Mathematische Grundlagen

Additionsverfahren

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du das Additionsverfahren anwendest. Du möchtest zum Additionsverfahren lieber eine visuelle Anleitung sehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Additionsverfahren Anleitung  

Stell dir vor, du hast ein Gleichungssystem gegeben.

   2x - 3y = -4

  3x + y  =  5

Nun sollst du herausfinden, was x und y ist. Mit dem Additionsverfahren kannst du die Gleichungen so umformen, dass bei der Addition der Gleichungen x oder y verschwindet. Es funktioniert wie folgt:

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.

Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt. 

Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.

Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

Additionsverfahren Beispiel  

Schauen wir uns an, wie du das Gleichungssystem von oben mit dem Additionsverfahren lösen kannst.

(I)   2x - 3y = -4

(II)   3x + y  =  5

Schritt 1: Du entscheidest dich dafür, die Variable y zu entfernen.

Schritt 2: In Gleichung (I) hat y den Koeffizienten -3 und in Gleichung (II) 1. Um nun die Variable y wegzubekommen, multiplizierst du Gleichung (II) mit 3. Damit hebt sich die Variable y bei einer Addition auf, denn -3y+3y=0.

(II)   3x + y  =  5 \quad | \cdot 3

(II‘)   9x + 3y = 15

Damit hast du

(I)    2x - 3y = -4

(II‘)    9x + 3y = 15.

Schritt 3: Zähle beide Gleichungen zusammen und erhalte somit die neue Gleichung

(I) + (II‘)   2x + 9x -3y + 3y = -4 + 15

11x = 11.

Schritt 4: Nun kannst du die Variable x bestimmen, indem du beide Seiten der Gleichung durch 11 teilst. Du erhältst damit

x = 1.

Setzt du jetzt noch x = 1 in die Gleichung (II) ein, dann bekommst du

3 \cdot 1 + y = 5

y = 2.

Damit hast du mit x=1 und y=2 die Lösung des linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren berechnet.

Probe: Um zu überprüfen, ob die Lösung x=1 und y=2 richtig ist, setzt du sie in die ursprüngliche Gleichungen (I) und (II) ein.

(I)   2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -4

(II)   3 \cdot 1 + 2  =  5

Wie du siehst, sind beide Gleichungen erfüllt, damit hast du das Additionsverfahren richtig angewendet und die Variablen x und y richtig berechnet.

Additionsverfahren Übungen

Auch bei einem linearen Gleichungssystem mit 3 Gleichung und 3 Variablen kannst du das Additionsverfahren anwenden. Schauen wir uns am folgenden Beispiel genauer an, wie du dabei vorgehst.

Betrachte das folgende lineare Gleichungssystem.

(I)   -5x + 5y + 5z = 25

(II)   2x + 3y -  z   = -2

(III)   -x - 2y + 2z   =  5

Wende zuerst das Additionsverfahren auf die Gleichungen (I) und (II) an, indem du Gleichung (I) mit 2 und Gleichung (II) mit 5 multiplizierst.

(I)   -5x + 5y + 5z = 25 \quad | \cdot 2

(I‘)   -10x + 10y + 10z = 50

(II)   2x + 3y -  z   = -2 \quad | \cdot 5

(II‘)   10x + 15y -5z = -10

Addierst du dann beide Gleichungen (I‘) und (II‘), so erhältst du die Gleichung

(I‘) + (II‘)   -10x + 10x + 10y + 15y + 10z -5z = 50 - 10

(II“)   25y + 5z = 40.

Analog wendest du das Additionsverfahren auf die Gleichung (I) und (III) an. Dabei multiplizierst du Gleichung (III) mit -5.

(III)   -x - 2y + 2z   =  5 \quad | \cdot (-5)

(III‘)   5x + 10y - 10z = -25

Addierst du dann die beiden Gleichungen (I) und (III‘), bekommst du

(I) + (III‘)   -5x + 5x + 5y + 10y + 5z - 10z = 25 - 25

(III“)   15y - 5z = 0.

