Algebra
Komplexe Zahlen
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In diesem Beitrag lernst du, wie du den Betrag einer komplexen Zahl berechnen kannst. In unserem Video  dazu, zeigen wir es dir Schritt für Schritt.

Betrag komplexe Zahl einfach erklärt

Unter dem Betrag einer komplexen Zahl z kannst du dir den Abstand zum Ursprung vorstellen. Du findest für den Betrag die Schreibweise \lvert z \rvert. Hast du die komplexe Zahl z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y} gegeben, dann berechnest du ihren Betrag mit

\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2}.

Ein Beispiel dafür ist

z = \textcolor{blue}{5} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{4}

\Longrightarrow \textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{41} \approx 6,40.

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Betrag einer komplexen Zahl

Betrag komplexe Zahl berechnen  

In diesem Abschnitt schauen wir uns zwei Beispiele an. Dort zeigen wir dir, wie du den Betrag einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten oder Polarkoordinaten berechnen kannst.

Betrag einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten

In kartesischen Koordinaten stellst du z mit Hilfe ihrer \textcolor{blue}{x}-Koordinate und \textcolor{red}{y}-Koordinate dar z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}.

Nehmen wir als Beispiel

z = \textcolor{blue}{2} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{7},

deren repräsentativer Punkt in der Ebene der Punkt (\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{7}) ist. Dann lautet der Betrag

\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{7}^2} = \sqrt{53} \approx 7,28.

Den Abstand zum Koordinatenursprung kannst du mit Hilfe vom Satz des Pythagoras berechnen. Das heißt, du bildest mit den Längen \textcolor{blue}{x} und \textcolor{red}{y} sowie dem Punkt (\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}) ein rechtwinkliges Dreieck.

 

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Betrag komplexe Zahl

Wenn du dir also komplexe Zahlen wie z, w oder u als Punkte in einer Ebene vorstellst, dann entspricht deren Betrag geometrisch der Länge der Verbindungslinie vom Ursprung zum entsprechenden Punkt.

Betrag einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten  

Du kannst z auch in Polarkoordinaten darstellen. Hierzu verwendest du den Abstand \textcolor{orange}{r} vom Ursprung und den Winkel \textcolor{blue}{\theta}.

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Betrag komplexe Zahl: Beispiel in Polarkoordinaten.

Du kannst z dann folgendermaßen schreiben

z = \textcolor{orange}{r} \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{blue}{\theta}}.

Der Buchstabe \text{e} steht hier für die e-Funktion . Der Betrag von z ist dann

\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \textcolor{orange}{r}.

Das heißt, du kannst den Betrag direkt ablesen, denn das r ist gerade der Abstand vom Ursprung und genau das ist die Bedeutung von \lvert z \rvert.

Beispiel

Wenn wir 

z = \textcolor{orange}{2} \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\pi}{3}}}

gegeben haben, dann lautet der Betrag

\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = 2.

Mehr über komplexe Zahlen  

Natürlich kannst du auch über den Betrag hinaus mit komplexen Zahlen rechnen. In unserem Video erklären wir dir, wie das geht. Schau es dir gleich an!

Zum Video: Komplexe Zahlen
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