Aussagenlogik

Aussagenlogik Definition 

Die Aussagenlogik ist ein grundlegender Teil der Logik, der sich mit Aussagen und deren Verbindungen beschäftigt. Zum Beispiel hast du zwei Aussagen: „Es regnet“ und „Es ist kalt“. Solchen Aussagen wird dabei immer ein bestimmter Wahrheitswert zugeordnet: Sie sind entweder wahr oder falsch.

Die Aussagenlogik untersucht dann, wie sich die Wahrheitswerte von Aussagen verändern, wenn sie mit logischen Operatoren (Junktoren) verknüpft werden. Beispielsweise verbindest du die beiden Aussagen mit dem Operator „und“: „Es regnet und es ist kalt“.

Das Besondere an der Aussagenlogik ist, dass sie sich nicht dafür interessiert, was in den Aussagen steht, sondern wie sie miteinander verbunden sind. Im Kern untersucht sie also die Strukturen und Muster von Aussagen und wie sie sich auf die Wahrheit oder Falschheit von zusammengesetzten Aussagen auswirken. Daraus lassen sich dann Schlüsse ziehen und überprüfen, ob bestimmte Argumente logisch gültig sind.

Was sind Aussagen? 

In der Aussagenlogik ist eine Aussage ein Satz, der entweder wahr oder falsch sein kann, aber nicht beides gleichzeitig. Jede Aussage hat also einen definitiven Wahrheitswert. Beispielsweise ist die Aussage „Es regnet“ entweder wahr, wenn es tatsächlich regnet, oder falsch, wenn es nicht regnet.

Hat ein Satz keinen definitiven Wahrheitswert, ist es auch keine Aussage. Dazu gehören zum Beispiel Fragen wie „Regnet es?“, Befehle wie „Mach die Tür zu!“ oder Meinungsäußerungen wie „Ich mag Regen“.

In der Aussagenlogik verwendest du für die Darstellung von Aussagen sogenannte Aussagenvariablen. Diese Variablen sind wie Platzhalter für die Aussagen. Dabei kannst du jeden beliebigen Groß- oder Kleinbuchstaben verwenden.

Zum Beispiel benutzt du die Variable P, um die Aussage „Es regnet“ zu repräsentieren. Dann könntest du sagen, dass P wahr ist, wenn es regnet, und falsch ist, wenn es nicht regnet.

Verbindungen von Aussagen

Solche einfachen, nicht weiter zerlegbaren Aussagen wie „Es regnet“ oder „Der Himmel ist blau“ bezeichnest du als elementare Aussagen. Sie können für sich allein stehen und haben einen klaren Wahrheitswert — entweder wahr oder falsch.

Daneben gibt es aber auch noch zusammengesetzte Aussagen. Diese bestehen aus zwei oder mehreren elementaren Aussagen. Zur Darstellung von Aussagenverbindungen verwendest du folgende Elemente, die wir dir gleich genauer erklären:

• Logische Operatoren:
  • Konjunktion (∧)
  • Disjunktion (∨)
  • Negation (¬)
  • Implikation (→)
  • Bikonditional (↔)
  • Kontravalenz (⊕)
     
• Hilfssymbole: Zu den Hilfssymbolen gehören Klammern, die dazu dienen, die Struktur der Formeln zu definieren und die Reihenfolge der Operationen zu klären.

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Ein Beispiel für eine Aussagenverbindung wäre (A ∧ B). Was die einzelnen logischen Operatoren bedeuten, schauen wir uns jetzt genauer an!

Negation 

Die Negation ist das logische Gegenstück zu einer Aussage, denn dabei wird eine Aussage verneint. Beim Negieren von Aussagen, drehst du also ihren Wahrheitswert um.

Die Negation einer Aussage A wird als $\neg A$ (gesprochen „nicht A“) dargestellt. Wenn A wahr ist, dann ist $\neg A$ falsch, und umgekehrt.

