Astronomie

Keplersche Gesetze

Du möchtest dein Wissen über das Thema keplersche Gesetze vertiefen oder diese erlernen? Dann bist du an dieser Stelle genau richtig.

Ein animiertes Video%verlinken zu keplersche Gesetze steht ebenfalls für dich zur Verfügung, wenn du mit Videos besser lernen kannst.

Inhaltsübersicht

Keplersche Gesetze einfach erklärt

Die keplerschen Gesetze charakterisieren die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne. Diese Charakterisierung wird festgehalten in den drei keplerschen Gesetze.

Merke: Keplersche Gesetze Formulierung

(1) Jeder Planet bewegt sich um die Sonne auf einer Ellipse, wobei sich die Sonne in einer ihrer Brennpunkte befindet;

(2) Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeitintervallen;

(3) Das Verhältnis zwischen dem Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten um die Sonne zur dritten Potenz der großen Halbachse der Ellipsenbahn ist für alle Planeten gleich.

Mit den keplerschen Gesetzen konnte Johannes Kepler das heliozentrische Weltbild%verlinken von Nikolaus Kopernikus so erweitern, dass die theoretischen Berechnungen mit den experimentellen Daten von Tycho Brahe übereinstimmten. Das heliozentrische Weltbild nach Kopernikus wurde dabei unter anderem in den folgenden zwei Aspekten verbessert

(1) Mit dem 1. Keplerschen Gesetz wurden die Kreisbahnen und Epizykel durch Ellipsen ersetzt;

(2) Mit dem 2. Keplerschen Gesetz wurde erklärt, wie die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten variieren.

Keplersche Gesetze: Ellipse – kurze Einführung

Bevor wir uns mit der mathematischen Notation der keplerschen Gesetze befassen, geben wir dir kurz eine Einführung in die Geometrie der Ellipse.

Definition und Begriffserklärung

Die Ellipse hat in der Geometrie eine präzise Definition.

Definition Ellipse

Die Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte, für die die Summe ihrer Abstände von zwei gegebenen festen Punkten gleich ist.

Diese beiden festen Punkte heißen Brennpunkte der Ellipse. Der größere Durchmesser heißt Hauptachse (oft mit 2a abgekürzt), der kleinere Durchmesser wird mit Nebenachse (oft mit 2b abgekürzt) bezeichnet. Die Hälfte der Hauptachse findest du unter der Bezeichnung große Halbachse, die Hälfte der Nebenachse unter der Bezeichnung kleine Halbachse.

% Abbildung 1 aus Videoskript einfügen.

Konstruktion

Du kannst mit einfachen Mitteln eine Ellipse konstruieren. Dazu brauchst du einen Faden, einen Bleistif, zwei Stecknadeln und eine Unterlage, in der du die Stecknadeln drücken kannst. 

Du nimmst den Faden und befestigst seine beiden Enden mit Hilfe der Stecknadeln an die Unterlage. Nun straffst du mit Hilfe des Bleistifts den Faden. Im gestrafften Zustand vollführst du eine Umdrehung, sodass du wieder zum Anfangspunkt gelangst. Die geometrische Figur, die dein Bleistift dabei abfährt, ist eine Ellipse. Die zwei Stecknadeln sind ihre Brennpunkte. Die Länge des Fadens ist die Hauptachse.

Nach dieser kurzen Einführung in die Ellipse, können wir uns nun der mathematischen Formulierung der keplerschen Gesetze widmen. Wir beginnen dabei mit dem ersten keplerschen Gesetz.

1. Keplersches Gesetz

Nach dem ersten keplerschen Gesetz ist die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne eine Ellipse. Die Sonne befindet sich dabei in einer der Brennpunkte der Ellipsenbahn. 

% Abbildung 2 aus Videoskript einfügen.

Vielleicht fragst du dich, wie Kepler auf diese Idee kommen konnte. Kepler war seit Beginn seines Interesses für die Astronomie vom heliozentrischen Weltbild nach Kopernikus inspiriert. Die Ausgangssituation, von der aus Kepler begann sich Fragen über das Universum zu stellen, war also die Sonne als Zentrum, um die sich die Planeten auf Kreisbahnen bewegen.

Kepler war ein begabter Mathematiker. Daher versuchte er die experimentellen Daten von Tycho Brahe mit Hilfe geometrischer Überlegungen theoretisch zu überprüfen. Zu Beginn verwendete er Kreise für das Design der Umlaufbahnen. Er stellte jedoch fest, dass sich die Berechnungen mit Kreisen zu sehr von den experimentellen Daten unterscheiden.

