Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme
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Viele Probleme können in Mathe mit linearen Gleichungssystemen gelöst werden. Eine Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen, ist das gaußsche Eliminationsverfahren (oder auch Gauß-Algorithmus). Hier zeigen wir dir, wie das genau funktioniert.

Vergiss nicht, unser Video dazu anzuschauen!

Gleichungssystem lösen mit dem Gauß-Algorithmus

Stelle dir vor, du gehst mit deiner Familie ins Kino, aber ihr habt den Eintrittspreis vergessen. Als ihr das letzte Mal mit 2 Erwachsenen, 2 Senioren und 3 Kindern dort wart, habt ihr 75€ bezahlt. Ihr wisst auch noch, wie viel ihr die beiden Male zuvor ausgegeben habt. Mit den Informationen kannst du ein lineares Gleichungssystem wie das hier aufstellen.

    \begin{align*} \textcolor{red}{2 x_1} + \textcolor{blue}{2 x_2} + \textcolor{orange}{3 x_3} &= \textcolor{olive}{75} \\ 1 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 &= 50 \\ 1 x_1 + 1 x_2 + 2 x_3 &= 40 \end{align*}

Du kannst das lineare Gleichungssystem lösen und findest dann den Preis der Eintrittskarten für Erwachsene (x_1), Senioren (x_2) und Kinder (x_3). Der Gauß-Algorithmus ist ein gutes Werkzeug um die Lösung zu finden.

Gaußscher Algorithmus

Mit dem Gauß-Algorithmus oder auch gaußsches Eliminationsverfahren brauchst du nur drei Schritte, um ein lineares Gleichungssystem lösen zu können:

  1. Finde die Zeilenstufenform Hier formst du das Gleichungssystem so um, dass bei der ersten Gleichung noch alle Unbekannte auftauchen und bei der mittleren nur noch zwei. Bei der letzten Gleichung hast du nur noch eine Unbekannte.
  2. Erste Lösung ablesen In der dritten Zeile des Gleichungssystems findest du jetzt direkt die Lösung für eine der Variablen.
  3. Rückwärts einsetzen Mit der Unbekannten, die du jetzt kennst, kannst du die beiden anderen Variablen berechnen.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Wie genau funktioniert der Gauß-Algorithmus nun? Schauen wir uns noch mal das Beispiel aus dem letztem Abschnitt an.

    \begin{align*} \textcolor{red}{2 x_1 + 2 x_2 + 3 x_3} &\,\textcolor{red}{= 75} \\ \textcolor{blue}{1 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3} &\,\textcolor{blue}{= 50}\\ \textcolor{olive}{1 x_1 + 1 x_2 + 4 x_3} &\,\textcolor{olive}{= 50} \end{align*}

Damit du nicht zu viel schreiben musst, kannst du das Gleichungssystem als Tabelle formulieren. Lass dafür die Variablennamen weg und übertrage nur die Zahlen, die vor den Variablen stehen (Koeffizienten), in die Tabelle.

    \[ \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{75} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{50} \\ \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{4} & \textcolor{olive}{50} \end{array} \]

Jetzt berechnest du die Lösung des linearen Gleichungssystems mit dem gaußschen Eliminierungsverfahren. Der erste Schritt ist das Finden der Zeilenstufenform.

1. Schritt: Finde die Zeilenstufenform

Der erste Schritt ist auch der wichtigste im Gauß-Algorithmus. Bevor wir uns anschauen, wie du ihn durchführst, solltest du erst mal verstehen, warum die Zeilenstufenform so wichtig ist. Für das Beispiel sieht die Zeilenstufenform so aus:

    \[ \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{75} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{olive}{0} & \textcolor{olive}{0} & \textcolor{olive}{5} & \textcolor{olive}{25} \end{array} \]

Das Besondere an dieser Schreibweise ist, dass du schon dein erstes Ergebnis in der letzten Zeile ablesen kannst: \textcolor{olive}{5\cdot x_3 = 25}

Denke beim Lesen der Tabelle daran, dass in der dritten Spalte der Vorfaktor von x_3 und in der letzten Spalte das Ergebnis der Gleichung steht. Wenn du x_3 kennst, kannst du danach x_2 berechnen und schließlich auch x_1 finden. Mit der Zeilenstufenform findest du also ganz schnell deine Unbekannten. Aber wie kommst du darauf? Schauen wir uns dafür den Rechenweg mal an. 

Die Zeilenstufenform findest du durch Umformen deines Gleichungssystems. Dabei musst du dich an drei Regeln halten. 

