Lineare Algebra

Gleichsetzungsverfahren

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du das Gleichsetzungsverfahren anwendest. Du möchtest es schnell verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Gleichsetzungsverfahren Anleitung

Stell dir vor, du hast folgendes lineare Gleichungssystem gegeben

(I)   2x -3y = -2

(II)   -3x + 6y = 0.

Nun sollst du herausfinden, was x und y ist. Dafür kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Du formst alle Gleichungen nach der gleichen Variablen um und setzt sie dann gleich. Dabei gehst du wie folgt vor:

Schritt 1:  Forme alle Gleichungen nach der gleichen Variablen um.

Schritt 2: Setze die Gleichungen gleich.

Schritt 3: Berechne die Variable in der neuen Gleichung.

Schritt 4: Setze die in Schritt 3 ermittelte Variable in eine umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein, um die verbliebene Variable zu berechnen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

Gleichsetzungsverfahren Beispiel

Schauen wir uns am oberen Beispiel genauer an, wie du das Gleichsetzungsverfahren anwendest

(I)   2x -3y = -2

(II)   -3x + 6y = 0.

Schritt 1:  Forme alle Gleichungen nach einer Variablen um. Wir entscheiden uns für die Variable x. Das heißt, du formst zuerst Gleichung (I) nach x um

(I)   2x - 3y = -2 \quad | + 3y

   2x = -2 + 3y \quad | : 2

(I‘)   x = -1 + 1,5y.

Analog löst du Gleichung (II) nach x auf

(II)   -3x + 6y = 0 \quad | - 6y

  -3x = -6y \quad | : (-3)

(II‘)   x = 2y.

Schritt 2: Du hast nun zwei Gleichungen für die Variable x. Du setzt die zwei Gleichungen als nächstes gleich und bekommst damit die Gleichung

(I‘) = (II‘)   -1 + 1,5y = 2y.

Schritt 3: Jetzt hast du eine Gleichung, die nur noch von der Variable y abhängt. Forme nun die Gleichung nach y um

-1 + 1,5y = 2y \quad | -1,5y

-1 = 0,5y \quad | : 0,5

y = -2.

Schritt 4: Es fehlt dir jetzt nur noch der Wert für die Variable x. Dafür setzt du y=-2 entweder in Gleichung (I‘) oder (II‘) ein, da die zwei Gleichungen bereits nach x umgeformt sind. Setzt du also y zum Beispiel in Gleichung (II‘) ein, dann bekommst du

y in (II‘)   x = 2 \cdot (-2)

x = -4.

Probe: Um zu überprüfen, ob die Werte x=-4 und y = -2 richtig sind, setzt du sie in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) ein

(I)   2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-2) = -2

(II)   -3 \cdot (-4) + 6 \cdot (-2) = 0.

Wie du siehst, sind beide Gleichung erfüllt. Du hast das Gleichsetzungsverfahren also richtig angewendet.

Gleichsetzungsverfahren Übungen

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel zum Gleichsetzungsverfahren an. Betrachte dafür das lineare Gleichungssystem

(I)   2x + 2y = 2

(II)   x - 4y = -14.

Schritt 1: Forme zuerst beide Gleichungen nach einer Variablen um. Wir wählen die Variable x

(I‘)   x = 1 - y

(II‘)   x = -14 + 4y.

Schritt 2: Nun setzt du Gleichung (I‘) mit Gleichung (II‘) gleich

(I‘) = (II‘)   1 - y =-14 + 4y

(II“)   -5y = -15.

Schritt 3: Somit hast du eine Gleichung, die nur noch von der Variable y abhängt, also löst du die Gleichung nach y auf und bekommst somit den Wert für y

(II“)   -5y = -15 \quad | : (-5)

y = 3.

Schritt 4: Nun kannst du auch die Variable x bestimmen, indem du y=3 in die Gleichung (I‘) einsetzt

x in (I‘)   x = 1 - 3,

x = -2.

Damit hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren die Lösung x=-2 und y=3 des linearen Gleichungssystems bestimmt.

Probe: Um noch zu überprüfen, ob du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet hast und somit die Lösung richtig ist, setzt du x=-2 und y=3 in die Gleichungen (I) und (II) ein

(I)   2 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = 2

(II)   -2 - 4 \cdot  3 = -14.

Da beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung richtig und du hast das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet.

Gleichsetzungsverfahren: Anzahl der Lösungen

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wann ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder sogar unendlich viele Lösungen hat, nachdem du das Gleichsetzungsverfahren angewendet hast.

Keine Lösung

Betrachte zuerst das lineare Gleichungssystem

(I)   -3x + 6y = 3

(II)   2x - 4y = 3.

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formst du zuerst beide Gleichungen nach x um

(I‘)   x = -1 + 2y

(II‘)   x = 1,5 + 2y.

Dann setzt du (I‘) und (II‘) gleich

(I‘) = (II‘)   -1 + 2y = 1,5 + 2y.

