Algebra
Gleichungen & Ungleichungen
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Du willst wissen, wie du eine Exponentialgleichung lösen kannst und welche Verfahren es gibt, um exponentielle Gleichungen nach dem Exponenten aufzulösen? Unser Beitrag beantwortet deine wichtigsten Fragen dazu!

Exponentialgleichungen lösen einfach erklärt

Eine Gleichung heißt Exponentialgleichung, wenn die Variable (z. B. x) mindestens einmal im Exponenten (Hochzahl) auftaucht. Du kannst die Gleichung dann zum Beispiel durch Logarithmieren, Exponentenvergleich oder durch die grafische Darstellung mit Funktionen lösen.

Schau dir direkt ein Beispiel an: 

2x = 16

nennst du eine reine Exponentialgleichung. Denn die Variable x steht nur im Exponenten. Bei so einer einfachen Gleichung kannst du die Lösung vielleicht sogar direkt erkennen. Du fragst dich einfach: 2 hoch was ergibt 16? Hier ist das x = 4.

Keine Exponentialgleichung ist dagegen 2x2 x + 4 = 4, da die Variable x nie im Exponenten, sondern nur als Basis vorkommt.

Exponentialgleichung nach Exponent auflösen

Aber wie kann man Exponentialgleichungen lösen? Dafür gibt es drei verschiedene Verfahren. Schau dir gleich an, wann sich welches Verfahren eignet.

  1. Logarithmieren: Funktioniert immer, ist aber nicht unbedingt die leichteste Variante.
  2. Exponentenvergleich: Eignet sich, wenn beide Seiten der Gleichung dieselbe Basis haben oder du sie leicht auf dieselbe Basis umformen kannst.
  3. Grafisches Lösen: Manchmal lässt sich die Lösung auch als Schnittpunkt von Exponential- oder Potenzfunktionen im Koordinatensystem darstellen. Allerdings ist diese Methode eher ungenau.

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Exponentialgleichungen lösen durch Logarithmieren

Du kannst eine Exponentialgleichung durch das Anwenden des Logarithmus lösen. Dafür musst du beide Seiten logarithmieren und danach die Logarithmusgesetze verwenden. Der Logarithmus zur Basis 10 erleichtert dir die Rechnung.

Das Lösen mit dem Logarithmus funktioniert immer. Dafür solltest du allerdings die Logarithmusgesetze beherrschen. Hier findest du nochmal die zwei wichtigsten Regeln:

Art Formel Beispiel
Produkt \log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y} \log_2(\textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{32}) = \log_2 \textcolor{red}{8} + \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 +5
Potenz \log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x} \log_2 \textcolor{red}{4}^{\textcolor{blue}{3}}=\textcolor{blue}{3} \cdot \log_2 \textcolor{red}{4} = \textcolor{blue}{3} \cdot 2

Nutze gleich den Logarithmus, um eine Aufgabe Schritt-für-Schritt zu lösen.

Beispiel: 4x – 2 = 29

Zuerst wendest du auf beiden Seiten den Logarithmus an. Prinzipiell kannst du dabei jede Basis b außer 1 verwenden. Am einfachsten ist es allerdings, wenn du den Logarithmus zur Basis 10 (lg oder log) oder den natürlichen Logarithmus (ln) verwendest. Wir verwenden hier den Logarithmus zur Basis 10.

    \begin{align*}4^{\textcolor{orange}{x}-2}&=29&& \quad |\, \text{Logarithmus zur Basis 10}\\ \text{lg}\,( 4^{\textcolor{orange}{x}-2})&=\text{lg}\, 29 && \quad | \,\text {Logarithmusgesetz: Potenz nach vorne ziehen}\\ (\textcolor{orange}{x}-2)\cdot\text{lg}\, 4&=\text{lg}\,29 && \quad |\,:\text{lg}\, 4 \\ \textcolor{orange}{x}-2 &= \frac{\text{lg}\,{29}}{\text{lg}\,{4}} && \quad |\,+2\\ \textcolor{orange}{x} &= \frac{\text{lg}\,{29}}{\text{lg}\,{4}}+2 \\ \textcolor{orange}{x}&\approx4,43 \end{align*}

Das Ergebnis im letzten Schritt bekommst du, indem du alles in den Taschenrechner eingibst. So hast du die exponentielle Gleichung nach dem Exponenten x aufgelöst. Schau dir direkt noch ein Beispiel an. Hier musst du die Gleichung zunächst umformen.

