Dreiecksungleichung
Du willst wissen, warum im Dreieck zwei Seitenlängen zusammen größer sind als die dritte und der direkte Weg vom Eckpunkt A zum Punkt C immer der kürzeste ist? Genau diesen Beweis, sowie ein Beispiel und mögliche Anwendungsfälle der Dreiecksungleichung werden dir in unserem Video in knapp 5 Minuten erklärt.
Inhaltsübersicht
Dreiecksungleichung Erklärung
Analog dazu, gibt es eine auch umgekehrte Dreiecksungleichung.
Logische Herleitung Dreiecksungleichungen
Betrachten wir folgendes Dreieck
Daraus lässt sich die normale Dreiecksungleichung folgendermaßen mathematisch formulieren:
Tritt der Fall ein, dass die linke und rechte Seite der Gleichung identisch ist, so wird von einem „entarteten“ Dreieck gesprochen. Dabei muss gelten, dass a und b Teilstrecken von c sind.
Zusätzlich lässt sich c durch eine Addition der Strecken a und b ausdrücken.
Damit lautet die Ungleichung umgestellt:
Es gibt außerdem noch eine umgekehrte Dreiecksungleichung. Diese sieht wie folgt aus:
Als Letztes kann die normale Dreiecksungleichung auch für Vektoren formuliert werden:
Dreiecksungleichung Beweis
Um die normale Ungleichung zu beweisen, wird diese quadriert. Das darf gemacht werden, da beide Gleichungsseiten durch die Betragsstriche nicht negativ werden können. Durch Anwendung der binomischen Formel entsteht:
Jetzt werden die doppelten Termen gestrichen:
Dieser Zusammenhang ist wahr für jede beliebige Zahl aus dem Raum der reellen Zahlen und beweist damit die Ungleichung.
Umgekehrte Dreiecksungleichung Beweis
Bei der umgekehrten Dreiecksungleichung gibt es zwei Möglichkeiten. Daher muss zunächst eine Fallunterscheidung gemacht werden.
1. Für den Fall:
Hier muss gezeigt werden, dass 
gilt.
Das kann mit einem Trick aus der Mathematik gemacht werden. Dieser lautet 
. Wird das eingesetzt, erhalten wir folgenden Ausdruck
Mit 
umgestellt und durch 
substituiert, ergibt sich:
Das ist die Definition der Dreiecksungleichung und damit ist die erste Behauptung wahr.
2. Für den Fall:
Hier muss gezeigt werden, dass 
gilt.
Derselbe mathematische Trick hier angewandt für 
, ergibt:
Mit 
erweitert:
Da mit Abständen gerechnet wird, gilt der Zusammenhang:
Wenden wir das auf die Ungleichung an, erhalten wir den Ausdruck:
Im Anschluss können wir mit 
erweitern:
Hier kann jetzt nach 
substituiert werden, um den Beweis abzuschließen.
Dies ist wiederum die Dreiecksungleichung und somit ist auch dieser Fall wahr. Aufgrund dessen, dass beide Fälle bewiesen worden sind, ist auch die umgekehrte Ungleichung insgesamt wahr.
Beispiel Dreiecksungleichung
Dieses Beispiel wird mit Hilfe von Vektoren durchgeführt. Dabei werden drei Punkte im zweidimensionalen Raum, die ein Dreieck bilden, angenommen. Punkt A 
, Punkt B 
und Punkt C 
. Als Erstes werden nun die Strecken berechnet. Alle Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen gerundet.
In die normale Dreiecksungleichung eingesetzt:
In die umgekehrte Dreiecksungleichung eingesetzt:
Damit sind beide Ungleichungen richtig und stimmen für dieses Beispiel.
Weitere Herleitung mit Kosinussatz
Diese Herleitung erfolgt wieder mit reellen Zahlen. Die Dreiecksungleichung lässt sich des Weiteren aus dem Kosinussatz herleiten. Dieser lautet:
Außerdem hat der Kosinus einen Definitionsbereich von -1 bis 1. Daraus lässt sich schließen:
Anschließend wird dies mit 
multipliziert:
Eine Addition der letzten Gleichung und des Kosinussatzes ergibt:
Unter Verwendung der binomischen Formel:
Zum Schluss wird die Wurzel gezogen und das Ergebnis stimmt mit der Dreiecksungleichung überein.
Anwendungsfälle
Die Dreiecksungleichung spielt nicht nur eine Rolle bei der Konstruktion von Dreiecken, sondern findet auch bei der Identifikation von metrischen und normierten Räumen Anwendung. Die Ungleichung ist hier für beide Räume eine Art Gesetz, das gilt, wenn einer dieser zweien Anwendungen findet. Handelt es sich zum Beispiel um einen normierten Raum, so muss für diesen auch immer die Dreiecksungleichung zutreffen. Außerdem gilt die Dreiecksungleichung nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für komplexe Zahlen und spielt eine Rolle bei der Abschätzung von Ungleichungen mit Wurzel.