Punkt P_E(x) muss Teil der Ebene E sein und das Lot von x auf die Ebene muss senkrecht auf der Fläche stehen. Hier ist dann die Ebene in der Parameterform gegeben:

E:\ \vec{r}\ =\ {\vec{r}}_0\ +\ y\ \cdot\ \vec{u}\ +z\ \cdot\ \vec{v}

Die reellen Parameter sind y und z und die Vektoren \vec{u} und \vec{v} sind die Spannvektoren der Ebene, welche nicht kollinear sind. Kollinear bezeichnet parallele oder anti-parallele Vektoren. Falls die Spannvektoren der Ebene nicht orthogonal zueinander sind, muss ein Vektor gefunden werden, der diese Eigenschaft erfüllt. Dies ist der Vektor \vec{w}. Er ist orthogonal zu \vec{u} und wird wie folgt aus \vec{v} berechnet:

\vec{w}=\vec{v}-\ \frac{\vec{v}\ \cdot\ \vec{u}}{\vec{u}\ \cdot\ \vec{u}}\vec{u}

Die Formel für die Berechnung der Koordinaten des senkrecht abgebildeten Punktes ist:

P_E\left(\vec{x}\right)=\ {\vec{r}}_0\ +\ \frac{\left(\vec{x}\ -\ {\vec{r}}_0\right)\cdot\ \vec{u}}{\vec{u}\ \cdot\ \vec{u}}\ \cdot\ \vec{u}\ +\ \frac{\left(\vec{x}\ -\ {\vec{r}}_0\right)\cdot\ \vec{w}}{\vec{w}\ \cdot\ \vec{w}}\ \cdot\ \vec{w}

Dabei folgt die Herleitung dieser Berechnung für die Koordinaten des orthogonal projizierten Punktes derselben Logik, wie bei unserem Basisfall.

Alternativ zu diesem Vorgehen kann die Orthogonalprojektion auch durch den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene berechnet werden. Aus einem Vektorprodukt der Spannvektoren \vec{a} und \vec{b} entsteht der Normalenvektor \vec{n} der Ebene E. Die Berechnung erfolgt dann nach folgender Formel:

P_E\left(\vec{x}\right)=\ \vec{x}-\ \frac{\left(\vec{x}\ -\ {\vec{r}}_0\right)\cdot\ \vec{n}}{\vec{n}\ \cdot\ \vec{n}}\ \cdot\ \vec{n}

Orthogonale Projektion lineare Algebra

Die Orthogonalprojektion von Vektoren wird in der linearen Algebra in sogenannten Vektorräumen verallgemeinernd behandelt. Ein Vektorraum ist eine nicht leere Menge, deren Elemente bestimmte Eigenschaften aufweisen. Ein Beispiel wäre das Vorhandensein eines Nullvektors oder das Funktionieren des Distributivgesetzes. Beispielsweise ist der Raum \mathbb{R}^3 ein Vektorraum. Des Weiteren gibt es Untervektorräume. Dieser ist definiert als ein Vektorraum innerhalb eines größeren Vektorraums.

Für die orthogonale Projektion in solchen Räumen gilt wieder der Zusammenhang, dass zwei Vektoren \vec{v} und \vec{w} in einem Vektorraum orthogonal sind, wenn ihr Skalarprodukt \left\langle\vec{v},\vec{w}\right\rangle miteinander gleich null ist.

Will man einen Vektor aus dem Vektorraum V in einen Untervektorraum U projizieren, lassen sich dieselben zwei Gleichungen wie im Basisfall als allgemeiner Startpunkt formulieren. Wenn die Vektoren u_1,\ldots u_k eine Orthogonalbasis eines Untervektorraums U mit der Dimension k darstellen, dann hat jeder Vektor u, der Element von U ist, eine eindeutige Darstellung als Linearkombination u=c_1u_1+\ldots+c_ku_k dieser Basisvektoren. Somit muss sich also auch die Orthogonalprojektion P_U\left(v\right) des Vektors v auf den Untervektorraum U als eine solche Linearkombination darstellen lassen.

