Algebra
Gleichungen & Ungleichungen
 – Video

Um Gleichungen zu lösen, musst du sie oft umstellen. Alles rund um das Thema Gleichungen umstellen erfährst du deshalb in diesem Beitrag und in unserem Video .

Gleichungen umstellen einfach erklärt

In Gleichungen tauchen oft Variablen, also Buchstaben auf. Sie stehen für eine bestimmte Zahl. Wenn du eine Gleichung umstellst, willst du herausfinden, welche Zahl hinter der Variable steckt. Setzt du in unserem Beispiel für x die Zahl 5 ein, siehst du, dass die Gleichung aufgeht:

    \begin{align*} 2+\textcolor{red}{x}&=7\\ 2+\textcolor{red}{5}&=7\\ 7&=7 \end{align*}

Wenn die Gleichung schwerer ist, kannst du sie auch rechnerisch nach x auflösen. Du musst die Gleichung umstellen, um den Buchstaben alleine auf eine Seite zu bringen. In unserem Beispiel löst du die Gleichung so nach x auf:

    \begin{align*} 2+\textcolor{red}{x}&=7&&|\; \textcolor{blue}{-2}\\ 2+\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{-2}&=7\textcolor{blue}{-2}\\ \textcolor{red}{x&=5} \end{align*}

Gleichungen umstellen

Löst du eine Gleichung nach x auf, musst du deinen Rechenschritt immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen!

Gleichung auflösen Beispiele

Schauen wir uns nun einige Beispiele an, in denen du Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten nach einer Variable umstellen sollst.

Beispiel 1: 

Stelle folgende Gleichung nach x um.

    \[ \textcolor{red}{x}-4=6\]

Dein Ziel ist es, das x alleine auf eine Seite bringen. Da auf der linken Seite eine Minus-Rechnung ist, kannst du die Gleichung umstellen, indem du eine Plus-Rechnung verwendest. 

Addiere beide Seiten der Gleichung mit 4.

    \begin{align*} \textcolor{red}{x}-4&=6&&|\;\textcolor{blue}{+4}\\ \textcolor{red}{x}-4\textcolor{blue}{+4}&=6\textcolor{blue}{+4}\\ \end{align*}

Auf der linken Seite heben sich -4 und +4 auf, da sie zusammen 0 ergeben. Es bleibt nur noch das x übrig. 

    \begin{align*} \textcolor{red}{x}&=6\textcolor{blue}{+4}\\ \textcolor{red}{x&=10}\\ \end{align*}

Dein Ergebnis ist x=10.

Wenn du den Wert überprüfen willst, dann setze ihn in die ursprüngliche Gleichung x-4=6 ein:

    \begin{align*} \textcolor{red}{x}-4&=6\\ \textcolor{red}{10}-4&=6\\ 6&=6 &\checkmark \end{align*}

Die Gleichung geht auf, also ist dein Ergebnis x=10 richtig!

Beispiel 2:

Stelle die Gleichung nach x um.

    \[ 3+\textcolor{red}{x}=8\]

Auch hier willst du das x alleine auf einer Seite haben. Da wir hier die Addition 3+x haben, müssen wir eine Subtraktion verwenden, um die Gleichung zu lösen. Du rechnest also auf beiden Seiten -3.

    \begin{align*} 3+\textcolor{red}{x}&=8&&|\;\textcolor{blue}{-3}\\ 3+\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{-3}&=8\textcolor{blue}{-3}\\ \end{align*}

Auf der linken Seite wird 3-3 zu 0. Es bleibt:

    \begin{align*} \textcolor{red}{x}&=8\textcolor{blue}{-3}\\ \textcolor{red}{x}&=5\\ \end{align*}

Dein Ergebnis ist x=5.

Du kannst es wieder überprüfen. Setze dafür x=5 in die ursprüngliche Gleichung 3+x=8 ein.

    \begin{align*} 3+\textcolor{red}{5}&=8\\ 8&=8 &\checkmark \end{align*}

Dein Ergebnis x=5 ist richtig!

Beispiel 3:

Löse die Gleichung nach x auf.

    \[ \frac{\textcolor{red}{x}}{4}=16\]

Auf der linken Seite ist die Grundrechenart eine Geteilt-Rechnung. Um deine Gleichung also nach x aufzulösen, musst du eine Mal-Rechnung verwenden. 

Nimm beide Seiten mit dem Nenner des Bruches mal, also mal 4.

