Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen eine Variable unter einer Wurzel steht. Wie du so eine Wurzel auflösen kannst, zeigen wir dir hier und im Video .
Inhaltsübersicht
Wurzel auflösen einfach erklärt
Vielleicht sitzt du gerade vor einer Wurzelgleichung und fragst dich, wie du sie auflösen kannst. Eine Wurzelgleichung kann zum Beispiel so aussehen:
![\[ \sqrt{x+5}+3=6\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45fd7b47dcd3485ab524e55366d0a761_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn in deiner Gleichung eine Variable unter einer Wurzel steht, dann musst du zuerst die Wurzel isolieren und auf eine Seite bringen. Dann kannst du die Wurzel auflösen, indem du beide Seiten der Gleichung quadrierst, also hoch 2 rechnest. Danach löst du die Gleichung normal auf.
Schauen wir uns das jetzt noch einmal Schritt für Schritt an.
Wurzelgleichungen Schritt für Schritt auflösen
Um die Wurzelgleichung 
zu lösen, befolgst du vier Schritte:
- Zuerst isolierst du die Wurzel und bringst alles, was nicht Teil der Wurzel ist, auf die andere Seite.
Hier rechnest du also auf beiden Seiten minus 3.![\[ \begin{array}{lll} &\sqrt{x+5}+3 &=6 \; | -3\\ = & \sqrt{x+5} &=3 \\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-214c89da08369a3f988ed34e741f9379_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Dann kannst du die Wurzel auflösen: Rechne beide Seiten hoch 2. Das nennst du auch quadrieren. Quadrieren ist wie das Gegenteil einer Wurzel, so wie Minus das Gegenteil von Plus ist. Die Wurzel verschwindet dadurch.
![\[ \begin{array}{lll} &\sqrt{x+5} &=3\; | \; hoch \; 2\\ = & x+5 &=9\\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37fbbf8c6e738fc6aab42d7deab34013_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Jetzt hast du eine normale Gleichung. Die löst du weiter auf.
Rechne hier auf beiden Seiten minus 5 und du siehst, dass x = 4 ist.![\[ \begin{array}{lll} &x+5 &=9\; | -5\\ = & x &=4\\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-834f04e027e12b14495c6096153515e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Zuletzt solltest du noch einmal die Gegenprobe machen. Setze dazu die 4 in deine Ursprungsgleichung ein und schaue nach, ob das Ergebnis korrekt ist.
![\[ \begin{array}{lll} &\sqrt{4+5}+3 &=6\\ = & \sqrt{9} +3&=6 \\ = & 3+3&=6 \\ = & 6&=6 \\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-358cc1e9ad0fe3e8de09100915f6b5d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tipp: Die normale Wurzel √ kannst du auch als 2√ schreiben. Du löst sie deshalb mit hoch 2 auf. Du kannst auch höhere Wurzeln auflösen. Zum Beispiel die dritte Wurzel aus x. Dazu quadrierst du nicht, sondern rechnest hoch 3.
Gleichungen mit zwei Wurzeln auflösen
Es kann vorkommen, dass du eine Wurzelgleichung hast, bei der eine weitere Wurzel unter deiner Wurzel steht. Die Vorgehensweise ändert sich für das Auflösen der Wurzel allerdings nicht.
Stell dir vor, du hast folgende Aufgabe:
![\[ \sqrt{x + \sqrt{2x}} = 2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddbecae47d0203c1599a03129dac7adc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Den ersten Schritt kannst du dir bei dieser Aufgabe sparen: Die Wurzel ist bereits isoliert!
- Du löst also direkt die äußere Wurzel auf, indem du beide Seiten der Gleichung quadrierst.
![\[ \begin{array}{lll} &\sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 \; | \; hoch \; 2\\ = & x + \sqrt{2x}&=4 \\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6a691ac92158fe697fd81ceb552179f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Jetzt bleibt noch die andere Wurzel übrig. Du fängst wieder mit Schritt 1 an. Du rechnest auf beiden Seiten minus x, um die Wurzel zu isolieren.
![\[ \begin{array}{lll} &x + \sqrt{2x}&=4 \; | - x\\ = &\sqrt{2x}&=4 - x \\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7e935ea36ffe0cfd6f74eddf27f0e55_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Auch hier kannst du die Wurzel auflösen. Du quadrierst wieder beide Seiten. Wichtig: Die Klammer kannst du mit der 2. binomischen Formel
auflösen.
![\[ \begin{array}{lll} &\sqrt{2x}&=4 - x\; | \; hoch \; 2\\ = &2x&=(4 - x)^2 \\ = &2x&=x^2 - 8x + 16\\ \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb903c2b26bd6fa21700df9eabca8340_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Wenn du jetzt noch die 2x auf die andere Seite bringst, hast du eine quadratische Gleichung. Die würdest du jetzt zum Beispiel mit der p-q-Formel
weiter auflösen.
![\[ 0 = x^2-10x+16\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88ce4eb0a07da42ad4e46e3f4ef85ce3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Achtung: Vergiss nicht, die Ergebnisse der p-q-Formel durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung zu überprüfen.
Wurzel auflösen — häufigste Fragen
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Wie löst man eine Wurzelgleichung?
1. Wurzel isolieren und auf eine Seite der Gleichung bringen.
2. Beide Seiten der Gleichung quadrieren.
3. Nach der Variablen auflösen.
4. Mit Probe kontrollieren.
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Wann löst sich eine Wurzel auf?
Wenn du in einer Wurzelgleichung die Wurzel isoliert hast, dann kannst du die Wurzel auflösen, indem du beide Seiten der Gleichung quadrierst. Dadurch verschwindet die Wurzel.
Exponentialgleichungen lösen
Jetzt weißt du, was du machst, wenn du in einer Gleichung ein Variable unter einer Wurzel hast. Doch was musst du tun, um eine Gleichung aufzulösen, in der die Variable im Exponenten steht? Das erklären wir dir in unserem Beitrag zum Exponentialgleichungen lösen.