Damit hast du ein neues lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen.

(II“)   25y + 5z = 40

(III“)   15y - 5z  =   0

Nun kannst du wie im vorherigen Beispiel das Additionsverfahren anwenden. Diesmal brauchst du keine der beiden Gleichungen erweitern. Du addierst lediglich Gleichung (II“) und (III“).

(II“) + (III“)   25y + 15y + 5z - 5z = 40 + 0

40y = 40

y=1

Somit erhältst du den Wert y=1. Setze nun y entweder in Gleichung (II“) oder in (III“) ein, um die Variable z zu bestimmen. Eingesetzt in (III“) ergibt sich somit

(III“)   15 \cdot 1 - 5z= 0

z=3.

Zum Schluss setzt du die Variablen y=1 und z=3 in eine der ursprünglichen Gleichungen (I), (II) oder (III) ein. Wählst du zum Beispiel die Gleichung (I), dann erhältst du

(I)  -5x + 5 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 25

x=-1.

Probe: Du kannst noch das Ergebnis auf Richtigkeit überprüfen, indem du die Werte x=-1, y=1 und z=3 in die Gleichungen (I), (II) und (III) einsetzt.

(I) -5 \cdot (-1) + 5 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 25

(II)  2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 -  3   = -2

(III)  1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3   =  5

Da also alle Gleichungen erfüllt sind, hast du die richtige Lösung berechnet und somit auch das Additionsverfahren richtig angewendet.

Additionsverfahren: Anzahl der Lösungen  

Im folgenden Abschnitt zeigen wir dir anhand von Beispielen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem haben kann, nachdem du das Additionsverfahren angewendet hast.

Keine Lösung

Betrachte für den ersten Fall das lineare Gleichungssystem

(I)   -3x + 6y = 6

(II)      x - 2y  =  5

und wende darauf das Additionsverfahren an. Dafür multiplizierst du die Gleichung (II) mit 3

(II)   x - 2y  =  5 \quad | \cdot 3

(II‘)   3x - 6y = 15

und addierst anschließend beide Gleichungen. Damit erhältst du mit

(I) + (II‘)  -3x + 3x + 6y - 6y = 6 + 15

0 = 21

eine falsche Aussage, was bedeutet, dass es keine Lösung für das lineare Gleichungssystem gibt.

Eindeutige Lösung

Betrachte folgendes lineare Gleichungssystem.

(I) -4x - 6y = -24

(II)    -2x + y  =  4

Wende darauf nun das Additionsverfahren an. Du multiplizierst zuerst Gleichung (II) mit -2

(II)    -2x + y  =  4 \quad | \cdot (-2)

(II‘) 4x - 2y = -8.

Anschließend addierst du Gleichung (I) und (II‘)

(I) + (II‘)  -4x + 4x -6y -2y = -24 -8

-8y = -32,

und bestimmst den Wert für y

 y=4.

Nun setzt du y=4 in eine der beiden Gleichung (I) oder (II) ein und du erhältst

(II) -2x + 4 = 4

x=0.

Damit hast du mit x=0 und y=4 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems berechnet.

Unendlich viele Lösungen

Schau dir nun das folgende lineare Gleichungssystem an.

(I) 4x - y = 3

(II) -8x + 2y =-6

Multipliziere zuerst Gleichung (I) mit 2. Damit erhältst du dann

(I) 4x - y = 3 \quad | \cdot 2

(I‘)  8x - 2y = 6.

Addierst du nun Gleichung (I‘) und (II), so bekommst du mit 

(I‘) + (II)  8x - 8x - 2y + 2y = 6 - 6

0 = 0

eine allgemeingültige Aussage. Das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt. In einem solchen Fall kannst du für y einen beliebigen Wert einsetzen und eine der Gleichungen (I) und (II) nach x umformen.

