Substitution

Hier erklären wir dir, was eine Substitution ist und wie du mit dem Substitutionsverfahren Gleichungen lösen kannst. % Schau dir am besten auch gleich unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Was ist eine Substitution?
im Text
Substitution in Mathe – Beispiel
im Text
Weitere Übung im Substitutionsverfahren
im Text
Quadratische Ergänzung
im Text

Was ist eine Substitution?

Stell dir vor, du willst die Lösung der folgenden Gleichung berechnen: x^4-x^2-2=4 . Was auf den ersten Blick schwierig aussieht, kannst du mit einer Substitution und Resubstitution leicht lösen. Hierfür ersetzt du $\color{blue}{x^2}$ durch die neue Variable $\color{red}{z}$ und löst du die Gleichung in vier Schritten:

1. Substitution: Du ersetzt in der Gleichung $\color{blue}{x^2}$ durch $\color{red}{z}$ .

2. Berechnung von $\color{red}{z}$ : Das machst du zum Beispiel mit Hilfe der Mitternachts- oder pq-Formel

3. Resubstitution: Nun ersetzt du $\color{red}{z}$ wieder durch $\color{blue}{x^2}$ .

4. Berechnung von $\color{blue}{x}$ : Nachdem du $\color{red}{z}$ kennst, kannst du jetzt auch $\color{blue}{x}$ leicht berechnen.

Im folgenden Beispiel zeigen wir dir, wie du durch Substituieren die Lösungen einer Gleichung findest.

Substitution in Mathe – Beispiel

Lass uns als Beispiel die folgende Gleichung mit dem Substitutionsverfahren lösen:

$x^4-x^2-2=4$

Als erstes bringst du alles auf eine Seite, indem du auf beiden Seiten abziehst.

$\begin{align*} \ x^4-x^2-2&=4 \;\; \; |-4\\ \ x^4-x^2-6&=0\\ \end{align*}$

Dann stellst du fest, dass du diese Gleichung auch umschreiben kannst.

$({\textcolor{blue}{x^2})^2-\textcolor{blue}{x^2}-6&=0$

Wann verwende ich eine Substitution?

Wenn in einer Gleichung als Variablen nur x^2 und x^4 vorkommen, kannst du sie immer durch Substituieren lösen. Das ist zum Beispiel hier der Fall:

$x^4-x^2-6=0$

Schauen wir uns jetzt an, wie du Schritt für Schritt vorgehst:

1. Substitution: Du ersetzt $\color{blue}{x^2}$ durch $\color{red}{z}$ , sodass du eine vereinfachte Gleichung erhältst.

$\begin{align*}(\textcolor{blue}{x^2})^2-\textcolor{blue}{x^2}-6&=0\\(\textcolor{red}{z})^2-\textcolor{red}{z}-6&=0\\\end{align*}$

2. Berechnung von $\textcolor{red}{z}$ : Jetzt kannst du diese Gleichung mit der Mitternachtsformel (alternativ p-q-Formel ) lösen:

$\begin{align*} \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1\cdot (-6)}}{2 \cdot 1}\\ \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{1 \pm 5}{2}\\ \color{red}{z_1}&=\frac{6}{2}=3 \;\; \text{und} \;\;\textcolor{red}{z_2} =\frac{-4}{2}=-2\\ \end{align*}$

3. Resubstitution: $\textcolor{red}{z}$ ersetzt du nun wieder durch $\textcolor{blue}{x^2}$ :

$\begin{align*} &\textcolor{red}{z_1} = 3 &\textcolor{red}{z_2} = -2\\ &\textcolor{blue}{x^2}=3 &\textcolor{blue}{x^2} =-2\\ \end{align*}$

4. Berechnung von $\textcolor{blue}{x}$ : Nun musst du nach $\textcolor{blue}{x}$ auflösen. Hierfür musst Du die Wurzel aus und ziehen:

$\begin{alignat*}{3} \textcolor{blue}{x^2} &=3 \;\;&\Leftrightarrow \;\;& \textcolor{blue}{x_{1,2}} = \pm\sqrt{3}\\ \textcolor{blue}{x^2} &=-2 \;\;&\Leftrightarrow \;\;& \textcolor{blue}{x_{3,4}} =\pm\sqrt{-2}\\ \end{alignat*}\begin{align*}\end{align*}$

Vorsicht: Aus negativen Zahlen darfst du keine Wurzel ziehen! Das heißt also, dass es für $\textcolor{blue}{x^2}=-2$ keine Lösung gibt.

Deine zwei Lösungen lauten daher $\textcolor{blue}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{3}$ . Gar nicht so schwer, oder?

Weitere Übung im Substitutionsverfahren

Du willst das Substituieren noch einmal üben? Dann haben wir noch eine zweite Aufgabe für dich:

$2x^4-18x^2+28=0$

Diese Gleichung kannst du auch umschreiben:

$2\cdot(\textcolor{blue}{x^2})^2-18\cdot\textcolor{blue}{x^2}+28=0$

1. Substitution: Als Erstes musst du $\textcolor{blue}{x^2}$ durch $\textcolor{red}{z}$ substituieren.

$2\cdot(\textcolor{red}{z})^2-18 \cdot\textcolor{red}{z}+28=0$

2. Berechnung von $\textcolor{red}{z}$ : Jetzt kannst du $\textcolor{red}{z}$ mit der Mitternachtsformel leicht bestimmen.

$\begin{align*}\textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2-4 \cdot 3\cdot 28}} {2 \cdot 2}\\\textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm \sqrt{324-224}} {4}\\\textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm 10} {4}\\\textcolor{red}{z_1}& = \frac{28}{4} = 7 \;\; \text{und} \;\; \textcolor{red}{z_2} = \frac{8}{4} = 2\\\end{align*}$

3. Rücksubstitution: Das Substitut $\textcolor{red}{z}$ ersetzt du wieder durch $\textcolor{blue}{x^2}$ .

$\begin{align*} \textcolor{red}{z_1}&= 7 \;\; &\textcolor{red}{z_2}= 2\\ \textcolor{blue}{x^2}&= 7 \;\; &\textcolor{blue}{x^2}= 2\\ \end{align*}$

4. Berechnung von $\textcolor{blue}{x}$ : Nun löst du nach $\textcolor{blue}{x}$ auf.

$\begin{alignat*}{3} \textcolor{blue}{x^2}=7 \;\;&\Leftrightarrow& \;\;\textcolor{blue}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{7}\\ \textcolor{blue}{x^2}=2 \;\;&\Leftrightarrow& \;\;\textcolor{blue}{x_{3,4}}=\pm\sqrt{2}\\ \end{alignat*}$

Durch Substituieren hast du die Lösungen für $\textcolor{blue}{x}$ herausgefunden. Sie lauten:

$\textcolor{blue}{x_1}=\sqrt{2}, \textcolor{blue}{x_2}=-\sqrt{2}, \textcolor{blue}{x_3}=\sqrt{7}, \textcolor{blue}{x_4}=-\sqrt{7}$

Quadratische Ergänzung

Das Substitutionsverfahren ist nur eine Möglichkeit, in Mathe Gleichungen nach x aufzulösen. Damit du für deine nächste Prüfung auch wirklich gut vorbereitet bist, schau dir gleich noch unser Video zur quadratischen Ergänzung an – eine weitere gute Methode, um x zu bestimmen!

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