Komplex konjugiert

Komplex konjugiert einfach erklärt  

Wenn du eine komplexe Zahl

gegeben hast, dann bekommst du die zu komplex konjugierte Zahl , indem du das Vorzeichen des Imaginärteils herumdrehst

.

Unter anderem kannst du mit Hilfe der komplexen Konjugation den Betrag   einer komplexen Zahl berechnen.

Hinweis: Wenn du eine komplexe Zahl zweimal komplex konjugierst, ändert sich nichts. Das heißt .

Komplex konjugiert Beispiele  

In diesem Abschnitt schauen wir uns Beispiele zu typischen Aufgaben an. Beispiele zum Berechnen des Betrags einer komplexen Zahl findest du hier .

Beispiel 1: Komplexe Konjugation

Du hast folgende komplexe Zahl gegeben

.

Der Imaginärteil ist hier . Wenn du das Vorzeichen davon vertauschst, erhältst du die zu komplex konjugierte Zahl

.

Beispiel 2: komplex konjugiert

Du könntest auch eine komplexe Zahl gegeben haben, wo der Imaginärteil negativ ist. Zum Beispiel

.

Hier ist der Imaginärteil . Für die komplexe Konjugation von machst du aus dem Minuszeichen ein Pluszeichen

. 

Komplex konjugiert Polarkoordinaten  

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit von komplexen Zahlen sind Polarkoordinaten

.

Hier kannst du die zu komplex konjugierte Zahl ähnlich berechnen wie bei den kartesischen Koordinaten. Der Unterschied liegt nur darin, dass du das Vorzeichen des Winkels änderst. Das heißt du bekommst

für die Darstellung mit Sinus und Cosinus und

für die Darstellung mit der e-Funktion .

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Komplex konjugiert: grafisch  

Grafisch kannst du dir die komplexe Konjugation folgendermaßen vorstellen: Du nimmst den Punkt , der die komplexe Zahl in der komplexen Ebene darstellt, und spiegelst diesen entlang der -Achse.

Es ändert sich nur die -Koordinate. Der Punkt wird dadurch zum Punkt .

Auf ähnliche Weise kannst du dir die Situation in Polarkoordinaten vorstellen. Der Abstand vom Ursprung bleibt unverändert. Der Winkel wird durch die komplexe Konjugation zum Winkel .

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Komplex konjugiert und Betrag  

Die komplex konjugierte Zahl hilft dir unter anderem dabei, den Betrag einer komplexen Zahl zu berechnen. Wie das genau funktioniert, erklären wir dir in unserem Video dazu.