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Matrix mal Vektor

Willst du wissen, wie du eine Matrix mal Vektor rechnen kannst und welche Rechenregeln du beachten musst? Hier zeigen wir dir alles Wichtige dazu!

Inhaltsübersicht

Matrix mal Vektor einfach erklärt 

Die Matrix mal Vektor Rechnung ist Teil der Matrizenmultiplikation. Genauer gesagt wird hier eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Um das Ergebnis zu erreichen, musst du das Zeile-mal-Spalte-Prinzip anwenden:

    \[\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}\\ \textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{2}&\textcolor{blue}{3} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{2}\\\textcolor{violet}{3}\\\textcolor{violet}{4}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccccc} \textcolor{orange}{4} \cdot \textcolor{violet}{2} & + &\textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{violet}{3} & +& \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{violet}{4} \\ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{violet}{2} & +& \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{violet}{3} & +& \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{violet}{4} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{25} \\ \textcolor{teal}{20}\end{array}\right)\]

Du musst also die Werte der ersten Spalte der Matrix mit allen Zahlen des Vektors multiplizieren. Dann summierst du die Werte auf. Das ergibt allerdings nur die erste Zeile des Ergebnisvektors. Deshalb musst du den Schritt für die folgenden Zeilen der Matrix wiederholen. 

Wichtig: Damit du Matrix mit Vektor multiplizieren kannst, muss die Spaltenanzahl der Matrix (hier 3) mit der Zeilenanzahl des Vektors (hier 3) übereinstimmen. 

Matrix mal Vektor Beispiele 

Beispiel 1: Es sind die Matrix B und der Vektor \vec{e} gegeben:

    \[B=\left(\begin{array}{lll} \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{6}\end{array}\right)\quad\quad\vec{e}= \left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{1} \\ \textcolor{violet}{0} \\ \textcolor{violet}{1} \end{array}\right)\]

Du rechnest also

    \[B\cdot\vec{e}=\left(\begin{array}{lll} \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{4}& \textcolor{orange}{6}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \textcolor{violet}{1} \\ \textcolor{violet}{0} \\ \textcolor{violet}{1} \end{array}\right)\]

Zuerst betrachtest du die erste und hier auch einzige Spalte in der Matrix. Sie musst du jetzt mit jedem Wert des Vektors multiplizieren. Das sieht dann so aus: 

    \[\left(\begin{array}{ccccc} \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{violet}{1} & +& \textcolor{orange}{4}\cdot \textcolor{violet}{0} & + &\textcolor{orange}{6} \cdot \textcolor{violet}{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{8}\end{array}\right)\]

Wichtig: Das Ergebnis der Rechnung bleibt immer ein Vektor! In diesem Beispiel hat er aber nur eine Zeile.

Beispiel 2: 

    \[B=\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{1}\\ \textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{-1}&\textcolor{blue}{0} \end{array}\right)\quad\quad\vec{k}=\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}4\\\textcolor{violet}1\\\textcolor{violet}2\end{arry}\right)\]

Jetzt musst du Matrix mit Vektor multiplizieren: 

    \[\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{3}& \textcolor{orange}{2}& \textcolor{orange}{1}\\ \textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{-1}&\textcolor{blue}{0} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}4\\\textcolor{violet}1\\\textcolor{violet}2\end{arry}\right)=\left(\begin{array}{ccrcc}\textcolor{orange}3\cdot \textcolor{violet}4&+&\textcolor{orange}2\cdot\textcolor{violet}1&+&\textcolor{orange}1\cdot\textcolor{violet}2\\ \textcolor{blue}4\cdot\textcolor{violet}4&+&\textcolor{blue}{(-1)}\cdot\textcolor{violet}1&+&\textcolor{blue}0\cdot\textcolor{violet}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\textcolor{teal}{16}\\\textcolor{teal}{15}\end{array}\right)\]

Beispiel 3:

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{-2}& \textcolor{orange}{0}& \textcolor{orange}{4}\\ \textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{-4}\\ 0&0&3 \end{array}\right)\quad\quad\vec{g}=\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}0\\\textcolor{violet}2\\\textcolor{violet}3\end{array}\right)\]

Auch bei einer Matrix mit drei Zeilen gehst du genauso vor: 

    \[\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{-2}& \textcolor{orange}{0}& \textcolor{orange}{4}\\ \textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{-4}\\ 0&0&3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\textcolor{violet}0\\\textcolor{violet}2\\\textcolor{violet}3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcccr} \textcolor{orange}{(-2)}\cdot\textcolor{violet}0&+& \textcolor{orange}{0}\cdot\textcolor{violet}2&+& \textcolor{orange}{4}\cdot\textcolor{violet}3\\ \textcolor{blue}{3}\cdot\textcolor{violet}0&+&\textcolor{blue}{1}\cdot\textcolor{violet}2&+&\textcolor{blue}{(-4)}\cdot\textcolor{violet}3\\ 0\cdot\textcolor{violet}0&+&0\cdot\textcolor{violet}2&+&3\cdot\textcolor{violet}3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{12} \\ \textcolor{teal}{-10} \\\textcolor{teal}{9}\end{array}\right)\]

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Matrix mal Vektor Rechenregeln 

Für die Multiplikation von Matrix mit Vektor musst du zwei wichtige Rechenregeln beachten: 

  • Assoziativität: Wenn zwei Matrizen (A und B) und ein Vektor multipliziert werden, kannst du die Klammern beliebig setzen: 

    (A · B) · \vec{v} = A · (B · \vec{v})
  • Distributivität: 
    Du kannst bei der Matrix mal Vektorrechnung Klammern auflösen:

    (A + B) · \vec{v} = A · \vec{v} + B · \vec{v}
    A · (\vec{v} + \vec{w}) = A · \vec{v} + A · \vec{w}

Matrix mal Vektor — häufigste Fragen

  • Was ist Matrix mal Vektor?
    Eine Matrix kann mit einem Vektor multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der Matrix und die Reihenanzahl des Vektors gleich sind. Das Produkt der Multiplikation ist ein Vektor. 

  • Wie multipliziert man Vektor und Matrix? 
    Jede Spalte der Matrix müssen mit jedem Wert des Vektors multipliziert und die Produkte dann addiert werden. Daraus entsteht wieder ein Vektor. 

Matrizen multiplizieren 

Super! Jetzt kannst du Matrix mal Vektor rechnen. Willst du noch wissen, wie du Matrizen miteinander multiplizieren kannst? Dann schau in unserem Video dazu rein!

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