➡️ Beispiel:

• A: Es regnet.
• ¬A: Es regnet nicht.

Wahrheitstafel Negation

Wie sich der Wahrheitswert einer Aussage je nach Operation verändert, wird in sogenannten Wahrheitstafeln (Wahrheitstabellen) abgebildet. Das Kürzel „w“ steht dabei für „wahr” und „f“ steht für „falsch“. Für die Negation ergibt sich folgende Wahrheitstafel:

Um die Wahrheitswerte von Aussagen zu verdeutlichen, kannst du dir auch Mengendiagramme zur Hilfe nehmen.

Wenn A wahr ist, ist $\neg A\; falsch.$	direkt ins Video springen
Wenn A falsch ist, ist ¬A wahr.	direkt ins Video springen

Das Negieren einer Aussage kehrt also den Wahrheitswert um.

Konjunktion

Die Konjunktion ist in der Aussagenlogik die und-Verknüpfung von zwei Aussagen. Wenn du zwei Aussagen A und B mit einer Konjunktion verbindest, wird das als $A\wedge B$ (gesprochen „A und B“) dargestellt. 

➡️ Beispiel:

• A: Es regnet.
• B: Die Straße wird nass.
• A ∧ B: Es regnet und die Straße wird nass.

Tipp: Dass ∧ für „und“ steht kannst du dir an folgender Eselsbrücke merken: Das ∧ sieht aus wie das „A“ in „And“ — dem englischen Wort für „und“.

Wahrheitstafel Konjunktion

Die Wahrheitstafel (Wahrheitstabelle) zeigt alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte der einzelnen Aussagen A und B und den daraus resultierenden Wahrheitswert der Konjunktion.

Die zusammengesetzte Aussage A $\wedge \; B$ ist nur dann wahr, wenn sowohl $A$ als auch $B$ wahr sind. Sind eine oder beide der Aussagen falsch, ist auch die Konjunktion falsch.

Daher kann beispielsweise die Aussage „Es regnet und die Straße wird nass“ nur dann wahr sein, wenn es regnet und die Straße nass ist. Ist eine der Bedingungen nicht erfüllt, ist auch die Gesamtaussage falsch.

Diese Beziehung kann ebenfalls durch ein Mengendiagramm veranschaulicht werden. In der Mengenlehre entspricht die Konjunktion der Schnittmenge.  

Die Konjunktion A ∧ B ist nur wahr, wenn A und B wahr sind.

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Wichtig: Obwohl du von der „Verknüpfung von Aussagen“ sprichst, werden nicht die Aussagen selbst verknüpft. Hier werden nur die Wahrheitswerte der Aussagen verknüpft. Schließlich interessiert sich die Aussagenlogik nicht für die Inhalte der Aussagen, sondern für deren Wahrheit oder Falschheit.

Disjunktion

Die Disjunktion ist die oder-Verbindung in der Aussagenlogik. Wenn du zwei Aussagen mit einer Disjunktion verbindest, wird das als $A\vee B$ (gesprochen „A oder B“) dargestellt. 

➡️ Beispiel:

• A: Es regnet.
• B: Die Straße wird nass.
• A ∨ B: Es regnet oder die Straße wird nass.

Tipp: Dass $\vee$ für „oder“ steht, kannst du dir auch an einer Eselsbrücke merken: Beim „Oder ist oben offen“.

Wahrheitstafel Disjunktion

Die verknüpfte Aussage $A\vee \; B$ ist wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A oder B wahr ist. Sie ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.

Schauen wir uns auch hierzu das Beispiel an: Die Gesamtaussage „Es regnet oder die Straße wird nass“ ist immer wahr, wenn nur eine der Bedingungen oder beide erfüllt sind. Sie ist nur dann falsch wenn es weder regnet, noch die Straße nass ist.

Dieser Zusammenhang sieht grafisch in einem Mengendiagramm so aus:

Die Disjunktion A $\vee$ B ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.

