Lineare Algebra

Linearkombination

In diesem Artikel erklären wir dir anhand verschiedener Beispiele, was eine Linearkombination ist und wie du sie berechnest. Du möchtest in kürzester Zeit wissen was eine Linearkombination ist? Dann schau dir unser Video  dazu an.

Inhaltsübersicht

Linearkombination einfach erklärt

Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst und dann mit einem anderen Vektor addierst, so erhältst du einen weiteren Vektor. Diesen Vorgang kannst du beliebig oft wiederholen. Dabei nennt man diese Summe von Vektoren Linearkombination.

Merke

Jeden Vektor der Form

\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{v}_1 + \dots + \lambda_n \cdot \vec{ v}_n

nennt man Linearkombination der Vektoren \vec{v}_1 bis \vec{v}_n. Wobei \lambda_1 bis \lambda_n reelle Zahlen sind.

Linearkombination
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Linearkombination im 2-dimensionalen

Linearkombination berechnen

Hast du einen Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)  gegeben, dann lassen sich die Parameter \lambda_1 bis \lambda_n so bestimmen, dass \vec{v} sich als Linearkombination von den gegebenen Vektoren \vec{v}_1 bis \vec{v}_n darstellen lässt.

\vec{v}=\lambda_1 \cdot \left(\begin{array}{c} v_{11} \\ \vdots \\ v_{1n} \end{array}\right) + \dots + \lambda_n \cdot \left(\begin{array}{c} v_{n1} \\ \vdots \\ v_{nn} \end{array}\right)

Damit kannst du das folgende lineare Gleichungssystem aufstellen

\lambda_1 \cdot v_{11} + \dots + \lambda_n \cdot v_{n1} = v_1

\vdots

\lambda_1 \cdot v_{1n} + \dots + \lambda_n \cdot v_{nn} = v_n.

Löst du nun dieses Gleichungssystem, so erhältst du die Werte \lambda_1 bis \lambda_n.

Beispiel

Betrachten wir ein Beispiel. Angenommen du hast die Vektoren \vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), \vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) und \vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) gegeben, und sollst die Parameter \lambda_1, \lambda_2 und \lambda_3 bestimmen, sodass sich \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) als Linearkombination der drei Vektoren \vec{v}_1, \vec{v}_2 und \vec{v}_3 darstellen lässt. Du sollst also \lambda_1, \lambda_2 und \lambda_3 der folgenden Gleichung bestimmen

\vec{v}=\lambda_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \lambda_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + \lambda_3 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).

Das formst du nun in ein lineares Gleichungssystem um und löst es

(I) \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 6 +\lambda_3 \cdot 0 = 1

(II) \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 0 +\lambda_3 \cdot 0 = 3

(III) \lambda_1 \cdot 0 + \lambda_2 \cdot 3 +\lambda_3 \cdot 1 = 6.

Aus (II) siehst du direkt, dass \lambda_1 = \frac{3}{2} gelten muss. Einsetzen in (I) liefert dir \lambda_2 = -\frac{1}{12}. \lambda_1 und \lambda_2 in (III) einsetzen und du bekommst \lambda_3 = 6,25. Somit lässt sich \vec{v} also wie folgt als Linearkombination darstellen:

\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right)=\frac{3}{2} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + 6,25 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Vektoren \vec{v}_1 bis \vec{v}_n sind genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als Linearkombination der \vec{v}_1 bis \vec{v}_n darstellen lässt, wenn  \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0 ist.

Wenn du mehr über lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren erfahren willst, so schau dir unseren Artikel zu diesem Thema an.

Beispiel

Betrachte als Beispiel die Vektoren \vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right), \vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right) und \vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

Zuerst stellst du das lineare Gleichungssystem auf

(I) \lambda_1 \cdot 4 + \lambda_2 \cdot 3 +\lambda_3 \cdot (-2) = 0

(II) \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 0 +\lambda_3 \cdot 0 = 0

(III) \lambda_1 \cdot 6 + \lambda_2 \cdot (-4) +\lambda_3 \cdot 0 = 0.

Löst du es, dann siehst du, dass aus (II) folgt \lambda_1=0, eingesetzt in (III) ergibt \lambda_2=0 und dann folgt aus (I) \lambda_3=0. Damit sind die Vektoren \vec{v}_1, \vec{v}_2 und \vec{v}_3 linear unabhängig.

Linearkombination Spann

Sind die Vektoren \vec{v}_1 bis \vec{v}_n gegeben, so ist der Spann dieser Vektoren, definiert als

\mathrm{span}(\lbrace \vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n \rbrace) = \left\{ \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot \vec{v}_i \vert \lambda_i \in \mathbb{R} \right\}.

