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Betrag komplexe Zahl

Wichtige Inhalte in diesem Video

Betrag einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten

In diesem Beitrag lernst du, wie du den Betrag einer komplexen Zahl berechnen kannst. In unserem Video dazu, zeigen wir es dir Schritt für Schritt.

Inhaltsübersicht

Betrag komplexe Zahl einfach erklärt

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(00:11)

Unter dem Betrag einer komplexen Zahl kannst du dir den Abstand zum Ursprung vorstellen. Du findest für den Betrag die Schreibweise $\lvert z \rvert$ . Hast du die komplexe Zahl $z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}$ gegeben, dann berechnest du ihren Betrag mit

$\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2}$ .

Ein Beispiel dafür ist

$z = \textcolor{blue}{5} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{4}$

$\Longrightarrow \textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{41} \approx 6,40$ .

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Betrag komplexe Zahl berechnen

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(01:07)

In diesem Abschnitt schauen wir uns zwei Beispiele an. Dort zeigen wir dir, wie du den Betrag einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten oder Polarkoordinaten berechnen kannst.

Betrag einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten

In kartesischen Koordinaten stellst du mit Hilfe ihrer $\textcolor{blue}{x}$ -Koordinate und $\textcolor{red}{y}$ -Koordinate dar $z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}$ .

Nehmen wir als Beispiel

$z = \textcolor{blue}{2} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{7}$ ,

deren repräsentativer Punkt in der Ebene der Punkt $(\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{7})$ ist. Dann lautet der Betrag

$\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{7}^2} = \sqrt{53} \approx 7,28$ .

Den Abstand zum Koordinatenursprung kannst du mit Hilfe vom Satz des Pythagoras berechnen. Das heißt, du bildest mit den Längen $\textcolor{blue}{x}$ und $\textcolor{red}{y}$ sowie dem Punkt $(\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y})$ ein rechtwinkliges Dreieck.

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Wenn du dir also komplexe Zahlen wie z, w oder als Punkte in einer Ebene vorstellst, dann entspricht deren Betrag geometrisch der Länge der Verbindungslinie vom Ursprung zum entsprechenden Punkt.

Betrag einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten

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(02:01)

Du kannst auch in Polarkoordinaten darstellen. Hierzu verwendest du den Abstand $\textcolor{orange}{r}$ vom Ursprung und den Winkel $\textcolor{blue}{\theta}$ .

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Du kannst dann folgendermaßen schreiben

$z = \textcolor{orange}{r} \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{blue}{\theta}}$ .

Der Buchstabe $\text{e}$ steht hier für die e-Funktion . Der Betrag von ist dann

$\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \textcolor{orange}{r}$ .

Das heißt, du kannst den Betrag direkt ablesen, denn das ist gerade der Abstand vom Ursprung und genau das ist die Bedeutung von $\lvert z \rvert$ .

Beispiel

Wenn wir

$z = \textcolor{orange}{2} \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\pi}{3}}}$

gegeben haben, dann lautet der Betrag

$\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = 2$ .

Mehr über komplexe Zahlen

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Natürlich kannst du auch über den Betrag hinaus mit komplexen Zahlen rechnen. In unserem Video erklären wir dir, wie das geht. Schau es dir gleich an!