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Wichtig: Die Disjunktion bezeichnest du auch als nicht-ausschließendes bzw. einschließendes Oder. Denn übersetzt heißt es „A oder B, oder beides“. 

Implikation

In der Aussagenlogik ist eine Implikation (auch Subjunktion oder Konditional genannt) eine wenn-dann-Beziehung zwischen zwei Aussagen. Die Verknüpfung mit einer Implikation schreibst du als $A\to B$ (gesprochen „wenn A, dann B“). Manchmal wird sie auch als Pfeil mit zwei Querstrichen dargestellt: $A\; \Rightarrow B$$.$

➡️ Beispiel:

• A: Es regnet.
• B: Die Straße wird nass.
• A → B: Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.

Wahrheitstafel Implikation

Die Implikation A$\to \; B$ ist nur falsch, wenn $A$ wahr und B falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr.

Um zu verstehen, warum die Implikation nur unter einer Bedingung falsch ist, schauen wir uns auch dazu das Beispiel an: Wenn es regnet und die Straße ist nicht nass, dann kann die Aussage „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.“ auch nicht wahr sein. Denn nur die Voraussetzung ist erfüllt, aber nicht die Folge. Wenn es nicht regnet und die Straße ist nass kann die Aussage hingegen wahr sein, da es ja noch andere Gründe für eine nasse Straße geben kann z. B. durch die Straßenreinigung.

Wann die Verknüpfung wahr ist, lässt sich in einem Mengendiagramm so darstellen:

Die Implikation A $\to$B ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

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Wichtig: Die Übersetzung der Implikation in der Aussagenlogik mit „wenn, dann“ ist unglücklich gewählt, weil sie in der Alltagssprache für Ursache-Wirkungs-Beziehungen verwendet wird. Doch die Implikation ist nicht zwangsläufig eine kausale Beziehung. Eine bessere Übersetzung wäre “A impliziert B“, „B, vorausgesetzt A“ oder „A ist eine hinreichende Bedingung für B“.

Hinreichende und notwendige Bedingung

In der Aussagenlogik ist die Implikation (A → B) eng mit den Konzepten der hinreichenden und notwendigen Bedingung aus der Mathematik verknüpft. 

• Hinreichende Bedingung: Eine hinreichende Bedingung ist eine Bedingung, die immer zum Eintreten eines Ereignisses führt, wenn sie erfüllt ist.
• Notwendige Bedingung: Eine notwendige Bedingung ist eine Bedingung, die immer erfüllt sein muss, damit ein Ereignis eintritt. Sie garantiert aber nicht das Eintreten des Ereignisses.

Die Aussage A in einer Implikation A → B wird als hinreichende Bedingung für B bezeichnet. Denn wenn A eintritt, tritt auch B ein. Gleichzeitig ist deshalb B eine notwendige Bedingung für A. Das heißt, das Eintreten von B ist „notwendig“, damit A eintritt.

Schauen wir uns das an einem Beispiel an: 

• A: „Es regnet.“
• B: „Ich nehme einen Regenschirm mit.“

In der Implikation A→B („Wenn es regnet, nehme ich einen Regenschirm mit.“) ist das Regnen eine hinreichende Bedingung für das Mitnehmen eines Regenschirms. Das bedeutet, dass Regen ausreicht, um die Entscheidung zu treffen, einen Regenschirm mitzunehmen. Es ist aber nicht die einzige mögliche Ursache dafür, einen Schirm mitzunehmen. Du könntest ihn auch mitnehmen, weil schlechtes Wetter vorhergesagt ist oder einfach aus Gewohnheit. 

Gleichzeitig ist das Mitnehmen eines Regenschirms eine notwendige Bedingung für das Vorhandensein von Regen. Denn den Regenschirm mitzunehmen, ist notwendig, um auf den Regen zu reagieren. Es bedeutet jedoch nicht, dass immer, wenn du einen Schirm mitnimmst, es auch regnen muss. Die Bedingung ist notwendig, aber nicht zwangsläufig ausreichend.