Erlaubte Rechnungen im Gauß-Algorithmus

Beim Umformen darfst du nur diese drei Dinge mit dem linearen Gleichungssystem tun:

  1. Addieren und Subtrahieren von Zeilen
  2. Multiplizieren und Dividieren von Zeilen mit einer Zahl
  3. Vertauschen von Zeilen

Zeile 3 von Zeile 2 subtrahieren

Dein Ziel ist es, die drei Nullen in der linken unteren Ecke deiner Tabelle zu bekommen. Das erreichst du am besten, wenn du mit der Null in der zweiten Zeile anfängst. Hier kannst du die dritte Zeile (III) von der zweiten Zeile (II) abziehen und bekommst eine neue zweite Zeile (II‘). Schreibe dir dafür die beiden Zeilen untereinander auf und subtrahiere spaltenweise.

    \begin{gather*} \begin{array}{rrrrr} \text{(II)}& \phantom{-(}\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{50} \phantom{)}\\ -\text{(III)}& -( \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{4} & \textcolor{olive}{50} ) \\\cline{2-5} \text{(II')}&\phantom{-(}\textcolor{magenta}{\mathbf{0}} & \textcolor{magenta}{1} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{0}\phantom{(} \end{array} \\ \begin{array}{cccc|c} \text{(I)}& 2 & 2 &3 &75 \\ \text{(II)}&  \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{50} \\ \text{(III)}& \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{4} & \textcolor{olive}{50} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{ccc|cc} 2 & 2 & 3 & 75 & \text{(I)}\\ \textcolor{magenta}{\mathbf{0}} & \textcolor{magenta}{1} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{0} & \text{(II')} \\ \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{4} & \textcolor{olive}{50} & \text{(III)} \end{array} \end{gather*}

Zeile 1 und Zeile 3 subtrahieren

Als nächstes suchst du einen Weg, mit dem du die zwei Nullen in die letzte Zeile bekommst. Hier findest du beide mit einer Rechnung. Sei aber nicht überrascht, falls du mal mehr Schritte dafür brauchst. Wenn du die dritte Zeile (III) mit 2 multiplizierst

    \[ \begin{array}{crrrrr} 2\cdot\text{(III)} & 2\cdot (\textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{4} & \textcolor{olive}{50})\\ \cline{2-5}  & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{8} & \textcolor{olive}{100}\phantom{)} \end{array} \]

und danach die erste Zeile (I) abziehst, hast du eine neue dritte Zeile (III‘). Damit hast du auch schon deine Zeilenstufenform gefunden! 

    \begin{gather*} \begin{array}{rrrrr} 2\cdot\text{(III)} & \phantom{-(}\textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{8} & \textcolor{olive}{100}\phantom{)} \\ - \text{(I)} & -( \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{75} ) \\ \cline{2-5} \text{(III')} &\phantom{-(}\textcolor{orange}{\mathbf{0}} & \textcolor{orange}{\mathbf{0}} & \textcolor{orange}{5} & \textcolor{orange}{25}\phantom{(} \end{array} \\ \begin{array}{cccc|c} \text{(I)} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{75} \\ \text{(II')}& 0 &1& -2 & 0\\ \text{(III)} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{1} & \textcolor{olive}{4} & \textcolor{olive}{50} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{ccc|cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{75} &\text{(I)} \\ 0 &1 &-2 & 0 & \text{(II')}\\ \textcolor{orange}{\mathbf{0}} & \textcolor{orange}{\mathbf{0}} & \textcolor{orange}{5} & \textcolor{orange}{25} & \text{(III')} \end{array} \end{gather*}

2. Schritt: Erste Lösung ablesen

Der Schwierigste ist geschafft. Im zweiten Schritt schaust du dir die dritte Zeile der Zeilenstufenform an. Durch deine Umformungen steht in dieser Zeile eine Gleichung, die du leicht lösen kannst.

    \begin{gather*} \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} 2&2 & 3& 75 \\ 0 &1 & -2 &0 \\ \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{5} & \textcolor{orange}{25} \end{array} \\ \Downarrow \\ \textcolor{orange}{5\cdot x_3 = 25} \end{gather*}

Teile beide Seiten der Gleichung durch 5 und du hast den ersten Teil deiner Lösung: x_3 = 5.

    \begin{align*} 5 \cdot x_3 &= 25 \quad|\,:5 \\ x_3 &= 5 \end{align*}

Mit dem ersten Teilergebnis x_3=5 kannst du im nächsten Schritt des Gauß-Algorithmus die anderen beiden Unbekannten ausrechnen. 

