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Grenzwertsätze

Wichtige Inhalte in diesem Video

Grenzwertsätze einfach erklärt

Grenzwerte berechnen Beispiel

Du willst wissen, was die Grenzwertsätze sind und wozu du sie verwenden kannst? Dann bist du hier genau richtig. In diesem Beitrag und im Video zeigen wir dir alles Wichtige.

Inhaltsübersicht

Grenzwertsätze einfach erklärt

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Die Grenzwertsätze sind Rechenregeln für die Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen . Mit ihnen kannst du komplizierte Terme vereinfachen und die Grenzwerte schnell berechnen. Zum Beispiel ist damit der Grenzwert von Folgen wie $\frac{n^3+4n+1}{3n^3+n^2}$ gar kein Problem mehr!

Grenzwertsätze für Folgen

Du hast zwei konvergente Folgen (a_n) und (b_n) mit $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a}$ und $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n} = \textcolor{orange}{b}$ . Dabei ist $\textcolor{blue}{a},\textcolor{orange}{b}\in(-\infty,\infty)$ . Dann gilt:

$\begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{a_n}+\textcolor{orange}{b_n}) & = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} + \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}&(1) \\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{orange}{b_n}) & = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} - \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}&(2)\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{a_n}\cdot \textcolor{orange}{b_n}) &=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} \cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}&(3)\\ $Falls $ \textcolor{orange}{b}\neq 0: \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\textcolor{blue}{a_n}}{\textcolor{orange}{b_n}} &=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}}&(4)\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\textcolor{blue}{a_n}| &=|\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n}|&(5) \end{align*}$

Grenzwerte berechnen Beispiel

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Mithilfe der Grenzwertsätze lassen sich vermeintlich komplizierte Grenzwerte ganz einfach berechnen. Hier einige Beispiele:

An den mit * markierten Stellen wenden wir einen Grenzwertsatz an.

$\begin{align*} &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{5+3n}{n} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{\frac{5}{n}}+\textcolor{orange}{3}) =^* \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\frac{5}{n}} + \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \textcolor{orange}{3} = 0 + 3 = 3\\ &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2-10n}{n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{1}-\textcolor{orange}{\frac{10}{n}}) =^* \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \textcolor{blue}{1} - \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \textcolor{orange}{\frac{10}{n}} = 1-0=1\\ &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\textcolor{blue}{3-\sqrt[n]{7}}}{\textcolor{orange}{1+\frac{5}{n}}} =^* \frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{3-\sqrt[n]{7}}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{1+\frac{5}{n}}} =^* \frac{\textcolor{blue}{3}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\sqrt[n]{7}}}{\textcolor{orange}{1}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{\frac{5}{n}}} = \frac{3-1}{1+0}=2\\ &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3+4n+1}{3n^3+n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\cancel{n^3}\textcolor{blue}{(1+\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3})}}{\cancel{n^3}\textcolor{orange}{(3+\frac{1}{n})}}=^*\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{1}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\frac{4}{n^2}}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\frac{1}{n^3}}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{3}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{3} \end{align*}$

Achtung: Bei den markierten mit * Gleichheitszeichen musst du aufpassen. Nur wenn alle Grenzwerte auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen existieren (also kleiner als unendlich sind), darfst du die Sätze auch wirklich anwenden.

Grenzwertsätze Beweis

Damit du die Grenzwertsätze nicht einfach blind glauben musst, findest du hier alle Beweise der Grenzwertsätze:

Beweis von (1)

Da (a_n) und (b_n) konvergieren, wissen wir, dass für alle $\varepsilon>0\in \mathbb{R}$ zwei Zahlen $n_1,n_2\in \mathbb{N}$ existieren, für die gilt $|\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}|<\frac{\varepsilon}{2}$ für alle n>n_1 und $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{\varepsilon}{2}$ für alle n>n_2 .

Sei $n_0>\max\{n_1,n_2\}$ , dann gilt für alle n>n_0 nach der Dreiecksungleichung :

$|\textcolor{blue}{a_n}+\textcolor{orange}{b_n}-(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{orange}{b})|&=|(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a})+(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})|\leq|(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a})|+|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

Damit haben wir gezeigt, dass $(\textcolor{blue}{a_n}+\textcolor{orange}{b_n})$ gegen a+b konvergiert.

Beweis von (2)

Folgt aus (1) und (3), denn $(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{orange}{b_n})=(\textcolor{blue}{a_n}+(-1)\cdot \textcolor{orange}{b_n})$ .

Beweis von (3)

Da $\textcolor{orange}{b_n}$ konvergent ist, wissen wir, dass es ein n_1 gibt mit $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<1$ für alle n>n_1 . Daraus folgt mit der Dreiecksungleichung $|\textcolor{orange}{b_n}|=|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}+\textcolor{orange}{b}|\leq|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|+|\textcolor{orange}{b}|<1+|\textcolor{orange}{b}|$ .