Bikonditional

Das Bikonditional ist auch bekannt als die „genau dann, wenn“-Verknüpfung. Es wird durch das Symbol ↔ dargestellt und verknüpft zwei Aussagen A und B so: A ↔ B (gesprochen „A genau dann, wenn B“).

Weitere Ausdrücke für das Bikonditional sind: 

• „A ist äquivalent zu B.“
• „A ist dann und nur dann der Fall, wenn B der Fall ist.“
• „Wenn A, dann B und umgekehrt.“

➡️ Beispiel:

• A: „Ich gehe ins Kino.“
• B: „Es läuft ein Film, den ich sehen möchte.“
• (A ↔ B): „Ich gehe ins Kino genau dann, wenn ein Film läuft, den ich sehen möchte.“

Wahrheitstafel Bikonditional

Das Bikonditional ist genau dann wahr, wenn ihre beiden Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A und B müssen also entweder beide wahr oder beide falsch sein.

Die Wahrheitstafel wird mit einem Mengendiagramm so dargestellt:

Das Bikonditional A $\leftrightarrow$ B ist wahr, wenn beide Aussagen A und B entweder wahr oder falsch sind.

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Übrigens: Das Bikondotional wird häufig auch als Bijunktion oder Äquivalenz bezeichnet.

Kontravalenz

Die Kontravalenz wird in der Aussagenlogik als A ⊕ B (gesprochen „A kontravalent zu B“) dargestellt. Sie ist das direkte Gegenteil zum Bikonditional. 

➡️ Beispiel:

• A: “Ich gehe ins Kino.“
• B: „Ich bleibe zu Hause.“
• (A ⊕ B): „Entweder ich gehe ins Kino, oder ich bleibe zu Hause.“

Wahrheitstafel Kontravalenz

Während das Bikonditional (A ↔ B) wahr ist, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben, ist die Kontravalenz (A ⊕ B) genau dann wahr, wenn A und B unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

Somit entspricht auch das Mengendiagramm der Kontravalenz der Negation des Bikonditionals.

Die Kontravalenz A ⊕ B ist wahr, wenn nur eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.

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Übrigens: Ein weiteres Symbol, das häufig für die Kontravalenz genutzt wird, ist ⊻.

Unterschied Kontravalenz & Disjunktion 

Da die Kontravalenz auch „Entweder A oder B“ gesprochen wird, ist sie leicht mit der Disjunktion „oder“ zu verwechseln. Aber auch hier besteht der Unterschied in den unterschiedlichen Wahrheitswerten:

Denn die Disjunktion ist wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr sind. Die Kontravalenz hingegen ist nur wahr, wenn genau eine der beiden Aussagen wahr ist. Sie bezeichnest du dadurch als „ausschließendes Oder“. Wenn beide Aussagen also wahr sind, ist die Kontravalenz im Gegensatz zur Disjunktion falsch.

Formationsregeln

Die Formationsregeln bestimmen, wie du aus den Aussagenvariablen, logischen Operatoren und Hilfssymbolen gültige Formeln bildest. Die Formationsregeln sind wesentlich für das Verständnis und die korrekte Anwendung der Aussagenlogik. Sie ermöglichen es, komplexe logische Aussagen systematisch aufzustellen und zu überprüfen.

Hier sind die grundlegenden Regeln: 

1. Elementare Formeln: Jede Aussagenvariable ist für sich eine gültige Formel.
2. Negation: Wenn A eine gültige Formel ist, dann ist auch ¬A eine gültige Formel.
3. Verknüpfungen: Wenn A und B gültige Formeln sind, dann sind auch A∧B, A∨B, A→B und A↔B gültige Formeln.
4. Anwendung: Ein Ausdruck ist nur dann eine gültige Formel, wenn er gemäß den Regeln 1 bis 3 gebildet wird.

