Lineare Algebra
Matrix - Grundlagen
 – Video

Mit der Drehmatrix kannst du Vektoren im Raum um einen bestimmten Winkel drehen. Wenn du wissen willst, wie das funktioniert, schau dir doch den Artikel oder unser Video an.

Drehmatrix einfach erklärt

Mit einer Drehmatrix oder auch Rotationsmatrix R_{\alpha} kannst du einen Vektor um den Winkel \alpha gegen den Uhrzeigersinn drehen. Rotationsmatrizen sind orthogonal. Ihre Determinante hat außerdem den Wert von +1.

Im \mathbb{R}^{2}  sieht die Drehmatrix \textcolor{blue}{R_{\alpha}} wie folgt aus:

100^\circ

    \[\textcolor{blue}{R_{\alpha}}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{cc}cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)\\sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)}\]

Multiplizierst du die Drehmatrix mit einem Vektor \overrightarrow{v} und setzt für \alpha zum Beispiel 60° ein, drehst du den Vektor um 60° im Koordinatensystem:

    \[\textcolor{blue}{R_{60^\circ}}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{cc}cos\left(60^\circ\right)&-sin\left(60^\circ\right)\\sin\left(60^\circ\right)&cos\left(60^\circ\right)\\\end{array}\right)}\quad\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\]

% Ich glaub hier fehlt auch die Einheit überall in der Formel, außerdem würde ich die einzelnen Schritte untereinander schreiben 

    \[\textcolor{blue}{R_{60^\circ}} \cdot \overrightarrow{v }= \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{cc}cos\left(60^\circ\right)&-sin\left(60^\circ\right)\\sin\left(60^\circ\right)&cos\left(60^\circ\right)\\\end{array}\right)} \cdot \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\textcolor{blue}{cos\left(60^\circ\right)}\cdot1\textcolor{blue}{-sin\left(60^\circ\right)}\cdot0\\\textcolor{blue}{sin\left(60^\circ\right)}\cdot1+\textcolor{blue}{cos\left(60^\circ\right)}\cdot0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cos\left(60^\circ\right)\\sin\left(60^\circ\right)\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0,5\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\overrightarrow{v_{2}}}\]

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Vektor um 60° drehen

Merke: Möchtest du deinen Vektor im Uhrzeigersinn drehen, musst du den Vektor mit der Inversen der Drehmatrix multiplizieren.

    \[R^{-1}_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}cos\left(\alpha\right)&sin\left(\alpha\right)\\-sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)\]

Drehmatrix R3

Die Drehmatrix gibt es natürlich auch im \mathbb{R}^{3}. Allerdings musst du hier aufpassen: Im \mathbb{R}^{3} kannst du deinen Vektor um die x1-,x2 oder x3 -Achse drehen. 

Deine Rotationsmatrizen sehen dann jeweils so aus:

 

R3

 

x1 -Koordinate (\textcolor{olive}{R_{x_{1}}\left(\alpha\right)})

 

 x2 -Koordinate (\textcolor{olive}{R_{x_{2}}\left(\alpha\right)})

 

  x3 -Koordinate (\textcolor{olive}{R_{x_{3}}\left(\alpha\right)})

Drehmatrix

    \[\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)\\0&sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)}\]

    \[\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}cos\left(\alpha\right)&0&sin\left(\alpha\right)\\0&1&0\\-sin\left(\alpha\right)&0&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)}\]

    \[\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)&0\\sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)&0\\0&0&1\\\end{array}\right)}\]

Wenn du den Vektor \overrightarrow{v_{1}} um 90° um die x1 -Achse drehen willst, benötigst du die Rotationsmatrix R_{x_{1}}\left(\alpha\right):

    \[\overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{c}0\\2\\3\end{array}\right)\quad R_{x_{1}}\left(\alpha\right)=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)\\0&sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)}}\]

Dann setzt du 90° für \alpha in deiner Drehmatrix ein und multiplizierst sie mit dem Vektor \overrightarrow{v_{1}}. Bei der Matrixmultiplikation multiplizierst du für den ersten Eintrag wieder die erste Zeile der Matrix mit der Spalte des Vektors. Für den zweiten Eintrag musst du dann die zweite Zeile der Matrix mit der Spalte des Vektors mal nehmen und für den dritten Eintrag dann die dritte Zeile der Drehmatrix mit der Spalte des Vektors:

    \[\textcolor{olive}{R_{x_{1}}\left(90^\circ\right)}\overrightarrow{v_{1}}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos\left(90^\circ\right)&-sin\left(90^\circ\right)\\0&sin\left(90^\circ\right)&cos\left(90^\circ\right)\\\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}0\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot0+0\cdot2+0\cdot3\\0\cdot0+cos\left(90^\circ\right)\cdot2-sin\left(90^\circ\right)\cdot3\\0\cdot0+sin\left(90^\circ\right)\cdot2+cos\left(90^\circ\right)\cdot3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\cdot2-1\cdot3\\1\cdot2+0\cdot3\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\-3\\2\end{array}\right)}\]

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Vektor drehen R3

Drehmatrix RBeispiele

Rechne am besten ein paar Übungen Zu Rotationsmatrizen im \mathbb{R}^2.

