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abc Formel

Wichtige Inhalte in diesem Video

abc Formel einfach erklärt

(00:16)

abc Formel Aufgaben

(00:57)

Du willst wissen, was es mit der abc Formel auf sich hat? Dann bist du bei unserem Video und Beitrag genau richtig!

Inhaltsübersicht

abc Formel einfach erklärt

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(00:16)

Die abc-Formel verwendest du, um Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c (z.B. f(x) = 2x² + x – 1) zu bestimmen. Um das zu tun, setzt du deine quadratische Funktion gleich 0:

ax² + bx + c = 0

abc Formel

Zum Berechnen der beiden Nullstellen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung verwendest du die abc-Formel:

$x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Den Teil unter der Klammer b²– 4ac bezeichnest du als Diskriminante D. Mit ihr kannst du herausfinden, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat:

D > 0: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
D = 0: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung

D < 0: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

abc Formel Aufgaben

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(00:57)

Möchtest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der abc Formel ausrechnen, kannst du unsere Schritt-für-Schritt-Anleitung befolgen.

Beispiel 1: 2x² – 16 = 4x

Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen. Um die abc-Formel anzuwenden, muss auf einer Seite der Gleichung die Null stehen. Ggf. musst du die Gleichung umstellen.

2x² – 16 = 4x | – 4x

2x² – 16 – 4x = 0

2x² – 4x – 16 = 0

Schritt 2: Koeffizienten a, b und c ablesen

ax² + bx + c = 0

2x² – 4x – 16 = 0

a = 2, b = -4, c = -16

Schritt 3: a, b und c in die Formel einsetzen

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

$x_{1,2} = \cfrac{-(\textcolor{blue}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-4})^2-4\cdot \textcolor{red}{2}\cdot (\textcolor{olive}{-16}})}{2 \cdot \textcolor{red}{2}}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

$x_{1,2} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16-8 \cdot (-16)}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16+128}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{144}}{4} =\cfrac{4 \pm 12}{4}$

$\Longrightarrow \quad \quad x_1 =\frac{4+12}{4}= 4$ und $x_2 = \frac{4-12}{4}= -2$

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x₁ = 4

x₂ = -2

Beispiel 2: f(x) = x² + 4x + 4

Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen

x² + 4x + 4 = 0

Schritt 2: a, b und c ablesen

a = 1, b = 4, c = 4

Schritt 3: a, b und c in die Formel einsetzen

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{4} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2-4\cdot\textcolor{red}{1}\cdot\textcolor{olive}{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{1}}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

$x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} = \cfrac{-4 \pm 0}{2}$

$\Longrightarrow \quad \quad x_1 =\frac{-4+0}{2}= -2$ und $x_2 = \frac{-4-0}{2}= -2$

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x₁ = -2

x₂ = -2

Deine Funktion hat bei x= -2 eine doppelte Nullstelle.

abc Formel Herleitung

Abschließend zeigen wir dir, wie du die abc Formel herleiten kannst. Das ist gar nicht so schwer, da hier die allgemeine Form lediglich nach x aufgelöst wird. Für die Herleitung benötigst du die quadratische Ergänzung und die erste binomische Formel .

$\begin{align*} ax^2+bx+c&=0 \qquad | -c\\ ax^2+bx&=-c \qquad| \div a \\ x^2+\cfrac{b}{a}x &= -\cfrac{c}{a}\qquad | \text{ quadratische Ergänzung}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \cfrac{b^2}{4a^2}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}\qquad | \text{ erste binomische Formel}\\ \left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2&= \cfrac{b^2-4ac}{4a^2} \qquad |\sqrt\\ x+\cfrac{b}{2a} &=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \qquad | -\cfrac{b}{2a}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Rightarrow x_{1,2} &= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align*}$

pq-Formel

Neben der abc-Formel kannst du zum Lösen von quadratischen Gleichungen auch die pq-Formel verwenden. Welche Formel das ist und wie du sie anwendest, zeigen wir dir in unserem Video!