(I)  x = \frac{3}{4} + \frac{y}{4}

Somit hast du mit der Menge \lbrace(\frac{3}{4} + \frac{y}{4}) \vert y \in \mathbb{R}\rbrace die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems bestimmt.

Additionsverfahren anschaulich erklärt  

Im Folgenden möchten wir dir das Prinzip des Additionsverfahrens näherbringen.

Betrachte die folgenden zwei Gleichungen

A_1=B_1

A_2=B_2.

In der ersten Gleichung A_1 = B_1 hast du auf der linken Seite den Flächeninhalt A_1 eines Vierecks und auf der rechten Seite den Flächeninhalt B_1 eines Dreiecks. In der zweiten Gleichung A_2 = B_2 hast du auf der linken Seite den Flächeninhalt A_2 eines Vierecks und auf der rechten Seite den Flächeninhalt B_2 eines Kreises. Fasst du nun beide Seiten jeweils zusammen, so erhältst du eine neue Gleichung A_1 + A_2 = B_1 + B_2 mit dem Flächeninhalt A_1 + A_2 beider Vierecke auf der linken Seite und dem Flächeninhalt B_1 + B_2 des Dreiecks und des Kreises auf der rechten Seite.

Additionsverfahren, lineares Gleichungssystem lösen, Lösungsverfahren
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Das Prinzip des Additionsverfahrens

Das bedeutet, dass wenn du zwei Gleichungen addierst, dann sind die Verhältnisse der Flächen auf beiden Seiten immer noch gleich.

Das kleinste gemeinsame Vielfache

In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie das kleinste gemeinsame Vielfache%verlinken dir dabei hilft, das Additionsverfahren anzuwenden.

Wenn du das Additionsverfahren anwendest, so musst du dir überlegen, mit welchen Zahlen du die Gleichungen multiplizieren musst, sodass die x- oder y-Variable sich bei der Addition aufhebt. Dabei hilft dir das kleinste gemeinsame Vielfache weiter.

Schau dir dafür am besten das folgende lineare Gleichungssystem an.

(I)   3x + 5y = 4

(II)   2x - y   = 2

Wenn du dich dafür entscheidest die Variable x zu entfernen, so bestimmst du zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache von den Koeffizienten 3 und 2, welches 6 lautet. Somit multiplizierst du also Gleichung (I) mit 2 und Gleichung (II) mit -3.

Entscheidest du dich die Variable y zu entfernen, so brauchst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 1. Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Koeffizienten ist 5. Also multiplizierst du lediglich die Gleichung (II) mit 5

Weitere Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme

Es gibt verschiedene Verfahren, mit denen du Gleichungssysteme lösen kannst. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Verfahren an.

Additionsverfahren Aufgaben

In diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit denen du das Additionsverfahren üben kannst. Noch mehr Aufgaben findest du hier !

Aufgabe 1: 2 Gleichungen 2 Variablen

Berechne mit dem Additionsverfahren die Lösungen des linearen Gleichungssystems

(I)   -7x - 3y = 5

(II)   5x + 2y = -4.

Lösung Aufgabe 1

Du entscheidest dich dafür, die Variable y zu entfernen. Da das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 2 gleich 6 ist, multiplizierst du Gleichung (I) mit 2 und Gleichung (II) mit 3.

(I)   -7x - 3y = 5 \quad | \cdot 2

(I‘)  -14x - 6y = 10

(II)   5x + 2y = -4 \quad | \cdot 3

(II‘)  15x + 6y = -12

Nun kannst du die beiden Gleichungen addieren. Du rechnest also

(I‘) + (II‘)  -14x + 15x - 6y + 6y = 10 - 12

x=-2.

Somit hast du schon den x-Wert ermittelt, den du jetzt entweder in Gleichung (I) oder in Gleichung (II) einsetzt, um so den y-Wert zu bestimmen.

