Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe II

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Zusammenfassung — Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe II

Die folgende Aufgabe um die Abbildungseigenschaften zu bestimmen ist etwas komplexer: Entscheide ob die folgende Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Begründe deine Antwort.

f: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{Z}

n \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac {n}{2}, wenn\,n\,gerade\\ \\ -\frac {n+1}{2}, wenn\,n\,ungerade\\ \end{matrix} \right

Bei der Lösung der Aufgabe ist es wichtig, dass du dir erst einmal bewusst machst, wie die Definitionsmenge und die Zielmenge aussehen. Die Lösung der Aufgabe sowie alle notwendigen Überlegungen und Berechnungen zeigen wir dir ausführlich in unserem Video!

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe II — häufigste Fragen
Was ist hier genau die Definitionsmenge von f?
Die Definitionsmenge von f ist \mathbb{N}_0. Das sind alle natürlichen Zahlen inklusive 0, also 0, 1, 2, 3, \dots. Du darfst für f nur solche n einsetzen, weil die Funktion als f:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{Z} angegeben ist.
Was ist hier genau die Zielmenge von f?
Die Zielmenge von f ist \mathbb{Z}. Das sind alle ganzen Zahlen, also \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots. Das bedeutet: f soll Werte liefern, die ganze Zahlen sind, und du prüfst Surjektivität immer bezogen auf genau diese Zielmenge.
Wie kann ich bei dieser Fallunterscheidung prüfen, ob f injektiv ist?
Du prüfst Injektivität, indem du zeigst, dass aus f(n_1)=f(n_2) immer n_1=n_2 folgt. Wegen der Fallunterscheidung vergleichst du dabei getrennt die Fälle gerade-gerade, ungerade-ungerade und gerade-ungerade. So stellst du sicher, dass nicht zwei verschiedene n denselben Funktionswert erzeugen.