Komplex konjugiert
Komplexe Zahlen können komplex konjugiert werden. Wie das funktioniert erfährst du in diesem Beitrag. In unserem Video zur komplexen Konjugation zeigen wir es dir mit tollen Animationen. Schau es dir an!
Komplex konjugiert einfach erklärt
Wenn du eine komplexe Zahl
gegeben hast, dann bekommst du die zu 
komplex konjugierte Zahl 
, indem du das Vorzeichen des Imaginärteils herumdrehst
.
Unter anderem kannst du mit Hilfe der komplexen Konjugation den Betrag
einer komplexen Zahl berechnen.
Hinweis: Wenn du eine komplexe Zahl zweimal komplex konjugierst, ändert sich nichts. Das heißt 
.
Komplex konjugiert Beispiele
In diesem Abschnitt schauen wir uns Beispiele zu typischen Aufgaben an. Beispiele zum Berechnen des Betrags einer komplexen Zahl findest du hier .
Beispiel 1: Komplexe Konjugation
Du hast folgende komplexe Zahl gegeben
.
Der Imaginärteil ist hier 
. Wenn du das Vorzeichen davon vertauschst, erhältst du die zu komplex konjugierte Zahl
.
Beispiel 2: komplex konjugiert
Du könntest auch eine komplexe Zahl gegeben haben, wo der Imaginärteil negativ ist. Zum Beispiel
.
Hier ist der Imaginärteil 
. Für die komplexe Konjugation von machst du aus dem Minuszeichen ein Pluszeichen
.
Komplex konjugiert Polarkoordinaten
Eine weitere Darstellungsmöglichkeit von komplexen Zahlen sind Polarkoordinaten
.
Hier kannst du die zu komplex konjugierte Zahl ähnlich berechnen wie bei den kartesischen Koordinaten. Der Unterschied liegt nur darin, dass du das Vorzeichen des Winkels 
änderst. Das heißt du bekommst
für die Darstellung mit Sinus und Cosinus und
für die Darstellung mit der e-Funktion .
Komplex konjugiert: grafisch
Grafisch kannst du dir die komplexe Konjugation folgendermaßen vorstellen: Du nimmst den Punkt 
, der die komplexe Zahl 
in der komplexen Ebene darstellt, und spiegelst diesen entlang der 
-Achse.
Es ändert sich nur die 
-Koordinate. Der Punkt wird dadurch zum Punkt 
.
Auf ähnliche Weise kannst du dir die Situation in Polarkoordinaten vorstellen. Der Abstand 
vom Ursprung bleibt unverändert. Der Winkel 
wird durch die komplexe Konjugation zum Winkel 
.
Komplex konjugiert und Betrag
Die komplex konjugierte Zahl hilft dir unter anderem dabei, den Betrag einer komplexen Zahl zu berechnen. Wie das genau funktioniert, erklären wir dir in unserem Video dazu.
