Lineare Algebra

Determinante 3×3

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die 3×3 Determinante einer Matrix berechnest. Du möchtest die 3×3 Determinante in nur kurzer Zeit bestimmen können? Dann schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Determinante 3×3 einfach erklärt

Die 3×3 Determinante einer Matrix A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h &i \end{pmatrix}, berechnest du mit der Regel von Sarrus.

Regel von Sarrus

\det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h &i \end{vmatrix} = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b.

Dabei addierst du die Produkte der Elemente der Diagonalen von links oben nach rechts unten (blau) und ziehst davon die Produkte der Diagonalen von links unten nach rechts oben (rot) ab.

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Die Regel von Sarrus

Beispiel: Für die 3×3 Determinante der Matrix A= \begin{pmatrix} 6 & -1 & 7 \\ -7 & 1 & -7 \\ 5 & 3 & 2 \end{pmatrix} ergibt sich damit

\det(A) = 6 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-7) \cdot 5 + 7 \cdot (-7) \cdot 3                                                                

- 5 \cdot 1 \cdot 7 - 3 \cdot (-7) \cdot 6 - 2 \cdot (-7) \cdot (-1) = -23.

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Die Regel von Sarrus

Hinweis: Für die Notation der Determinante findest du die Schreibweisen \det(A) oder |A|.

Determinante 3×3 berechnen

Um nicht die obige Formel auswendig lernen zu müssen, gibt es eine einfache Methode, wie du dir die Berechnung der Determinante einer 3×3 Matrix leicht merken kannst. Gehe dabei wie folgt vor:

Schreibe zuerst die Matrix A auf und notiere die ersten zwei Spalten der Matrix dahinter.

A= \begin{pmatrix} -3 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & -6 \\ 8 & -5 & 4 \end{pmatrix} \begin{matrix} -3 & 0 \\ 5 & 2 \\ 8 & -5 \end{matrix}

Als nächstes betrachtest du die Einträge in der Hauptdiagonale

und danach bildest du das Produkt -3 \cdot 2 \cdot 4. Somit erhältst du den ersten Summanden der Determinante

\begin{vmatrix} -3 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & -6 \\ 8 & -5 & 4 \end{vmatrix} = -3 \cdot 2 \cdot 4.

Um die nächsten zwei Summanden der 3×3 Determinante zu bestimmen, betrachtest du die Diagonalen weiter rechts.

Das heißt, du addierst zuerst das Produkt 0 \cdot (-6) \cdot 8 

und anschließend das Produkt -4 \cdot 5 \cdot (-5)

\begin{vmatrix} -3 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & -6 \\ 8 & -5 & 4 \end{vmatrix} = -3 \cdot 2 \cdot 4 + 0 \cdot (-6) \cdot 8 + (-4) \cdot 5 \cdot (-5).

Als nächstes betrachtest du die Nebendiagonale 

und ziehst das Produkt 8 \cdot 2 \cdot (-4) ab

\begin{vmatrix} -3 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & -6 \\ 8 & -5 & 4 \end{vmatrix} = -3 \cdot 2 \cdot 4 + 0 \cdot (-6) \cdot 8 + (-4) \cdot 5 \cdot (-5) - 8 \cdot 2 \cdot (-4).

Das Gleiche machst du mit den Diagonalen neben der Nebendiagonale. Du ziehst zuerst - 5 \cdot (-6) \cdot (-3) ab

und subtrahierst danach 4 \cdot 5 \cdot 0

\begin{vmatrix} -3 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & -6 \\ 8 & -5 & 4 \end{vmatrix} = -3 \cdot 2 \cdot 4 + 0 \cdot (-6) \cdot 8 + (-4) \cdot 5 \cdot (-5) - 8 \cdot 2 \cdot (-4)

- (-5) \cdot (-6) \cdot (-3) - 4 \cdot 5 \cdot 0.           

Insgesamt ist dann die 3×3 Determinante von A gegeben durch

\begin{vmatrix} -3 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & -6 \\ 8 & -5 & 4 \end{vmatrix} = -24 + 0 + 100 + 64 + 90 - 0 = 230.

Merke: Diese Vorgehensweise wird Regel von Sarrus genannt.

Beispiel 1

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Gehen wir davon aus, du sollst die 3×3 Determinante der Matrix A= \begin{pmatrix} 5 & 3 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ 8 & 1 & 0 \end{pmatrix} mit der Regel von Sarrus berechnen, dann erhältst du

\begin{vmatrix} 5 & 3 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ 8 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 5 \cdot 7 \cdot 0 + 3 \cdot 3 \cdot 8 + 0 \cdot 4 \cdot 1 - 8 \cdot 7 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 5 - 0 \cdot 4 \cdot 3.

= 0 + 72 + 0 - 0 - 15 - 0 = 57.

Beispiel 2

Als nächstes Beispiel berechnen wir die 3×3 Determinante der Matrix A= \begin{pmatrix} -6 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Dabei gehst du genauso vor, wie im vorherigen Beispiel

\det(A) = \begin{vmatrix} -6 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = - 6 \cdot 5 \cdot 2 - 2 \cdot 8 \cdot 0 + 7 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 5 \cdot 7 + 0 \cdot 8 \cdot 6 + 2 \cdot 0 \cdot 2

= - 6 \cdot 5 \cdot 2 = -60                                                                                                      

Hinweis: Befinden sich unter der Hauptdiagonale nur Nullen, dann ist die 3×3 Determinante das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonale.

Weitere Themen zur Determinante

Neben der Determinante einer 3×3 Matrix haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Determinante 3×3 Aufgaben

In diesem Abschnitt kannst du die Berechnung einer 3×3 Determinante üben, indem du die folgenden Aufgaben löst.

Aufgabe 1: Determinante einer 3×3 Matrix

Berechne die 3×3 Determinante der Matrix A= \begin{pmatrix} -6 & -4 & -5 \\ -8 & 0 & 2 \\ 3 & 7 & -3 \end{pmatrix} mit der Regel von Sarrus.

Lösung Aufgabe 1

Um die 3×3 Determinante der Matrix A zu berechnen, verwendest du die Regel von Sarrus

\begin{vmatrix} -6 & -4 & -5 \\ -8 & 0 & 2 \\ 3 & 7 & -3 \end{vmatrix} = -6 \cdot 0 \cdot (-3) + (-4) \cdot 2 \cdot 3 + (-5) \cdot (-8) \cdot 7 - 3 \cdot 0 \cdot (-5)

- 7 \cdot 2 \cdot (-6) - (-3) \cdot (-8) \cdot (-4) 

= 0 - 24 + 280 + 0 + 84 + 96 = 436.

Aufgabe 2: 3×3 Determinante

Bestimme die Determinante der 3×3 Matrix A= \begin{pmatrix} 3 & -4 & -7 \\ -6 & 8 & 14 \\ 4 & 0 & -5 \end{pmatrix}.

Lösung Aufgabe 2

Die Lösung der 3×3 Determinante ergibt sich mit der Regel von Sarrus durch

\begin{vmatrix} 3 & -4 & -7 \\ -6 & 8 & 14 \\ 4 & 0 & -5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 8 \cdot (-5) + (-4) \cdot 14 \cdot 4 + (-7) \cdot (-6) \cdot 0 - 4 \cdot 8 \cdot (-7)

- 0 \cdot 14 \cdot 3 - (-5) \cdot (-6) \cdot (-4)               

= -120 - 224 + 0 + 224 - 0 + 120 = 0.

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