Lineare Algebra

Komplex konjugiert

Komplexe Zahlen können komplex konjugiert werden. Wie das funktioniert erfährst du in diesem Beitrag. In unserem Video zur komplexen Konjugation zeigen wir es dir mit tollen Animationen. Schau es dir an!

Inhaltsübersicht

Komplex konjugiert einfach erklärt  

Wenn du eine komplexe Zahl

z = x + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}

gegeben hast, dann bekommst du die zu z komplex konjugierte Zahl \overline{z}, indem du das Vorzeichen des Imaginärteils herumdrehst

\overline{z} = x + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-y}) = x \ \textcolor{red}{-} \ \text{i} \cdot y.

Unter anderem kannst du mit Hilfe der komplexen Konjugation den Betrag  \lvert z \rvert einer komplexen Zahl berechnen.

\lvert z \rvert^2 = z \cdot \overline{z}

Hinweis: Wenn du eine komplexe Zahl zweimal komplex konjugierst, ändert sich nichts. Das heißt \overline{\overline{z}} = z.

Komplex konjugiert Beispiele  

In diesem Abschnitt schauen wir uns Beispiele zu typischen Aufgaben an. Beispiele zum Berechnen des Betrags einer komplexen Zahl findest du hier .

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Beispiel 1: Komplexe Konjugation

Du hast folgende komplexe Zahl gegeben

z = 12 + \text{i} \cdot \textcolor{red}{9}.

Der Imaginärteil ist hier \textcolor{red}{+9}. Wenn du das Vorzeichen davon vertauschst, erhältst du die zu z komplex konjugierte Zahl

\overline{z} = 12 + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-9}) = 12 \ \textcolor{red}{-} \ \text{i} \cdot 9.

Beispiel 2: komplex konjugiert

Du könntest auch eine komplexe Zahl gegeben haben, wo der Imaginärteil negativ ist. Zum Beispiel

z = 5 + \text{i} \cdot  (\textcolor{red}{-1}) = 5 - \text{i} \cdot \textcolor{red}{1}.

Hier ist der Imaginärteil \textcolor{red}{-1}. Für die komplexe Konjugation von z machst du aus dem Minuszeichen ein Pluszeichen

\overline{z} = 5 + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{+} 1) = 5 + \text{i} \cdot \textcolor{red}{1}

Komplex konjugiert Polarkoordinaten  

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit von komplexen Zahlen sind Polarkoordinaten

z = \textcolor{orange}{r}(\cos(\textcolor{violet}{\theta}) + \text{i} \cdot \sin(\textcolor{violet}{\theta})) = \textcolor{orange}{r} \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{violet}{\theta}}.

Hier kannst du die zu z komplex konjugierte Zahl \overline{z} ähnlich berechnen wie bei den kartesischen Koordinaten. Der Unterschied liegt nur darin, dass du das Vorzeichen des Winkels \textcolor{violet}{\theta}} änderst. Das heißt du bekommst

\overline{z} = r(\cos(\textcolor{red}{-}\theta) + \text{i} \cdot \sin(\textcolor{red}{-}\theta))

= r(\cos(\theta) + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-}\sin(\theta))) = r(\cos(\theta) \textcolor{red}{ \ - \ } \text{i} \cdot \sin(\theta))

für die Darstellung mit Sinus und Cosinus und

\overline{z} = r \text{e}^{\text{i} \cdot (\textcolor{red}{-} \theta)} = r \text{e}^{\textcolor{red}{-} \text{i} \cdot \theta}

für die Darstellung mit der e-Funktion .

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Komplexe Zahl: Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten.

Komplex konjugiert: grafisch  

Grafisch kannst du dir die komplexe Konjugation folgendermaßen vorstellen: Du nimmst den Punkt (\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}), der die komplexe Zahl z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y} in der komplexen Ebene darstellt, und spiegelst diesen entlang der x-Achse.

Es ändert sich nur die y-Koordinate. Der Punkt (\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}) wird dadurch zum Punkt (\textcolor{blue}{x}, \textcolor{orange}{-y}).

Auf ähnliche Weise kannst du dir die Situation in Polarkoordinaten vorstellen. Der Abstand r vom Ursprung bleibt unverändert. Der Winkel \textcolor{violet}{\theta} wird durch die komplexe Konjugation zum Winkel \textcolor{brown}{-\theta}.

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Komplex konjugiert: grafische Darstellung.

Komplex konjugiert und Betrag  

Die komplex konjugierte Zahl hilft dir unter anderem dabei, den Betrag einer komplexen Zahl zu berechnen. Wie das genau funktioniert, erklären wir dir in unserem Video dazu. 

Zum Video: Betrag komplexe Zahl
Zum Video: Betrag komplexe Zahl
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