1.Beispiel:

Drehe den Vektor \overrightarrow{v_{1}} um 30° gegen den Uhrzeigersinn.

    \[\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\3\end{array}\right)\]

Lösung:

Dafür benötigst du deine Drehmatrix aus dem \mathbb{R}^{2}. Wenn du deine Drehmatrix berechnen möchtest, setzt du 30° für \alpha ein. Dann multiplizierst du diese mit deinem Vektor \overrightarrow{v}. Wenn du Matrizen multiplizieren willst, rechnest du immer Zeile mal Spalte. Die erste Zeile deiner Drehmatrix wird mit der Spalte deines Vektors multipliziert. So erhältst du den ersten Eintrag deines rotierten Vektors \textcolor{red}{\overrightarrow{v_{2}}}. Für den zweiten Eintrag musst du die zweite Zeile deiner Rotationsmatrix mit der Spalte deines Vektors multiplizieren:

    \[R_{30^\circ} \cdot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{cc}cos\left(30^\circ\right)&-sin\left(30^\circ\right)\\sin\left(30^\circ\right)&cos\left(30^\circ\right)\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cos\left(30^\circ\right)\cdot1-sin\left(30^\circ\right)\cdot3\\sin\left(30^\circ\right)\cdot1+cos\left(30^\circ\right)\cdot3\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}cos\left(30^\circ\right)-3sin\left(30^\circ\right)\\sin\left(30^\circ\right)+3cos\left(30^\circ\right)\end{array}\right)}=\textcolor{red}{v_{2}}\]

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Vektor drehen R2 Beispiel 1

2.Beispiel:

Drehe den Vektor \overrightarrow{v_{1}} um 60° im Uhrzeigersinn.

    \[ \overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{c}1\\9\end{array}\right)\]

Lösung:

Weil du den Vektor im Uhrzeigersinn drehen möchtest, brauchst du die Inverse Drehmatrix R^{-1}_{\alpha}. Du musst für \alpha 60° einsetzen und deine Matrix mit \overrightarrow{v_{1}} multiplizieren.

    \[R^{-1}_{60^\circ} \cdot \overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{cc}cos\left(60^\circ\right)&sin\left(60^\circ\right)\\-sin\left(60^\circ\right)&cos\left(60^\circ\right)\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cos\left(60^\circ\right)\cdot1+sin\left(60^\circ\right)\cdot9\\-sin\left(60^\circ\right)+cos\left(60^\circ\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\cdot1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot9\\\-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1+\frac{1}{2}\cdot9\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}\frac{1+9\sqrt{3}}{2}\\\frac{9-\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)}\]

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Vektor drehen R2 Beispiel 2

Drehmatrix R2 Herleitung

Die Drehmatrix lässt sich im \mathbb{R}^2 gut mit Hilfe des Einheitskreises herleiten:

Zuerst betrachtest du den Einheitsvektor e:

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Einheitsvektor

Diesen versuchst du um den Winkel \alpha zu drehen. Dafür kannst du den Einheitskreis benutzen. An diesem drehst du den Vektor gegen den Uhrzeigersinn: 

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Vektor am Einheitskreis drehen

Wenn du den Einheitsvektor e1 am Einheitskreis um den Winkel \alpha gegen den Uhrzeigersinn drehen möchtest, ergibt sich der neue Vektor: 

    \[\left(\begin{array}{c}cos\left(\alpha\right)\\sin\left(\alpha\right)\end{array}\right)\]

Jetzt kannst du dir das Gleiche noch bei dem  Einheitsvektor eanschauen:

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Zweiten Einheitsvektor am Einheitskreis drehen

Der neue Vektor lautet dann:

    \[\left(\begin{array}{c}-sin\left(\alpha\right)\\cos\left(\alpha\right)\end{array}\right)\]

Du kannst mit der Linearkombination der beiden Einheistvektoren jeden Vektor bilden. Das bedeutet, dass du durch die gleiche Linearkombination mit den beiden gedrehten Einheitsvektoren um den Winkel \alpha den gedrehten Vektor bekommst. Schau dir dazu den Vektor \overrighatrrow{v} an:

    \[\overrightarrwo{v}=\left(\begin{array}{c}2\\4\end{array}\right)\]

Dieser setzt sich aus zweimal dem Einheitsvektor \overrightarrow{e_{1}} und viermal dem Einheitsvektor \overrightarrow{e_{2}} zusammen:

    \[\left(\begin{array}{c}2\\4\end{array}\right)=2\overrightarrow{e_{1}}+4\overrightarrow{e_{2}}=2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\4\end{array}\right)\]