Der Spann \mathrm{span}(\lbrace \vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n \rbrace) ist also die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren \vec{v}_1 bis \vec{v}_n. Das heißt, ist ein Vektor \vec{v} \in \mathrm{span}(\lbrace \vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n \rbrace), so existieren \lambda_1 bis \lambda_n, sodass \vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{v}_1 + \dots + \lambda_n \cdot \vec{v}_n

Beispiel

Nimmst du zum Beispiel die beiden Vektoren  \vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0  \end{array}\right) und \vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right), so lassen sich alle Vektoren im \mathbb{R}^2 als Linearkombination von \vec{v}_1 und \vec{v}_2 darstellen. Also gilt für den Spann

\mathrm{span}(\lbrace \vec{v}_1,\vec{ v}_2 \rbrace ) = \mathbb{R}^2.

Linearkombination Spezialfälle

Im folgenden Abschnitt nennen wir dir spezielle Linearkombinationen, die davon abhängen, wie du die Koeffizienten \lambda_i wählst.

Konische Kombinationen

Hast du eine Linearkombination gegeben, bei dem die Koeffizienten \lambda_i nur größer oder gleich 0 sind, so heißt die Linearkombination konische Linearkombination

Graphisch veranschaulicht liegen alle konischen Linearkombinationen zwischen den Vektoren \vec{v}_1 bis \vec{v}_n (blaue Fläche im Bild).

Linearkombinationen, konische Linearkombinationen
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konische Linearkombinationen im 2-dimensionalen Koordinatensystem

Affinkombinationen

Sind die Parameter \lambda_i einer Linearkombination so gewählt, dass die Summe der \lambda_i gleich 1 ergibt, so wird diese Linearkombination Affinkombination genannt.

Konvexkombinationen

Konvexkombinationen sind Linearkombinationen, bei denen die Parameter \lambda_i zwischen 0 und 1 liegen und deren Summe gleich 1 ergibt.

Wenn du dir das Ganze im \mathbb{R}^2 veranschaulichst, so liegen alle Konvexkombinationen der Vektoren \vec{a} und \vec{b} auf der Strecke c, die von den beiden Vektoren \vec{a} und \vec{b} erzeugt wird.

Linearkombination, Konvexkombinationen
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Konvexkombinationen im 2-dimensionalen Koordinatensystem

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben der Linearkombination gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Linearkombination Aufgaben

Im Folgenden zeigen wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, mit denen du das Berechnen von Linearkombinationen üben kannst.

Aufgabe 1: Linearkombination Vektoren

Du hast die Vektoren \vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) und \vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) gegeben.

Bestimme die Linearkombination des Vektors \vec{v} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) durch die Vektoren \vec{v}_1, \vec{v}_2 und \vec{v}_3.

Lösung Aufgabe 1

Du suchst also die Werte \lambda_1, \lambda_2 und \lambda_3, sodass

\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right)= \lambda_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) +\lambda_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + \lambda_3 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right).

Dabei erhältst du folgendes lineare Gleichungssystem

(I) \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot (-2) +\lambda_3 \cdot 4 = -3

(II) \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 +\lambda_3 \cdot 3 = 4

(III)  \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 3 +\lambda_3 \cdot (-1) = 7.

Wenn du dir das Ganze nun in einer Matrix aufschreibst,

\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right)

kannst du diese mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in die Matrix

\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} -3 \\ -10 \\ 0 \end{array}\right)

umformen. Dabei ergibt sich in der dritten Zeile eine Nullzeile. Das heißt, du kannst für \lambda_3 jeden beliebigen Wert wählen, etwa \lambda_3 = 0. Dementsprechend erhältst du dann \lambda_2 = 2 und \lambda_1 = 1.

Also lässt sich der Vektor \vec{v} durch die folgende Linearkombination darstellen

\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) = 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + 0 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right).

Aufgabe 2: Linearkombination Vektoren

Bestimme die Linearkombination des Vektors \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) durch die Vektoren \vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right) und \vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right).

Lösung Aufgabe 2

Du suchst also die Werte \lambda_1, \lambda_2 und \lambda_3, sodass

\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)= \lambda_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) +\lambda_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right) + \lambda_3 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right).

Dabei erhältst du folgendes lineare Gleichungssystem

(I) \lambda_1 \cdot 4 + \lambda_2 \cdot 3 +\lambda_3 \cdot 1 = 1

(II) \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 +\lambda_3 \cdot 0 = 4

(III)  \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 6 +\lambda_3 \cdot 3 = 1.

Erstelle zuerst die Matrix

\left( \begin{array}{rrr} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & 3 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)

und forme diese dann mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in die Matrix

\left( \begin{array}{rrr} 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 10 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -7 \\ -150 \end{array}\right)

um. Damit erhältst du dann sofort die Werte

\lambda_3 = -15, \lambda_2 = 8 und \lambda_1 = -2.

Also lässt sich der Vektor \vec{v} durch die folgende Linearkombination darstellen

\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) = (-2) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + 8 \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right) - 15 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right).

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