Mathematische Grundlagen

In diesem Beitrag erklären wir dir, was lineare Gleichungen sind und wie du sie lösen kannst. Du möchtest dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir einfach unser Video zum Thema an!

Inhaltsübersicht

Was sind lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen erkennst du daran, dass nur ein einfaches x vorkommt. Das x wird Variable genannt. Hier siehst du einige Beispiele für lineare Gleichungen.

  • 5x=10
  • 3x-1=8
  • x-25=2x

Die folgenden Beispiele sind keine linearen Gleichungen, weil das x mit einer Hochzahl oder gar nicht vorkommt.

  • 7x^2=5
  • 8=5+3
  • x^3-2x=1

Dabei kannst du alle linearen Gleichungen durch Umformen in diese Form bringen.

a \cdot x +b= 0

Für a und b können beliebige Zahlen eingesetzt werden. Nur a=0 ist nicht erlaubt, denn sonst käme in der Gleichung ja kein x mehr vor.

Lineare Gleichungen lösen

Beim Lösen von linearen Gleichungen formst du sie so um, dass du als Ergebnis eine Zahl für x erhältst. Du möchtest also wissen, für welche Zahl x die Gleichung stimmt.

Beispiel 1

Lass uns das einmal gemeinsam an einem Beispiel für lineare Gleichungen durchgehen.

3x-1=8

Schritt 1: Zuerst bringst du alle Zahlen ohne ein x auf eine Seite der Gleichung. Dafür rechnest du auf beiden Seiten der Gleichung +1. Damit fällt die -1 links weg und rechts rechnest du 8+1=9.

    \begin{align*} 3x-1&=8 && |+1  \\ 3x-1+1 &= 8 + 1 \\ 3x &= 9 \end{align*}

Schritt 2: Jetzt teilst du noch die gesamte Gleichung durch den Faktor 3, der vor x steht. Damit bekommst du links 3:3=1 und rechts 9:3=3.

    \begin{align*} 3x&=9 && | : 3\\ \frac{3}{3}x&= \frac{9}{3} \\ x &= 3 \end{align*}

Damit hast du die Gleichung nach x aufgelöst. Das bedeutet, dass die Gleichung für x = 3 erfüllt ist. Du kannst das überprüfen, indem du den Wert in die lineare Gleichung einsetzt und schaust, ob beide Seiten der Gleichung dasselbe Ergebnis haben.

    \begin{align*} 3 \cdot 3 &= 9 \\ 9 &= 9  \end{align*}

Hinweis: Das Vorgehen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechnung durchführst, findest du auch unter dem Namen Äquivalenzumformung.

Beispiel 2

Machen wir doch gleich noch ein weiteres Beispiel. Diesmal sollst du die folgende lineare Gleichung lösen.

\frac{1}{2}(x-4)+10=0

Schritt 1: Zunächst musst du die Klammern auflösen. Das funktioniert durch das Ausmultiplizieren, du rechnest dabei beide Teile der Klammer mal ein halb. Im Anschluss daran kannst du die Teile ohne x zusammenfassen -2+10=8.

    \begin{align*} \frac{1}{2}(x-4)+10&=0 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot 4 + 10 &= 0\\ \frac{1}{2}x - 2 + 10& = 0 \\ \frac{1}{2}x +8 &=0 \end{align*}

Schritt 2: Nun bringst du die 8 auf die rechte Seite der Gleichung, indem du auf beiden Seiten – 8 rechnest. Links fällt dann die 8 weg, 8-8=0 und rechts hast du dann 0-8=-8. Dann stehen alle Bausteine ohne x auf einer Seite und alle Teile mit einem x auf der anderen Seite.

    \begin{align*} \frac{1}{2}x+8&=0 && |-8 \\ \frac{1}{2}x &= -8 \end{align*}

Schritt 3: Zum Schluss teilst du die ganze lineare Gleichung wieder durch den Faktor vor dem x. In diesem Beispiel bedeutet das, dass du die Gleichung mit Zwei multiplizierst.

    \begin{align*} \frac{1}{2}x&=-8 && | \cdot 2 \\ x &= -16 \end{align*}

Damit hast du ein Ergebnis für x erhalten. Mit diesen Schritten kannst du alle linearen Gleichungen lösen.

Lineare Gleichungen Aufgaben

Hier findest du zwei Aufgaben zu linearen Gleichungen, mit denen du üben kannst.

Aufgabe 1

Löse die Gleichung

2x-1=4x+3.

Lösung Aufgabe 1

Zuerst bringst du alle Teile der Gleichung mit einem x auf eine Seite und alle Zahlen ohne x auf die andere Seite der Gleichung. Dann kannst du die lineare Gleichung umformen und x bestimmen.

    \begin{align*} 2x-1&=4x+3 && |+1 \\ 2x&=4x+4 && |-4x \\ -2x &= 4 && | : (-2) \\ x &= -2 \end{align*}

Aufgabe 2

Löse die lineare Gleichung

7x-21=0.

Lösung Aufgabe 2

    \begin{align*} 7x-21&=0 && | + 21 \\ 7x &= 21 && | : 7 \\ x& = 3 \end{align*}

Quadratische Gleichungen

Das Lösen linearer Gleichungen stellt für dich nun kein Problem mehr dar. Aber was machst du, wenn in einer Gleichung ein x² vorkommt?

  • 3x² + 5x + 2 = 0
  • 12x² + 7x = 0
  • 6x² – 10 = 0

Solche Gleichungen mit der Hochzahl 2 heißen quadratische Gleichungen. Welche Arten von quadratischen Gleichungen es gibt und wie du sie löst, erfährst du in unserem Video dazu! Viel Spaß beim Anschauen!

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Zum Video: Quadratische Gleichungen

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