In diesem Beitrag lernst du, wie du den Betrag einer komplexen Zahl berechnen kannst. In unserem Video dazu, zeigen wir es dir Schritt für Schritt.
Betrag komplexe Zahl einfach erklärt
Unter dem Betrag einer komplexen Zahl kannst du dir den Abstand zum Ursprung vorstellen. Du findest für den Betrag die Schreibweise
. Hast du die komplexe Zahl
gegeben, dann berechnest du ihren Betrag mit
.
Ein Beispiel dafür ist
.
Betrag einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten
In kartesischen Koordinaten stellst du mit Hilfe ihrer
-Koordinate und
-Koordinate dar
.
Nehmen wir als Beispiel
,
deren repräsentativer Punkt in der Ebene der Punkt ist. Dann lautet der Betrag
.
Den Abstand zum Koordinatenursprung
kannst du mit Hilfe vom Satz des Pythagoras berechnen. Das heißt, du bildest mit den Längen und
sowie dem Punkt
ein rechtwinkliges Dreieck.
Wenn du dir also komplexe Zahlen wie oder
als Punkte in einer Ebene vorstellst, dann entspricht deren Betrag geometrisch der Länge der Verbindungslinie vom Ursprung zum entsprechenden Punkt.
Betrag einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten
Du kannst auch in Polarkoordinaten
darstellen. Hierzu verwendest du den Abstand
vom Ursprung und den Winkel
.
Du kannst dann folgendermaßen schreiben
.
Der Buchstabe steht hier für die e-Funktion
. Der Betrag von
ist dann
.
Das heißt, du kannst den Betrag direkt ablesen, denn das ist gerade der Abstand vom Ursprung und genau das ist die Bedeutung von
.
Beispiel
Wenn wir
gegeben haben, dann lautet der Betrag
.