Beispiele für die Anwendung der Formationsregeln:

• Regel 1: B ist eine gültige Formel
• Regel 2: ¬B ist eine gültige Formel
• Regel 3: B ∧ A ist eine gültige Formel

• Regel 4: (A∧B) ∨ (¬C) ist eine gültige Formel, vorausgesetzt A, B und C sind gültige Formeln.

Syntaxbaum

Eine aussagenlogische Formel kann manchmal sehr kompliziert aussehen. Hier kann dir der Syntaxbaum helfen: Er stellt die Reihenfolge der Operationen in komplexen Formeln dar. Dabei verdeutlicht der Syntaxbaum, wie die verschiedenen Bestandteile einer komplexen Aussage hierarchisch angeordnet sind. 

Ein Syntaxbaum beginnt mit einem Wurzelknoten, der die gesamte Formel repräsentiert. Von diesem Wurzelknoten gehen Äste aus, die zu weiteren Knoten führen. Jeder Knoten im Baum entspricht einem weiteren Operator. Die Blätter des Baumes (die Knoten ohne abgehende Äste) sind die einfachsten Elemente der Formel. Sie sind meist Aussagenvariablen oder negierte Aussagenvariablen.

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Betrachten wir zum Beispiel die Formel (P ∧ Q) → R. Der Wurzelknoten der Formel ist der Implikationsoperator (→). Der davon ausgehende linke Ast führt zum nächsten Knoten — dem Konjunktionsoperator (∧). An dessen Blättern sind die Aussagenvariablen P und Q. Der rechte Ast hingegen führt direkt zu einem Blatt, nämlich der Aussagenvariable R.

Bindungsregeln

Die Bindungsregeln zeigen, welche logischen Operatoren stärker binden. Das hilft dir dabei, Aussagenverbindungen zu interpretieren, wenn ihre Reihenfolge nicht durch Klammern vorgegeben ist. Denn der am stärksten bindende Operator in einer Aussage wird zuerst interpretiert. Das ist ähnlich wie in der Mathematik, wo zum Beispiel „Punkt- vor Strichrechnung“ gilt. 

Bindungsregeln:

1. Negation (¬) bindet stärker als Konjunktion (∧)
2. Konjunktion (∧) bindet stärker als Disjunktion (∨)
3. Disjunktion (∨) bindet stärker als Implikation (→)
4. Implikation (→) bindet stärker als Bijunktion (↔)

Schauen wir uns zum Beispiel die Formel ¬P ∧ Q ∨ R an. Die Bindungsregeln beeinflussen nun, wie du die Formel ohne Klammern interpretierst.

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Da die Negation am stärksten bindet, wird sie zuerst angewendet. Danach folgt die Konjunktion und zum Schluss die Disjunktion. Die Formel wird also gemäß der Bindungsregeln wie folgt gelesen: (((¬P) ∧ Q)∨ R).

Wichtig: Die Klammern dienen hier nur zur Verdeutlichung, in welcher Reihenfolge die Operatoren durchzuführen sind. Um die Negation machst du in der Regel keine Klammern, da sie die stärkste Bindung hat und immer als Erstes durchgeführt wird. Die üblich verwendete Schreibweise wäre also: (¬P ∧ Q) ∨ R.

Logische Gesetze 

Logische Gesetze dienen in der Aussagenlogik dazu, Aussagen zu vereinfachen. Sie ermöglichen es dir, Aussagenverbindungen logisch gleichwertig zu schreiben, ohne dass sich ihr Wahrheitswert ändert. Außerdem kannst du mithilfe der logischen Gesetze die Wahrheitswerte von Aussagen bestimmen, ohne sie explizit berechnen zu müssen.