Beispiel:

    \begin{align*}2\cdot3^{\textcolor{orange}{x}+1}&=18&&\quad |:2 \\ 3^{\textcolor{orange}{x}+1}&=9&&\quad |\, \text{Logarithmus zur Basis 10}\\ \text{lg}\,3^{\textcolor{orange}{x}+1}&=\text{lg}\,9 && \quad | \,\text {Logarithmusgesetz: Potenz nach vorne ziehen}\\ (\textcolor{orange}{x}+1)\cdot\text{lg}\,3&=\text{lg}\,9 && \quad |\,:\text{lg}\, 3 \\ \textcolor{orange}{x}+1&=\frac{\text{lg}\,{9}}{\text{lg}\,{3}} && \quad |\,-1\\ \textcolor{orange}{x}&=\frac{\text{lg}\,{9}}{\text{lg}\,{3}} -1\\ \textcolor{orange}{x}&=1\end{align*}

Lösen durch Exponentenvergleich

Eine Exponentialgleichung kannst du auch durch einen Vergleich der Exponenten lösen. Das geht aber nur, wenn beide Seiten der Gleichung die gleiche Basis haben oder du sie durch Äquivalenzumformungen auf dieselbe Basis bringen kannst.

Beispiel: 7 3 – x  = 7 x

In diesem Beispiel sind die Basen auf der rechten und linken Seite bereits gleich. Deshalb kannst du direkt den Exponentenvergleich anwenden. Dazu setzt du einfach nur die Exponenten gleich.

3 – x = x

Bringe nun alle x auf die rechte Seite, indem du + x rechnest.

3 = 2x

Im letzten Schritt teilst du durch 2, um x zu erhalten. Dein gesuchtes x ist 1,5.

x = 1,5

Beispiel: 3 x + 1 = 27

Auf der linken Seite hast du die Basis 3, auf der rechten Seite bisher noch nicht. Du kannst die 27 aber als 3 3 schreiben. So bekommst du eine Gleichung, bei der beide Terme die 3 als gemeinsame Basis haben. 

3 x + 1 = 3 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen jetzt nur noch die beiden Exponenten gleich sein. Also kannst du vereinfacht schreiben:

x + 1 = 3

Diese Gleichung lässt sich jetzt einfach lösen : x = 2 ist dein Ergebnis. Du kannst es ganz leicht überprüfen. Setze dazu x in die linke Seite der Gleichung und rechne das aus.

3 2 + 1 = 3 3 = 27

Heraus kommt 27. Das war genau die rechte Seite der Gleichung. Du hast den Exponenten also richtig aufgelöst!

Grafisches Lösen

Eine weitere Möglichkeit zum Exponentialgleichungen lösen ist die grafische Methode. Das funktioniert beispielsweise, wenn sich beide Seiten der Gleichung durch Umformen in Funktionen  umwandeln lassen, die du leicht zeichnen kannst.

Beispiel: 4x + x2 = 5

Bringe zuerst x2 auf die rechte Seite. Es ergibt sich die Gleichung 4x = – x2 + 5. Die Funktionen f (x) = 4x und g (x) = – x2 + 5 siehst du im Koordinatensystem eingezeichnet.

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Grafisches Lösen einer Exponentialgleichung

Die Lösungen der Gleichungen sind nun die Schnittpunkte der beiden Funktionen f und g. Diese kannst du im Koordinatensystem direkt ablesen: x1 = -2,2 und x2 = 1. Die Exponentialgleichung 4x + x2 = 5 hat also die beiden Lösungen x1 = -2,2 und x2 = 1.

Bestimmt merkst du schon beim Ablesen, dass die Methode eher ungenau ist. Trotzdem prüfen wir unser Ergebnis, indem wir die x-Werte jeweils in die Gleichung einsetzen.

  • Probe für x1: 4-2,2 + (– 2,2)2 ≈ 4,89 
  • Probe für x2: 41 + 12 = 5

Wegen der Ungenauigkeit der Methode kannst du nicht erwarten, dass exakt 5 herauskommt. 4,89 ist aber ziemlich nahe bei 5, sodass du davon ausgehend kannst, dass du die Exponentialgleichung näherungsweise richtig gelöst hast. Du siehst, dass du die Methode nur selten sinnvoll anwenden kannst.

Lösen von Exponentialgleichungen — häufigste Fragen

  • Was ist eine Exponentialgleichung?
    Eine Exponentialgleichung erkennst du daran, dass die Variable x mindestens einmal im Exponenten vorkommt.

  • Wie kann ich eine Exponentialgleichung lösen?
    Eine Exponentialgleichung kannst du mit dem Logarithmus, durch Exponentenvergleich oder durch Zeichnen lösen. Beim Logarithmieren wendest du auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an und nutzt dann die Logarithmusgesetze.

  • Welcher Logarithmus eignet sich am besten zum Lösen von Exponentialgleichungen?
    Am besten kannst du eine Exponentialgleichung mit dem Logarithmus zur Basis  10 oder dem natürlichen Logarithmus ln lösen. Du darfst aber auch jede andere Basis ≠ 1 verwenden.

Substitution

Ein exaktes Verfahren ist dagegen die Substitution. Diese kannst du anwenden, wenn in der Exponentialgleichung nur eine Basis vorkommt, die aber möglicherweise unterschiedliche Exponenten haben kann. Wie die Substitution im Detail funktioniert, erfährst du in diesem Video.

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