Möchtest du den Vektor \overrightarrow{v} um den Winkel \alpha drehen, kannst du einfach das zweifache des ersten gedrehten Einheitsvektors mit dem vierfachen des zweiten gedrehten Einheitsvektors addieren:

    \[\overrightarrow{v*}=2\cdot\left(\begin{array}{c}cos\left(\alpha\right)\\sin\left(\alpha\right)\end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c}-sin\left(\alpha\right)\\cos\left(\alpha\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2cos\left(\alpha\right)-4sin\left(\alpha\right)\\2sin\left(\alpha\right)+4cos\left(\alpha\right)\end{array}\right)\]

Das ist aber das gleiche, als wenn du den Vektor \overrightarrow{v} einfach mit der Drehmatrix multiplizieren würdest:

    \[R_{\alpha}\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{cc}cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)\\sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2cos\left(\alpha\right)-4sin\left(\alpha\right)\\2sin\left(\alpha\right)+4cos\left(\alpha\right)\end{array}\right)=\overrightarrow{v*}\]

Du siehst also, dass die erste Spalte der Rotationsmatrix genau den x-Anteil des gedrehten Vektors bestimmt und die zweite Zeile den y-Anteil.

Drehmatrix R3 Beispiele

Schau dir zum Schluss noch die Drehmatrix im \mathbb{R}^3 an.

1.Beispiel

Drehe den Vektor \overrightarrow{v_{1}} um 45° um die x1 -Achse. 

    \[\overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{c}0\\2\\6\end{array}\right)\]

Lösung:

Da du den Vektor um die x1 -Achse drehen sollst, musst du für die Rotation Matrix R_{x_{1}}\left(\alpha\right) verwenden. In diese setzt du dann für \alpha 45° ein und multiplizierst sie mit dem Vektor \overrightarrow{v_{1}}:

    \[R_{x_{1}}\left(45^\circ\right) \cdot \overrightarrow{v_{1}}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos\left(45^\circ\right)&-sin\left(45^\circ\right)\\0&sin\left(45^\circ\right)&cos\left(45^\circ\right)\\\end{array}\right)} \cdot \left(\begin{array}{c}0\\2\\6\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\-2\sqrt{2}\\4\sqrt{2}\end{array}\right)}\]

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Vektor drehen R3 Beispiel 1

2.Beispiel:

Drehe den Vektor \overrightarrow_{1} um 180° um die x1 -Achse.

    \[\overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{c}0\\4\\2\end{array}\right)\]

Lösung:

Damit du den Vektor um die x1  -Achse drehen kannst, brauchst du die Drehmatrix R_{x_{1}}\left(\alpha\right). Für \alpha setzt du dann 180° ein und multiplizierst diese mit dem Vektor \overrightarrow{v_{1}}. Für die Einträge deines neuen Vektors \textcolor{red}{\overrightarrow{v_{2}}} rechnest du dann wieder Zeile mal Spalte und erhältst:

    \[R_{x_{1}} \cdot \left(180^\circ\right)\overrightarrow{v_{1}}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos\left(180^\circ\right)&-sin\left(180^\circ\right)\\0&sin\left(180^\circ\right)&cos\left(180^\circ\right)\\\end{array}\right)} \cdot \left(\begin{array}{c}0\\4\\2\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\-4\\-2\end{array}\right)}\]

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Vektor drehen R3 Beispiel 2

Arten der Drehung

Du darfst beim Rechnen mit Rotationsmatrizen nicht vergessen, dass es zwei verschiedene Arten von Drehungen gibt.

Aktive Drehung

Bei einer aktiven Drehung drehst du den Vektor gegen den Uhrzeigersinn. Das bedeutet du verwendest für die Rotation Matrix R_{\alpha}:

    \[R_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}cos\left(\alpha\right)&-sin\left(\alpha\right)\\sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)\]

Merke: Bei der aktiven Drehung verwendest du immer die Drehmatrix R_{\alpha}.

Passive Drehung

Bei einer passiven Drehung drehst du das Koordinatensystem. Das ist gleichbedeutend, als wenn du deinen Vektor im Uhrzeigersinn drehen würdest. Du verwendest für die Rotation dafür die Inverse der Drehmatrix:

    \[R^{-1}_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}cos\left(\alpha\right)&sin\left(\alpha\right)\\-sin\left(\alpha\right)&cos\left(\alpha\right)\\\end{array}\right)\]

Merke: Bei der passiven Drehung verwendest du immer die Inverse der Drehmatrix R_{\alpha}^{-1}.

Matrizenmultiplikation

Wie du gesehen hast, musst du, um die Drehmatrix überhaupt anwenden zu können, ganz schön fit in Matrizenmultiplikation sein. Wenn du das nochmal üben möchtest, schau dir doch direkt unser Video dazu an! 

Zum Video: Matrizen multiplizieren
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