Im nächsten Schritt versuchte er es mit ovalförmigen Umlaufbahnen. Dieses geometrische Design funktionierte zwar für die Bewegung der Erde um die Sonne, nicht aber für die Bewegung des Planeten Mars um die Sonne. Damit musste er auch das Oval aufgeben.

Schließlich entschloss er sich dazu, Ellipsen für die Umlaufbahnen zu verwenden. Mit diesen geometrischen Design überlappten die theoretischen Berechnungen mit den experimentellen Daten erstaunlich gut. 

Bei Kreisbahnen ist der Mittelpunkt des Kreises eine natürliche Wahl für den Referenzpunkt – also demjenigen Punkt, von dem aus Abstände gemessen werden sollen. Analog sind die Brennpunkte bei einer Ellipse die natürlichste Wahl eines Referenzpunktes für elliptische Bahnen. Damit war das erste keplersche Gesetz geboren.

2. Keplersches Gesetz

Wenn du dir irgendeinen Planeten unseres Sonnensystems aussuchst und sein Zentrum mit dem Zentrum der Sonne verbindest, wirst du bei der Bewegung dieses Planeten folgendes feststellen:

Diese Verbindungslinie überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

% Abbildung 3 aus Videoskript einfügen.Diese erstaunliche Beobachtung ist die Aussage des zweiten keplerschen Gesetzes. Kepler erreichte dieses Ergebnis beim Versuch, eine mathematische Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten eines Planeten zu unterschiedlichen Punkten auf seiner Umlaufbahn zu finden. Dieses Gesetz fand Kepler noch vor seinem ersten Gesetz heraus.

Die Aussage „in gleichen Zeiten gleiche Flächen“ wirkt vielleicht etwas vertrauter, wenn du dich zum Beispiel in die Situation hineinversetzt, in der du mit deinem Fahrrad fährst. Solange deine Geschwindigkeit konstant ist, wirst du dich für ein gegebenes Zeitintervall immer um dieselbe Strecke vorwärts bewegen. Du bringst also „in gleichen Zeiten gleiche Strecken“ hinter dich.

Analog ist die Menge an Fläche, die Verbindungslinie hinter sich bringt, für ein gegebenes Zeitintervall immer dieselbe. Die Geschwindigkeit, mit der sich daher die Fläche ändert, ist konstant. 

2. Keplersches Gesetz – mathematische Formulierung  

Wenn wir die Fläche mit \Delta A bezeichnen und das dazugehörige Zeitintervall mit \Delta t, dann gilt

\frac{\Delta A}{\Delta t} = konstant,

Bei der Bewegung eines Körpers entlang eines Kreises bedeutet das zweite Keplersche Gesetz, dass sich der Körper mit einer konstanten Umlaufgeschwindigkeit bewegt. Nach dem ersten keplerschen Gesetz sind die Planetenbahnen aber Ellipsen. Demnach müssen die Geschwindigkeiten in der Nähe der Sonne größer sein als zu den Zeitpunkten, bei denen die Planeten von der Sonne weiter entfernt sind.

3. Keplersches Gesetz

Das erste und zweite keplersche Gesetz behandeln die Planeten einzeln. Das dritte Keplersche Gesetz verknüpft die Bewegung der Planeten miteinander. 

Die Umlaufbahn eines Planeten wird unter anderem durch zwei Kennzahlen charakterisiert

(1) Der Größe der Umlaufbahn und

(2) Der Dauer für einen Umlauf.

Im Fall der elliptischen Bahnen entspricht die Größe der Umlaufbahn der großen Hauptachse und wird mit a abgekürzt. Die Dauer der Umlaufbahn sollt mit T notiert werden. 

3. Keplersches Gesetz – mathematische Formulierung  

Das Verhältnis zwischen dem Quadrat der Umlaufzeit und der dritten Potenz der Größe ist für alle Planeten konstant. Es gilt also

\frac{T^2}{a^3} = konstant.

Wenn wir zum Beispiel die Größe der Umlaufbahn der Erde mit a_E und die Dauer mit T_E bezeichnen, und für den Planeten Saturn mit a_S und T_S, dann gilt

\frac{(T_E)^2}{(a_E)^3} = \frac{(T_S)^2}{(a_S)^3}.

Damit kannst du aus den bekannten Daten über die Umlaufbahn der Erde, die charakterisierenden Eigenschaften der Umlaufbahnen anderer Planeten bestimmen.

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