Allerdings erhältst du mit

0 = 2,5

eine falsche Aussage, was bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Eindeutige Lösung

Betrachte als nächstes das lineare Gleichungssystem

(I)   -2x + 3y = -12

(II)   x - 2y = 6.

Wendest du das Gleichsetzungsverfahren an, dann formst du zuerst Gleichung (I) und (II) jeweils nach x um

(I‘)   x = 6 - 1,5y

(II‘)   x = 6 + 2y.

Anschließend setzt du (I‘) und (II‘) gleich

(I‘) = (II‘)   6 - 1,5y = 6 + 2y.

Du erhältst damit die Gleichung

0 = 3,5y

und kannst daraus direkt y berechnen

y = 0.

Setze als nächstes y in (I‘) ein, um die noch fehlende Variable x zu ermitteln

y in (I‘)   x = 6 - 1,5 \cdot 0

x = 6.

Somit hast du mit x=6 und y = 0 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems.

Unendlich viele Lösungen

Nun hast du folgendes lineare Gleichungssystem gegeben

(I)   2x - 5y = 7

(II)   -4x + 10y = -14.

Für das Gleichsetzungsverfahren formst du beide Gleichungen nach x um

(I‘)   x = 3,5 + 2,5y

(II‘)   x = 3,5 + 2,5y.

Setzt du jetzt die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich

(I‘) = (II‘)   3,5 + 2,5y = 3,5 + 2,5y,

dann erhältst du mit

0 = 0

eine allgemeingültige Aussage. Das heißt, dass du für y jeden beliebigen Wert einsetzen kannst und somit mit der Menge \lbrace (3,5 + 2,5y ) \vert y \in \mathbb{R} \rbrace die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems bestimmt hast. Also hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Weitere Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme

Es gibt verschiedene Verfahren, mit denen du Gleichungssysteme lösen kannst. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Verfahren an:

Gleichsetzungsverfahren Aufgaben

Im folgenden Abschnitt stellen wir dir zum Gleichsetzungsverfahren zwei Aufgaben mit Lösungen zur Verfügung.

Aufgabe 1: 2 Gleichungen 2 Variablen

Verwende das Gleichsetzungsverfahren, um das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen

(I)   -4x + 2y = -10

(II)   3x - 2y = 8.

Lösung Aufgabe 1

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formst du die beiden Gleichungen erst einmal nach y um und erhältst damit die Gleichungen

(I‘)   y= -5 + 2x

(II‘)   y= -4 + 1,5x.

Setzt du nun die Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich, so bekommst du die Gleichung

(I‘) = (II‘)   -5 + 2x = -4 + 1,5x

(I“)   0,5x = 1.

Diese Gleichung enthält nur noch die Variable x. Formst du Gleichung (I“) also nach x um, so erhältst du für x den Wert

x = 2.

Um die Variable y zu bestimmen, setzt du x=2 in Gleichung (II‘) ein

x in (II‘)   y = -4 + 1,5 \cdot 2

y = -1.

Somit hast du mit x=2 und y=-1 die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt. Zum Schluss kannst du noch die Werte x=2 und y=-1 in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) einsetzen, um zu überprüfen, ob du mit dem Gleichsetzungsverfahren die richtige Lösung berechnet hast

(I)   -4 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = -10

(II)   3 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 8.

Wie du siehst, sind beide Gleichungen erfüllt, damit hast du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet und die Variablen x und y richtig berechnet.

Aufgabe 2: Gleichsetzungsverfahren mit 2 Gleichungen

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren das lineare Gleichungssystem

(I)   3x - 2y = -13

(II)   4x + 2y = -8.

Lösung Aufgabe 2

Für das Gleichsetzungsverfahren formst du zuerst beide Gleichungen nach y um. Damit erhältst du die Gleichungen

(I‘)   y = 6,5 + 1,5x

(II‘)   y = -4 - 2x.

Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Dafür setzt du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich

(I‘) = (II‘)   6,5 + 1,5x = -4 - 2x.

Somit erhältst du mit 

3,5x = -10,5

eine neue Gleichung, die nur noch von der Variablen x abhängt. Löst du die Gleichung nun nach x auf, so erhältst du

x = -3.

Als nächstes kannst du mit den Gleichungen (I‘) und (II‘) den Wert für y berechnen, indem du x=-3 in eine der beiden Gleichungen einsetzt. Eingesetzt in (II‘) erhältst du

x in (II‘)   y = -4 - 2 \cdot (-3)

y = 2.

Insgesamt hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren die Lösung x=-3 und y=2 des linearen Gleichungssystems bestimmt. Um die Lösung auf Richtigkeit zu überprüfen, setzt du die Werte für x und y in die Gleichungen (I) und (II) ein

(I)   3 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 = -13

(III)   4 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = -8.

Da beide Gleichungen erfüllt sind, hast du die Lösung richtig berechnet und das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet.

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