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• Doppelte Negation:
  Das Gesetz der doppelten Negation besagt, dass eine doppelt verneinte Aussage die Verneinung aufhebt. Dadurch ist sie gleichbedeutend mit der Aussage. Zum Beispiel bedeutet „Es regnet“ dasselbe wie „Es ist nicht wahr, dass es nicht regnet.“
  Formel: P ↔ ¬¬P
   
• Kommutativgesetz:
  Das Kommutativgesetzes bedeutet, dass die Reihenfolge der Argumente bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die Bedeutung der Aussage nicht ändert. So ist die Aussage „Es regnet oder es schneit“ genau so wahr wie die Aussage „Es schneit oder es regnet“.
  Formel: P ∧ Q = Q ∧ P oder P ∨ Q = Q ∨ P
   
• Assoziativgesetz:
  Das Assoziativgesetz der Aussagenlogik besagt, dass die Reihenfolge, in der Aussagen verknüpft werden, die Wahrheitswerte dieser Aussagenverbindung nicht verändert. Assoziativ sind neben Konjunktion und Disjunktion auch die Subjunktion und Kotravalenz. Die Implikation ist hingegen nicht assoziativ.
  Formel: (P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R) oder (P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R) 
   
• Distributivgesetz:
  Auch das Distributivgesetz in der Aussagenlogik funktioniert wie das in der Mathematik. Hier kannst du nämlich die Klammer auflösen. Aber Achtung: Das gilt nur für Operationen über Konjunktion und Disjunktion! Zum Beispiel ist „Es regnet und (es ist neblig oder windig)“ gleichbedeutend mit „(Es regnet und es ist neblig) oder (es regnet und es ist windig).“
  Formel: P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) oder P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 
   
• De Morgansche Gesetze:
  Das De Morgansche Gesetz sagt aus, dass die Negation einer Konjunktion logisch äquivalent zur Disjunktion der einzelnen Aussagen ist. Das Gleiche gilt auch für den umgekehrten Fall. Beispielsweise bedeutet „Es ist nicht wahr, dass es regnet und die Sonne scheint“ dasselbe wie „Es regnet nicht oder die Sonne scheint nicht“.
  Formel: ¬ (P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q oder ¬ (P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q 
   
• Absorptionsgesetz:
  Das Absorptionsgesetz zeigt, dass eine Aussage jede Konjunktion oder Disjunktion mit sich selbst „absorbiert“. Die Formel P ∨ (P ∧ Q) (bzw. P ∧ (P ∨ Q)) besitzt also dieselben Wahrheitswerte wie die einzelne Aussage P.
  Formel: P ∨ (P ∧ Q) = P oder P ∧ (P ∨ Q) = P
   
• Prinzip der Kontraposition: 
  Das Prinzip der Kontraposition besagt, dass eine Implikation gleichbedeutend mit der Implikation ihrer negierten Aussagen in umgekehrter Reihenfolge ist. Zum Beispiel sagen „Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und „Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht“ dasselbe aus. 
  Formel: P → Q ≡ ¬Q → ¬P

Wahrheitstabellen erstellen

Kannst du den Wahrheitswert einer Aussagenverbindung jedoch nicht mithilfe der Gesetze bestimmen, gibt es eine Möglichkeit, sie zu berechnen. Dabei helfen dir die Wahrheitstabellen.

Darin werden alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte einzelner Aussagen und der gesamten Aussage aufgezeigt. So kannst du genau ermitteln, unter welchen Bedingungen die Gesamtaussage wahr oder falsch ist. Wie du eine Wahrheitstabelle zu einer Aussagenverbindung erstellst, erklären wir dir jetzt Schritt für Schritt!

Schauen wir uns das anhand einer einfachen Aussagenverbindung an:
(P ∧ Q) → R.

