Hier erklären wir dir, was eine Substitution ist und wie du mit dem Substitutionsverfahren Gleichungen lösen kannst. Schau dir am besten auch gleich unser Video dazu an!
Stell dir vor, du willst die Lösung der folgenden Gleichung berechnen: . Was auf den ersten Blick schwierig aussieht, kannst du mit einer Substitution und Resubstitution leicht lösen. Hierfür ersetzt du
durch die neue Variable
und löst du die Gleichung in vier Schritten:
1. Substitution: Du ersetzt in der Gleichung durch
.
2. Berechnung von : Das machst du zum Beispiel mit Hilfe der Mitternachts- oder pq-Formel
3. Resubstitution: Nun ersetzt du wieder durch
.
4. Berechnung von : Nachdem du
kennst, kannst du jetzt auch
leicht berechnen.
Im folgenden Beispiel zeigen wir dir, wie du durch Substituieren die Lösungen einer Gleichung findest.
Lass uns als Beispiel die folgende Gleichung mit dem Substitutionsverfahren lösen:
Als erstes bringst du alles auf eine Seite, indem du auf beiden Seiten abziehst.
Dann stellst du fest, dass du diese Gleichung auch umschreiben kannst.
Wenn in einer Gleichung als Variablen nur und
vorkommen, kannst du sie immer durch Substituieren lösen. Das ist zum Beispiel hier der Fall:
Schauen wir uns jetzt an, wie du Schritt für Schritt vorgehst:
1. Substitution: Du ersetzt durch
, sodass du eine vereinfachte Gleichung erhältst.
2. Berechnung von : Jetzt kannst du diese Gleichung mit der Mitternachtsformel
(alternativ p-q-Formel
) lösen:
3. Resubstitution: ersetzt du nun wieder durch
:
4. Berechnung von : Nun musst du nach
auflösen. Hierfür musst Du die Wurzel aus
und
ziehen:
Vorsicht: Aus negativen Zahlen darfst du keine Wurzel ziehen! Das heißt also, dass es für keine Lösung gibt.
Deine zwei Lösungen lauten daher . Gar nicht so schwer, oder?
Du willst das Substituieren noch einmal üben? Dann haben wir noch eine zweite Aufgabe für dich:
Diese Gleichung kannst du auch umschreiben:
1. Substitution: Als Erstes musst du durch
substituieren.
2. Berechnung von : Jetzt kannst du
mit der Mitternachtsformel leicht bestimmen.
3. Rücksubstitution: Das Substitut ersetzt du wieder durch
.
4. Berechnung von : Nun löst du nach
auf.
Durch Substituieren hast du die Lösungen für herausgefunden. Sie lauten:
Das Substitutionsverfahren ist nur eine Möglichkeit, in Mathe Gleichungen nach x aufzulösen. Damit du für deine nächste Prüfung auch wirklich gut vorbereitet bist, schau dir gleich noch unser Video zur quadratischen Ergänzung an – eine weitere gute Methode, um x zu bestimmen!
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