    \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{x}}{4}&=16&&|\; \textcolor{blue}{\cdot4}\\ \frac{\textcolor{red}{x}}{4}\textcolor{blue}{\cdot 4}&=16\textcolor{blue}{\cdot4} \end{align*}

Auf der linken Seite kannst du die Vierer kürzen. Wenn du noch Probleme beim Kürzen hast, schau dir doch unser Video Brüche kürzen an. %Verlinkung Kürzen <span style="color: #0000ff;">DONE</span>

    \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{\cdot \cancel{4}}}{\cancel{4}}&=64\\ \textcolor{red}{x}&=64 \end{align*}

Dein Ergebnis ist x=64.

Prüfe es durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung:

    \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{x}}{4}&=16\\ \frac{\textcolor{red}{64}}{4}&=16\\ 16&=16&\checkmark \end{align*}

Dein Ergebnis x=64 ist richtig!

Beispiel 4:

Löse die Gleichung nach x auf.

    \[ 3\textcolor{red}{x}=12\]

Zwischen der 3 und dem x steht ein Mal-Zeichen, auch wenn es nicht immer hingeschrieben wird. Die Grundrechenart ist hier also eine Multiplikation. Um so eine Gleichung nach x aufzulösen, musst du eine Division verwenden.

Teile beide Seiten der Gleichung durch 3, damit das x alleine steht

    \begin{align*} 3\cdot \textcolor{red}{x}&=12&&|\;\textcolor{blue}{:3}\\ \frac{3\cdot\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{3}}&=\frac{12}{\textcolor{blue}{3}}\\ \end{align*}

Auf der linken Seite kannst du die Drei kürzen. Rechts kannst du wie gewohnt teilen.

    \begin{align*} \frac{\cancel{3}\cdot \textcolor{red}{x}}{\cancel{\textcolor{blue}{3}}}&=\frac{12}{\textcolor{blue}{3}}\\ \textcolor{red}{x}&=4 \end{align*}

Dein Ergebnis ist x=4.

Prüfe es durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung 3x=12 .

    \begin{align*} 3\cdot \textcolor{red}{x}&=12\\ 3 \cdot \textcolor{red}{4}&=12\\ 12&=12 &\checkmark \end{align*}

Die Gleichung geht auf, also ist dein Ergebnis x=4 richtig!

Beispiel 5:

Als Letztes schauen wir uns folgende Gleichung an. Stelle sie nach y um:

    \[2\cdot(\textcolor{red}{y}+4)=10\]

Lass dich durch das y nicht verwirren. Eine Variable kann immer ein beliebiger Buchstabe sein. Stelle die Gleichung einfach genauso um, wie bei den Aufgaben davor.

Um die Gleichung 2·(y+4)=10 umzustellen, musst du zuerst die Klammern auflösen . Beachte hier die Regel Punkt vor Strich .

Die Klammer löst du auf, indem du die 2 erst mit dem y und dann mit der 4 multiplizierst.

    \begin{align*} 2\cdot (\textcolor{red}{y}+4)&=10\\ 2\cdot \textcolor{red}{y}+2\cdot4&=10\\ 2\textcolor{red}{y}+8&=10 \end{align*}

Jetzt hast du noch eine Addition und eine Multiplikation in deiner Gleichung übrig. Du musst zuerst die Addition entfernen. Dazu musst du die 8 auf beiden Seiten subtrahieren.

    \begin{align*} 2\textcolor{red}{y}+8&=10&&|\;\textcolor{blue}{-8}\\ 2\textcolor{red}{y}+8\textcolor{blue}{-8}&=10\textcolor{blue}{-8}\\ 2\textcolor{red}{y}&=2 \end{align*}

Jetzt kannst du dich um die Mal-Rechnung auf der linken Seite kümmern. Um das y von der zwei zu trennen, musst du durch 2 teilen.

    \begin{align*} 2\textcolor{red}{y}&=2&&|\;\textcolor{blue}{:2}\\ \frac{2\cdot \textcolor{red}{y}}{\textcolor{blue}{2}}&=\frac{2}{\textcolor{blue}{2}}\\ \frac{\cancel{2}\cdot \textcolor{red}{y}}{\cancel{\textcolor{blue}{2}}}&=1\\ \textcolor{red}{y}&=1 \end{align*}

Dein Ergebnis ist x=1.

Prüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die Gleichung 2·(y+4)=10.

    \begin{align*} 2\cdot (\textcolor{red}{y}+4)&=10\\ 2\cdot (\textcolor{red}{1}+4)&=10\\ 2\cdot5&=10\\ 10&=10&\checkmark \end{align*}

Dein Ergebnis y=1 ist richtig!