1. Aussagenvariablen und ihre Kombinationen
   Zuerst bestimmst du alle Kombinationen der Wahrheitswerte (Wahr und falsch) für P, Q und R. Dafür nutzt du die Formel 2ⁿ, die dir angibt, wie viele Zeilen du für deine Tabelle benötigst. Für drei Aussagen gibt es 2³ Kombinationen — also insgesamt 8. Daraus ergibt sich folgende Tabelle:

   P	Q	R
   w	w	w
   w	w	f
   w	f	w
   w	f	f
   f	w	w
   f	w	f
   f	f	w
   f	f	f

2. Wahrheitswerte der Teilaussage(n)
   Als nächstes bestimmst du die Wahrheitswerte der Teilaussage. Bei der Formel (P ∧ Q) → R ist der Ausdruck P ∧ Q die Teilaussage. Das erkennst du in diesem Fall an der Klammer. Andernfalls würden dir die Bindungsregeln dabei helfen zu entscheiden, welche Wahrheitswerte du zuerst ermittelst. Um nun die Wahrheitswerte zu bestimmen, nutzt du die Wahrheitstabelle der Konjunktion. Demnach ist die Konjunktion nur wahr, wenn beide Aussagen (P und Q) wahr sind. Die Tabelle sieht nun so aus:

   P	Q	R	P ∧ Q
   w	w	w	w
   w	w	f	w
   w	f	w	f
   w	f	f	f
   f	w	w	f
   f	w	f	f
   f	f	w	f
   f	f	f	f

3. Wahrheitswerte der Gesamtaussage
   Im letzten Schritt bestimmst du die Wahrheitswerte der Gesamtaussage (P ∧ Q) → R. Dafür berechnest du die Wahrheitswerte zwischen der Implikation aus der Konjunktion P ∧ Q und der Aussage R. Erinnere dich: Eine Implikation ist nur falsch, wenn die erste Aussage (P ∧ Q) wahr und die zweite Aussage (R) falsch ist. Daraus ergibt sich die finale Wahrheitstabelle der Formel (P ∧ Q) → R:

   P	Q	R	P ∧ Q	(P ∧ Q) → R
   w	w	w	w	w
   w	w	f	w	f
   w	f	w	f	w
   w	f	f	f	w
   f	w	w	f	w
   f	w	f	f	w
   f	f	w	f	w
   f	f	f	f	w

Untersuchung der Wahrheitswerte

Die Hauptaufgabe der Aussagenlogik ist es, die Wahrheitswerte von Aussagenverbindungen zu untersuchen. Dafür benutzt du die Wahrheitstabellen.

Dabei gibt es verschiedene Arten von logischen Beziehungen, die du identifizieren kannst:

• Tautologie: Eine Aussage bzw. Aussagenverbindung ist tautologisch, wenn sie immer wahr ist. ➡️ Beispiel: Die Aussage P ∨ ¬P („Es regnet oder es regnet nicht“) ist eine Tautologie. Sie ist immer wahr, egal ob P wahr oder falsch ist: Denn wenn P wahr ist („Es regnet“) dann ist auch die Verbindung wahr, da der erste Teilsatz erfüllt ist. Ist P falsch („Es regnet nicht“), ist die Verbindung ebenfalls wahr, da der zweite Teilsatz erfüllt ist.
   
• Kontradiktion:
  Das Gegenteil zur Tautologie bildet die Kontradiktion, auch Antilogie genannt. Demnach ist eine Aussage bzw. Aussagenverbindung kontradiktorisch, wenn sie immer falsch ist.

  ➡️ Beispiel: Die Aussage P∧¬P („Es regnet und es regnet nicht“) ist eine Kontradiktion. Sie ist immer falsch, unabhängig vom Wahrheitswert von P. Denn eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
   

• Erfüllbarkeit:
  Eine Aussagenverbindung ist erfüllbar, wenn es mindestens eine Bedingung gibt, unter der die Verbindung wahr ist.