Wähle ein beliebiges $\varepsilon>0\in\mathbb{R}$ und n_0>n_1 so, dass $|\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}| < \frac{\varepsilon}{2(|\textcolor{orange}{b}|+1)}$ und $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{\varepsilon}{2|\textcolor{blue}{a}|}$ für alle n>n_0 .

Wir müssen zeigen, dass $|\textcolor{blue}{a_n}\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b}|<\varepsilon$ für alle n>n_0 . Dafür formen wir den Term zunächst um:

$|\textcolor{blue}{a_n}\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b}| = |\textcolor{blue}{a_n}\textcolor{orange}{b_n} - \textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b_n} + \textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b_n} - \textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b}| = |\textcolor{orange}{b_n}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}) + \textcolor{blue}{a}(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})|$

Jetzt kommt wieder die Dreiecksungleichung ins Spiel, mit der wir folgende Abschätzung erhalten:

$\begin{align*} |\textcolor{orange}{b_n}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}) + \textcolor{blue}{a}(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})| &\leq |\textcolor{orange}{b_n}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a})| + |\textcolor{blue}{a}(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})| = |\textcolor{orange}{b_n}||\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}|+|\textcolor{blue}{a}||\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|\\ &<(|\textcolor{orange}{b}|+1)\frac{\varepsilon}{2(|\textcolor{orange}{b}|+1)} +|\textcolor{blue}{a}|\frac{\varepsilon}{ 2|\textcolor{blue}{a}|}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{align*}$

Beweis von (4)

Wir zeigen hier nur noch, dass $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\textcolor{orange}{b_n}}=\frac{1}{\textcolor{orange}{b}}$ (Alles Weitere folgt direkt aus (3), denn $\frac{\textcolor{blue}{a_n}}{\textcolor{orange}{b_n}}=\textcolor{blue}{a_n}\cdot\frac{1}{\textcolor{orange}{b_n}}$ ).

Dazu betrachten wir den Term $|\frac{1}{\textcolor{orange}{b_n}}-\frac{1}{\textcolor{orange}{b}}|=|\frac{b-\textcolor{orange}{b_n}}{\textcolor{orange}{b_n}b}|$ . Wählen wir n_1 so, dass $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{|\textcolor{orange}{b}|}{2}$ $\forall n>n_1$ . Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt dann:

$|\textcolor{orange}{b_n}|=|\textcolor{orange}{b}-(\textcolor{orange}{b}-\textcolor{orange}{b_n})|\geq||\textcolor{orange}{b}|-|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}||\geq |\textcolor{orange}{b}|-|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|>|\textcolor{orange}{b}|-\frac{|\textcolor{orange}{b}|}{2}=\frac{|\textcolor{orange}{b}|}{2}$

Jetzt können wir für ein beliebiges $\varepsilon>0\in\mathbb{R}$ , n_0>n_1 so wählen, dass $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\varepsilon\cdot\frac{2}{\textcolor{orange}{b}^2}$ für alle n>n_0 . Dann folgt:

$|\frac{\textcolor{orange}{b}-\textcolor{orange}{b_n}}{\textcolor{orange}{b_n}\textcolor{orange}{b}}|=\frac{|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|}{|\textcolor{orange}{b_n}||\textcolor{orange}{b}|}<\frac{\varepsilon\cdot\frac{2}{\textcolor{orange}{b}^2}}{|\frac{\textcolor{orange}{b}}{2}|\cdot|\textcolor{orange}{b}|}=\varepsilon$

Beweis von (5)

Das ist ein direktes Ergebnis der umgekehrten Dreiecksungleichung, denn $||\textcolor{blue}{a_n}|-|\textcolor{blue}{a}||\leq|\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}|$ .

Grenzwertsätze für Funktionen

Auch für die Grenzwerte von Funktionen lassen sich Grenzwertsätze definieren.

Grenzwertsätze für Funktionen

Sei $x_0\in(-\infty,\infty)\cup \{-\infty, \infty\}$ , und betrachte zwei Funktionen und mit $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a$ und $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=b$ . Dabei ist $a,b\in(-\infty,\infty)$ . Dann gilt:

$\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)+g(x)) & = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) + \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)&(1) \\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)-g(x)) & = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) - \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)&(2)\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)\cdot g(x)) &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) \cdot \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)&(3)\\ $Falls $ b\neq 0: \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} &=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)}&(4)\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}|f(x)| &=|\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)|&(5) \end{align*}$

Dreiecksungleichung

Du weißt jetzt, was die Grenzwertsätze sind und wie man mit ihnen rechnen kann. Aber bei den Beweisen bist du immer wieder über die Dreiecksungleichung gestolpert und fühlst dich damit noch nicht ganz fit? Dann schau dir hier unser Video dazu an.

Zum Video: Dreiecksungleichung

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Fibonacci-Folge

Grenzwertsätze

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