Komplexe Zahlen können komplex konjugiert werden. Wie das funktioniert erfährst du in diesem Beitrag. In unserem Video zur komplexen Konjugation zeigen wir es dir mit tollen Animationen. Schau es dir an!
Wenn du eine komplexe Zahl
gegeben hast, dann bekommst du die zu komplex konjugierte Zahl
, indem du das Vorzeichen des Imaginärteils herumdrehst
.
Unter anderem kannst du mit Hilfe der komplexen Konjugation den Betrag
einer komplexen Zahl berechnen.
Hinweis: Wenn du eine komplexe Zahl zweimal komplex konjugierst, ändert sich nichts. Das heißt .
In diesem Abschnitt schauen wir uns Beispiele zu typischen Aufgaben an. Beispiele zum Berechnen des Betrags einer komplexen Zahl findest du hier .
Du hast folgende komplexe Zahl gegeben
.
Der Imaginärteil ist hier . Wenn du das Vorzeichen davon vertauschst, erhältst du die zu
komplex konjugierte Zahl
.
Du könntest auch eine komplexe Zahl gegeben haben, wo der Imaginärteil negativ ist. Zum Beispiel
.
Hier ist der Imaginärteil . Für die komplexe Konjugation von
machst du aus dem Minuszeichen ein Pluszeichen
.
Eine weitere Darstellungsmöglichkeit von komplexen Zahlen sind Polarkoordinaten
.
Hier kannst du die zu komplex konjugierte Zahl
ähnlich berechnen wie bei den kartesischen Koordinaten. Der Unterschied liegt nur darin, dass du das Vorzeichen des Winkels
änderst. Das heißt du bekommst
für die Darstellung mit Sinus und Cosinus und
für die Darstellung mit der e-Funktion .
Grafisch kannst du dir die komplexe Konjugation folgendermaßen vorstellen: Du nimmst den Punkt , der die komplexe Zahl
in der komplexen Ebene darstellt, und spiegelst diesen entlang der
-Achse.
Es ändert sich nur die -Koordinate. Der Punkt
wird dadurch zum Punkt
.
Auf ähnliche Weise kannst du dir die Situation in Polarkoordinaten vorstellen. Der Abstand vom Ursprung bleibt unverändert. Der Winkel
wird durch die komplexe Konjugation zum Winkel
.
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