(II)  5 \cdot (-2) + 2y = -4

y=3

Somit sind die Werte x=-2 und y=3 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems.

Um zu überprüfen, ob du das Additionsverfahren richtig angewendet und somit die Variablen richtig berechnet hast, kannst du sie in die beiden Gleichungen (I) und (II) einsetzen.

(I)   -7 \cdot (-2) - 3 \cdot 3 = 5

(II)   5 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -4

Da beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung richtig und du hast das Additionsverfahren richtig angewendet.

Aufgabe 2: 3 Gleichungen 3 Variablen

Berechne mit dem Additionsverfahren die Lösung des linearen Gleichungssystems

(I) 3x - 2y + 4z = 7

(II)   4x + 3y +  3z= -1

(III)  -2x + 4y - z =-4.

Lösung Aufgabe 2

Zuerst entscheidest du dich dafür die Variable z zu eliminieren. Wende dafür auf die Gleichungen (I) und (II) das Additionsverfahren an. Du multiplizierst Gleichung (I) mit 3 und Gleichung (II) mit -4.

(I) 3x - 2y + 4z = 7 \quad | \cdot 3

(I‘) 9x - 6y + 12z = 21

(II)   4x + 3y +  3z= -1 \quad | \cdot (-4)

(II‘)   -16x - 12y - 12z= 4

Addiere die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) und du erhältst die Gleichung

(I‘) + (II‘)  9x - 16x -6y - 12y + 12z - 12z = 21 +4

(II“)  -7x - 18y = 25.

Wende nochmal das Additionsverfahren auf die Gleichungen (I) und (III) an. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 1 ist gleich 4, also multiplizierst du Gleichung (III) mit 4.

(I) 3x - 2y + 4z = 7

(III)  -2x + 4y - z =-4 \quad | \cdot 4

(III‘)  -8x + 16y - 4z =-16

Wenn du nun die beiden Gleichungen (I) und (III‘) addierst, bekommst du die Gleichung

(I) + (III‘)  3x - 8x -2y + 16y + 4z - 4z = 7 - 16

(III“)  -5x + 14y = -9.

Somit hast du ein neues lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen.

(II“)  -7x - 18y = 25

(III“)  -5x + 14y = -9

Hierauf wendest du nun wieder das Additionsverfahren an. Diesmal entscheidest du dich dafür, die Variable x zu entfernen. Deshalb multiplizierst du Gleichung (II“) mit -5 und Gleichung (III“) mit 7.

(II“)  -7x - 18y = 25 \quad | \cdot (-5)

(II“‘)  35x + 90y = -125

(III“)  -5x + 14y = -9 \quad | \cdot 7

(III“‘)  -35x + 98y = -63

Addiere jetzt beide Gleichungen.

(II“‘) + (III“‘)  35x -35x + 90y + 98y = -125 - 63

188y = - 188 

Somit ergibt sich der Wert y=-1. Setze jetzt y in (II“) oder (III“) ein, um x zu berechnen. Du erhältst damit 

(III“)  -5x + 14 \cdot (-1) = -9

x = -1.

Zum Schluss setzt du noch x=-1 und y=-1 in eine der drei ursprünglichen Gleichung (I), (II) oder (III) ein, um die letzte Variable z zu bestimmen.

(I)  3 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 4z = 7

z=2

Somit hast du mit x=-1, y=-1 und z=2 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems berechnet.

Du kannst noch das Ergebnis auf Richtigkeit überprüfen, indem du die Werte in die Gleichungen des linearen Gleichungssystems einsetzt.

(I) 3 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = 7

(II)   4 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) +  3 \cdot 2 = -1

(III)  -2 \cdot (-1) + 4 \cdot (-1) - 2 =-4

Dadurch, dass alle Gleichungen erfüllt sind, hast du die Werte richtig berechnet und das Additionsverfahren richtig angewendet.

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