  ➡️ Beispiel: Die Disjunktion P ∨ Q ist erfüllbar, da sie wahr ist, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
   

• Logische Äquivalenz: Zwei Aussagenverbindungen sind logisch äquivalent (≡), wenn sie unter allen möglichen Bedingungen denselben Wahrheitswert haben.
  ➡️ Beispiel: Die Aussagen P → Q und ¬P ∨ Q sind logisch äquivalent. Als Formel schreibst du: P → Q ≡ ¬P ∨ Q. Sie haben unter allen möglichen Wahrheitswertbelegungen denselben Wahrheitswert. Das kannst du auch am Vergleich beider Wahrheitstabellen erkennen:

Logisches Schließen

Logisches Schließen ist ein Prozess, bei dem du aus mehreren Aussagen (Prämissen) eine neue Aussage (Konklusion) ableitest. Die Prämissen werden dabei als wahr vorausgesetzt, weshalb die daraus folgende Konklusion ebenfalls wahr sein muss. Zum Beispiel:

• Prämissen: 
  • „Wenn es regnet, wird die Straße nass.“
  • „Es regnet.“
• Konklusion: „Die Straße wird nass.“

Statt die Aussagen auszuschreiben nutzt du eher die Aussagenvariablen. Daraus ergibt sich dann ein Schlussschema. Für unser Beispiel würdest du schreiben:

• Prämissen: 
  • P → Q
  • P
• Konklusion: ∴ Q

Hierbei repräsentieren P und Q die Aussagen „Es regnet“ und „Die Straße ist nass“. Ein Symbol, das häufig zur Kennzeichnung der Konklusion verwendet wird, ist das „daher“-Zeichen — oftmals dargestellt durch drei Punkte in Dreiecksform ∴.

Gültigkeit 

Ein Schlussschema ist gültig, wenn die Konklusion (K) aus den Prämissen (P₁, P₂,…, P_n) logisch folgt. Dafür muss das Konditional P₁ ∧ P₂ ∧ … ∧ P_n ⇒ K eine Tautologie sein. Das heißt, bei jeder möglichen Kombination der Wahrheitswerte der Prämissen muss die Konklusion wahr sein. Solch eine logische Folge bezeichnest du auch als logische Implikation. 

Die Gültigkeit eines logischen Schlusses überprüfst du beispielsweise durch eine Wahrheitstafel. Für unser Beispiel musst du also beweisen, dass ((P → Q) ∧ P) → Q tautologisch ist. Das beweist folgende Wahrheitstabelle:

Da die Formel ((P → Q) ∧ P) → Q unter allen Bedingungen wahr ist, ist sie eine Tautologie und das Schlussschema ist gültig.

Schlussregeln

Schlussregeln sind die Richtlinien, die bestimmen, wie aus bestimmten Aussagen andere Aussagen logisch abgeleitet werden können. Diese Regeln sind allgemein gültig, was bedeutet, dass ihre Anwendung immer zu gültigen Schlussfolgerungen führt, sofern die Prämissen wahr sind. Deshalb können sie dir ebenfalls dabei helfen zu beweisen, dass ein logischer Schluss gültig ist.

Hier findest du ein paar wichtige Schulssregeln:

Aussagenlogik — häufigste Fragen

• Was ist die Aussagenlogik?
  Die Aussagenlogik ist ein Bereich der Logik, der sich mit der Verknüpfung und Analyse von Aussagen befasst, die wahr oder falsch sein können. Sie ist grundlegend für mathematische Beweisführung und logisches Denken.
   
• Wann ist es eine Aussage?
  Eine Aussage in der Logik ist ein Satz, der einen klaren Wahrheitswert hat, also entweder wahr oder falsch ist. Fragen, Befehle oder Meinungsäußerungen gelten nicht als Aussagen.
   
• Was ist das Aussagenlogik oder?
  „Aussagenlogik oder“, oft als Disjunktion bezeichnet, ist ein logischer Operator, der zwei Aussagen verbindet. Dabei ist die Gesamtaussage wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen wahr ist.

Boolesche Operatoren

Die Operatoren der Aussagenlogik und die Booleschen Operatoren sind eng miteinander verwandt. Welche Begriffe die Boolesche Logik für Konjunktion, Disjunktion und Negation verwendet, erfährst du hier!