Gleichungen umstellen Aufgaben

1. Aufgabe:

Stelle die Gleichung nach x um.

    \[\frac{1}{12}\textcolor{red}{x}-5&=3\]

Lösung:

Um die Gleichung umzustellen, rechnest du erstmal auf beiden Seiten plus 5:

    \begin{align*} \frac{1}{12}\textcolor{red}{x}-5&=3&&|\;\textcolor{blue}{+5}\\ \frac{1}{12}\textcolor{red}{x}-5\textcolor{blue}{+5}&=3\textcolor{blue}{+5}\\ \frac{1}{12}\textcolor{red}{x}&=8 \end{align*}

Jetzt hast du die Minus-Rechnung entfernt und kannst weiter nach dem x auflösen. Rechne also auf beiden Seiten mal 12, damit das x auf der linken Seite alleine steht:

    \begin{align*} \frac{1}{12}\textcolor{red}{x}&=8&&|\;\textcolor{blue}{\cdot12}\\ \frac{1}{12}\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{\cdot12}&=8 \textcolor{blue}{\cdot12}\\ \textcolor{red}{x}&=96 \end{align*}

Dein Ergebnis ist x=96.

2. Aufgabe:

Stelle die Gleichung nach x um.

    \[3(4\textcolor{red}{x}+4)=4(3-4\textcolor{red}{x})\]

Lösung:

Um die Gleichung nach x umzustellen, musst du als erstes die Klammern auflösen:

    \begin{align*} 3(4\textcolor{red}{x}+4)&=4(3-4\textcolor{red}{x})\\ 3 \cdot4\textcolor{red}{x}+3\cdot4&=4\cdot3-4\cdot4\textcolor{red}{x}\\ 12\textcolor{red}{x}+12&=12-16\textcolor{red}{x} \end{align*}

Jetzt kannst du das x komplett auf die linke Seite bringen:

    \begin{align*} 12\textcolor{red}{x}+12&=12-16\textcolor{red}{x}&&|\;+16\textcolor{red}{x}\\ 28\textcolor{red}{x}+12&=12 \end{align*}

Als nächstes kannst du auf beiden Seiten minus 12 rechnen, um die Addition auf der linken Seite zu entfernen:

    \begin{align*} 28\textcolor{red}{x}+12&=12&&|\;\textcolor{blue}{-12}\\ 28\textcolor{red}{x}+12\textcolor{blue}{-12}&=12\textcolor{blue}{-12}\\ \end{align*}

Um die Gleichung nun nach dem x aufzulösen, ist dein letzter Schritt durch 28 zu teilen:

    \begin{align*} 28\textcolor{red}{x}&=0&&|\;\textcolor{blue}{:28}\\ \textcolor{red}{x}&=0 \end{align*}

Weil 0 geteilt durch eine Zahl immer 0 ergibt, ist dein Ergebnis x=0.

3. Aufgabe:

Stelle die Gleichung nach a um.

    \[ \textcolor{red}{a}+4=9\textcolor{red}{a}-(5-\textcolor{red}{a})\]

Lösung:

    \begin{align*} \textcolor{red}{a}+4&=9\textcolor{red}{a}-(5-\textcolor{red}{a})\\ \textcolor{red}{a}+4&=9\textcolor{red}{a}-5+\textcolor{red}{a}&&|\;-\textcolor{red}{a}\\ \textcolor{red}{a}+4-\textcolor{red}{a}&=9\textcolor{red}{a}-5+\textcolor{red}{a}-\textcolor{red}{a}\\ 4&=9\textcolor{red}{a}-5&&|\;\textcolor{blue}{+5}\\ 4\textcolor{blue}{+5}&=9\textcolor{red}{a}-5\textcolor{blue}{+5}\\ 9&=9\textcolor{red}{a}&&|\;\textcolor{blue}{:9}\\ 1&=\textcolor{red}{a}\\ \textcolor{red}{a}&=1 \end{align*}

Dein Ergebnis ist a=1.

Formeln umstellen

Klasse, Gleichungen nach x auflösen kannst du jetzt. Auch Formeln aus der Physik, wie F=m·a,  müssen oft nach einer bestimmten Variable umgestellt werden, bevor du sie verwenden kannst. In unserem Video Formeln umstellen zeigen wir dir, wie das geht!

Zum Video: Formel umstellen
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