Biquadratische Gleichungen
Willst du wissen, wie du biquadratische Gleichungen lösen und berechnen kannst? Das erfährst du hier und im Video !
Inhaltsübersicht
Biquadratische Gleichungen einfach erklärt
Die quadratischen Gleichungen der Form ax2 + bx + c =0 kennst du bereits. Es gibt aber darüber hinaus noch Gleichungen der Form ax4+ bx2 + c = 0. Die nennst du auch biquadratische Gleichungen. Sie können beispielsweise so aussehen:
- 3x4+ 2x2 + 5 = 0
- 2x4+ x2 = 0
- x4+ 6x2 + 1 = 0
Um die Gleichung zu lösen, musst du die sogenannte Substitution anwenden. Dabei ersetzt du in der biquadratischen Gleichungen jedes x2 durch ein z. Das kannst du dir an folgenden Beispielen genauer anschauen.
Biquadratische Gleichungen lösen
Zum Lösen von biquadratischen Gleichungen kannst du immer dieselbe Vorgehensweise befolgen. Sieh dir dazu das Beispiel x4 – 4x2 + 3 = 0 an.
-
- Die Substitution
funktioniert jetzt so: Ersetze jedes x2 durch ein z:
x4– 4x2 + 3 = 0
z2 – 4z + 3 = 0
Merke! Weil x4 = (x2)2 ist, kannst du z2 schreiben.
-
Die entstandene Gleichung kannst du jetzt wie eine normale quadratische Gleichung lösen. Dafür nutzt du die pq-Formel
:
= 3
= 1
- Die Substitution
funktioniert jetzt so: Ersetze jedes x2 durch ein z:
-
Die Lösungen für z sind jetzt also 1 und 3. Du brauchst aber die Lösungen für x. Deshalb musst du die Substitution wieder rückgängig machen. Das nennst du Resubstitution z = x2 :
![\[\begin{array}{rcl}z& =&3\\ x^2&=&3\\ &&\\ x_1=\sqrt{3}&& x_2=-\sqrt{3}\end{array}\quad\quad\quad\quad\quad\begin{array}{rcl}z&=&1\\ x^2&=&1\\ &&\\ x_3=1&& x_4=-1\end{array}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12e8a377dc8641ddd440007465c13cd3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Super! Du hast die biquadratische Gleichung gelöst.
Übrigens: Du kannst eine biquadratische Gleichung auch mit der Mitternachtsformel lösen. Anstelle der pq-Formel benutzt du im zweiten Schritt einfach die Mitternachtsformel. Mehr dazu erfährst du hier !
❌ Zusammenfassung
- Du kannst eine biquadratische Gleichung immer mit demselben Verfahren lösen.
- 1. Substitution ( z = x2 )
- 2. PQ-Formel oder Mitternachtsformel
- 3. Resubstitution ( z = x2 )
- Die biquadratische Gleichung kann auch keine Lösung haben. Nämlich, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht.
Klasse! Du kannst jetzt biquadratische Gleichungen lösen. Willst du auch noch mehr zu Potenzgleichungen erfahren? Dann schau in unser Video dazu rein!