P_U\left(v\right)=\sum_{i\ =\ 1}^{k}{c_i\ \cdot\ u_i}

Weiterhin muss der Differenzvektor P_U\left(v\right)-v orthogonal zu sämtlichen Vektoren aus U stehen. Dies gilt bereits, wenn er zu den Basisvektoren u_1,\ldots u_k von U orthogonal ist. Die gerade formulierte Bedingung lautet nach der Definition der Orthogonalität wie folgt:

\langle P_U(v)\ -\ v,\ u_{j\ }〉= 0 und  \forall j = 1,…,k

Die zwei Gleichungen dienen als Startpunkt für die Herleitung der Koordinaten des projizierten Vektors. Durch Einsetzen und Umformen ergeben sich die Koordinaten folgendermaßen:

P_U\left(v\right)\ =\ \sum_{i=1}^{k}{\frac{\left\langle v\ ,\ u_i\ \right\rangle}{\left\langle u_i,\ u_i\ \right\rangle}\ u_i}

Der Laufindex i spiegelt die Dimensionen wider. Dabei ist zu beachten, dass die Vektoren u_1,\ldots u_k eine Orthogonalbasis des Untervektorraums U darstellen.

Orthogonale Projektion Übungsaufgabe

Nun betrachten wir eine Übungsaufgabe für die orthogonale Projektion eines Vektors.

Orthogonale Projektion: Übungsaufgabe
Orthogonale Projektion: Übungsaufgabe

Gegeben sei im dreidimensionalen euklidischen Raum die folgende Ebene

E=\left\{\vec{\mathbit{x}}\in R^3:4x_1+8x_2-8x_3=0\right\}

Berechne die orthogonale Projektion des Vektors \vec{\mathbit{m}}=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}\right) auf die Ebene E.

Bevor du aber losrechnest noch ein kleiner Tipp: um das Vorgehen aus unserem Video anwenden zu können, musst du zuerst die Darstellung der Ebene E in die richtige Form bringen.

Die Lösung und die Erklärung dieser Aufgabe findest du in unseren jeweiligen Übungsvideo .

Orthogonale Projektion Klausuraufgabe

Nachfolgend findest du eine Aufgabe, mit der du dich auf deine Klausur vorbereiten kannst.

Orthogonale Projektion: Klausuraufgabe
Orthogonale Projektion: Klausuraufgabe

In der Aufgabenstellung ist die Matrix A

A=\left(\begin{matrix}2&0&0\\0&3&-1\\0&-1&1\\\end{matrix}\right)

und die Definition des Skalarprodukts \left\langle.,.\right\rangle_A:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} gegeben:

\left\langle x,y\right\rangle_A := xTAy

für alle x,y\in\mathbb{R}^3

Außerdem seien die Vektoren  v_1v_2 und w folgendermaßen angeben:

v_1=\left(\begin{matrix}2\\0\\0\\\end{matrix}\right), \ v_2=\left(\begin{matrix}0\\0\\2\\\end{matrix}\right) und w=\left(\begin{matrix}2\\2\\2\\\end{matrix}\right)

Bestimme nun bezüglich des gegebenen Skalarprodukts \left\langle.,.\right\rangle_A die orthogonale Projektion von w auf den von v_1 und v_2 aufgespannten Untervektorraum U=span\left\{\left(\begin{matrix}2\\0\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\0\\2\\\end{matrix}\right)\right\} .

Du musst bei dieser Aufgabe vor allem darauf achten nicht das Standardskalarprodukt zu wählen, sondern mit dem hier vorgegebenen Skalarprodukt zu arbeiten.

Die Lösung zu dieser Aufgabe mit einem verständlichen Rechenweg findest du in unserem Klausurvideo .

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