3. Schritt: Rückwärts einsetzen

Zeile 2 lösen

Aus der zweiten Zeile der Stufenform kannst du auch wieder eine Gleichung machen.

    \begin{gather*} \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} 2& 2 & 3 &75 \\ \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{1} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{0} \\ 0& 0 & 5 & 25 \end{array} \\ \Downarrow \\ \textcolor{magenta}{1\cdot x_2 -2\cdot x_3 = 0} \end{gather*}

In ihr steht eine unbekannte (x_2) und eine bekannte Variable (\textcolor{teal}{x_3=5}). Setze also x_3 in die Gleichung ein und löse nach x_2 auf!

    \begin{align*} x_2 -2\cdot \textcolor{teal}{x_3} &= 0 \\ x_2 - 2\cdot \textcolor{teal}{5} &= 0 \\ x_2 - 10 &= 0\\ \end{align*}

Addiere beide Seiten der Gleichung mit 10 und du erhältst dein zweites Teilergebnis: x_2 = 10

    \begin{align*} x_2 - 10 &= 0 \quad |\, +10 \\ x_2 &= 10 \end{align*}

Zeile 1 lösen

Zuletzt wiederholst du die letzte Rechnung mit der ersten Zeile, um die letzte Unbekannte (x_1) auszurechnen. Schreibe dir wieder die erste Zeile als Gleichung aus der Stufenform heraus.

    \begin{gather*} \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{75} \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 &25 \end{array} \\ \Downarrow \\ \textcolor{red}{2\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 3\cdot x_3 = 75} \end{gather*}

Jetzt weißt du schon \textcolor{teal}{x_3=5} und \textcolor{purple}{x_2=10}. Setze beides in die Gleichung ein und du findest den letzten Teil deiner Lösung.

    \begin{align*} 2\cdot x_1 + 2\cdot \textcolor{purple}{x_2} + 3\cdot \textcolor{teal}{x_3} &= 75 \\ 2\cdot x_1 + 2\cdot \textcolor{purple}{10} + 3\cdot \textcolor{teal}{5} &= 75 \\ 2\cdot x_1 + 20 + 15 &= 75 \\ 2\cdot x_1 + 35 &= 75 \end{align*}

Das lässt sich nach deiner letzten Unbekannten umstellen. Subtrahiere dafür von beiden Seiten 35 und dividiere die Gleichung durch 2.

    \begin{align*} 2\cdot x_1 + 35 &= 75 \quad |\, -35 \\ 2\cdot x_1 &= 40 \quad |\,:2 \\ x_1 &= 20 \end{align*}

Damit hast du das Gleichungssystem gelöst! Deine Lösung lautet:

    \[x_1 = 20 \qquad x_2 = 10 \qquad x_3 = 5 \]

Die Eintrittskarten für das Kino kosten also für Erwachsene 20€, Senioren 10€ und für Kinder nur 5€. Wenn du ein wenig Übung hast, geht dir das Gauß-Verfahren natürlich leichter von der Hand. Im nächsten Abschnitt kannst du dir noch eine Aufgabe anschauen.

Gauß-Algorithmus Aufgabe

Angenommen, du willst folgendes Gleichungssystem lösen. Wende dafür den Gauß-Algorithmus Schritt für Schritt auf dieses Gleichungssystem an und finde die Werte für x_1, x_2 und x_3, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Schreibe dir wieder zuerst die Koeffizienten heraus, damit du beim Umformen den Überblick behältst.

    \begin{gather*} \begin{array}{r} \\ \textcolor{red}{3x_1 -3x_2 - 4x_3 = \phantom{-}6} \\ \textcolor{blue}{-2x_1 + 3x_2 + 3x_3 =  -5} \\ \textcolor{olive}{2 x_1 - 2x_2 - 2x_3 =\phantom{-}6} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{6} \end{array} \end{gather*}

1. Schritt: Zeilenstufenform finden

Der erste Schritt ist das Finden der Zeilenstufenform. Addiere dafür die zweite (II) und die dritte Zeile (III), um eine neue zweite Zeile (II‘) zu bekommen.

    \begin{gather*} \begin{array}{rrrrr} \text{(I)} & \phantom{+(}\textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-5} \phantom{)}\\ + \text{(III)} & +( \phantom{-}\textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{6} ) \\ \cline{2-5} \text{(II')}& \phantom{+( -}\textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1}\phantom{)} \end{array} \\ \begin{array}{cccc|c} \text{(I)} & 3 & -3 & -4 & 6 \\ \text{(II)} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-5} \\ \text{(III)} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{6} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{ccc|cc} 3 & -3 & -4 & 6 & \text{(I)} \\ \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \text{(II')}\\ \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{6} &\text{(III)} \end{array} \end{gather*}

Jetzt fehlen nur noch die Nullen in der dritten Zeile. Wenn du die erste Zeile I mit 2 und die dritte Zeile (III) mit 3 multiplizierst, kannst du die Zeilenstufenform finden.

    \[ \begin{array}{crrrr} 2\cdot\text{(I)}& 2\cdot (\textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} ) \\ \cline{2-5} & \textcolor{red}{6} & \textcolor{red}{-6} & \textcolor{red}{-8} & \textcolor{red}{12}\phantom{)} \end{array} \qquad \begin{array}{crrrr} 3\cdot\text{(III)}& 3\cdot (\textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{6}) \\ \cline{2-5} & \textcolor{olive}{6} & \textcolor{olive}{-6} & \textcolor{olive}{-6} & \textcolor{olive}{18}\phantom{)} \end{array} \]

Subtrahiere dafür die dritte Zeile 3·(III) von der ersten Zeile 2·(I) und schreibe es als neue dritte Zeile (III‘) in deine Tabelle.

    \begin{gather*} \begin{array}{rrrrr} 2\cdot\text{(I)}& \phantom{-(}\textcolor{red}{6} & \textcolor{red}{-6} & \textcolor{red}{-8} & \textcolor{red}{12}\phantom{)} \\ - 3\cdot\text{(III)}& -( \textcolor{olive}{6} & \textcolor{olive}{-6} & \textcolor{olive}{-6} & \textcolor{olive}{18} ) \\ \cline{2-5} \text{(III')} & \phantom{-(} \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{-6} \phantom{)} \end{array} \\ \begin{array}{cccc|c} \text{(I)} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} \\ \text{(II')}& 0 & 1 & 1 & 1 \\ \text{(III)}& \textcolor{olive}{2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{-2} & \textcolor{olive}{6} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{ccc|cc} \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} &\text{(I)}\\ 0 &1 & 1 & 1 &\text{(II')}\\ \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{-6} &\text{(III')} \end{array} \end{gather*}

2. Schritt: Erste Lösung ablesen

Als nächstes kannst du wieder die Lösung für x_3 aus der Zeilenstufenform ablesen.

    \begin{gather*} \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{-6} \end{array} \\ \Downarrow \\ \textcolor{magenta}{-2 x_3 = -6} \Leftrightarrow x_3 = 3 \end{gather*}

3. Schritt: Rückwärtseinsetzen

Wiederhole den letzten Schritt für die zweite Zeile.

    \begin{gather*} \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{-6} \end{array} \\ \Downarrow \\ \textcolor{orange}{x_2 + x_3 = 1} \end{gather*}

Setze x_3 = 3 in die Gleichung ein.

    \begin{align*} x_2 + x_3 &= 1 \\ x_2 + 3 &= 1 \quad |\, -3 \\ x_2 &= -2 \end{align*}

Zuletzt die erste Zeile:

    \begin{gather*} \begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 \\ \cline{1-4} \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{-4} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{0} & \textcolor{magenta}{-2} & \textcolor{magenta}{-6} \end{array} \\ \Downarrow \\ \textcolor{red}{3 x_1  -3 x_2 -4 x_3 = 6} \end{gather*}

Setzte x_2 = -2 und x_3 = 3 ein.

    \begin{align*} 3 x_1  -3 x_2 -4 x_3 &= 6 \\ 3 x_1  -3 \cdot (-2) -4 \cdot 3 &= 6 \\ 3 x_1 + 6 -12 &= 6\phantom{1} \quad |\, +6 \\ 3 x_1 &= 12 \quad |\, :3 \\ x_1 &= 4 \end{align*}

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist also x_1 = 4, x_2 = -2, x_3  = 3.

Inverse Matrix berechnen

Das gaußsche %muss das nicht groß geschrieben werden?%Laut Duden wird es nur mit Apostroph groß geschrieben. Eliminationsverfahren hat viele Anwendungsmöglichkeiten. Du kannst es zum Beispiel benutzen um inverse Matrizen zu berechnen .

Zum Video: Inversive Matrix berechnen
Zum Video: Inversive Matrix berechnen

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