Mathematische Grundlagen

abc Formel

In diesem Artikel erklären wir dir an Hand mehrerer Beispiele, wie du die abc Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen verwendest oder die Nullstellen einer Parabel berechnest.

Du möchtest die abc Formel und ihre Anwendung noch schneller verstehen? Dann schau dir unser Video%verlinken dazu an! 

Inhaltsübersicht

abc Formel einfach erklärt

Die abc Formel ist in der Mathematik sehr wichtig, um quadratische Gleichungen%verlinken wie beispielsweise

  • x2-4x+4=0
  • -2x2-x=4x2+3x-9
  • x2+2x=5

zu lösen.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung hat immer die Form

ax2+bx+c=0,

mit Parametern a, b, c und a \not = 0. Sie geben der abc Formel ihren Namen. Wenn du die beiden Lösungen x1 und x2 des quadratischen Terms ax2+bx+c=0 bestimmen willst, so verwendest du dazu die abc-Formel:

abc Formel

x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Durch Einsetzen von a, b und c erhältst du hier im Allgemeinen zwei Lösungen

x_1 = \cfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2 = \cfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Diskriminante der quadratischen Lösungsformel

Ein wichtiger Bestandteil der abc Formel ist die sogenannte Diskriminante   b2-4ac  unter der Wurzel des Terms.  Dabei wird niemand diskriminiert, das Wort kommt lediglich aus dem Lateinischen und bedeutet „unterscheiden“. Von der Diskriminante erfährst du, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. Dazu betrachtest du einfach ihr Vorzeichen.

Diskriminante

D=b2-4ac

  • D> 0:      Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
  • D= 0:      Die quadratische Gleichung hat eine Lösung
  • D< 0:      Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

Interpretierst du ax2+bx+c als quadratische Funktion , dann kannst du an der Diskriminante  sofort die Anzahl der Nullstellen der Parabel ablesen. 

Nullstellen Parabeln, Nullstelle, quadratische Funktionen
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Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion.

Quadratische Gleichungen mittels abc Formel berechnen

Willst du die abc Formel zur Berechnung der Nullstellen von quadratischen Funktionen anwenden, dann befolgst du am besten diese Schritt-für-Schritt-Anleitung. Die konkrete Umsetzung zeigen wir dir am Beispiel 2x^2-16 = 4x.

  • Schritt 1: Forme die Gleichung so um, dass auf eine der beiden Seiten die Null steht. Dadurch bringst du den quadratischen Term auf die allgemeine Form

2x^2-16 = 4x \quad \quad \quad \bigg| -4x

2x^2-4x-16=0

  • Schritt 2: Als nächstes liest du die Koeffizienten a, b und c ab. 

a= 2,     b=-4,     c=-16

  • Schritt 3: Setze a, b und c in die abc Formel ein:

x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \cfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot (-16})}{2 \cdot 2}

  • Schritt 4: Berechne die Ergebnisse 

x_{1,2} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16-8 \cdot (-16)}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16+128}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{144}}{4} =\cfrac{4 \pm 12}{4}

\Longrightarrow \quad  \quad  x_1 =\frac{4+12}{4}= 4     und     x_2 = \frac{4-12}{4}= -2

  • Schritt 5: Schreibe die Lösungsmenge auf

L = \{-2; 4\}

Dieses Vorgehen kannst du abkürzen, wenn bestimmte Sonderfälle vorliegen. Dann berechnest du die Nullstellen der quadratischen Funktion oft schneller ohne die abc Formel. Das ist beispielsweise dann der Fall, wenn b oder c gleich Null sind. 

Sonderfall b=0:

Schauen wir uns einmal den Fall an, wenn b=0 ist. Du kannst das Ergebnis auch hier mithilfe der abc Formel berechnen, jedoch ist es einfacher, die Wurzel zu ziehen%verlinken. Der Term hat  immer die Form

ax2+c=0.

Du kannst ihn somit umformen, indem du nach x2 auflöst und dann die Wurzel ziehst:

x^2 = \frac{-c}{a}

x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}.

Wenn du zum Beispiel 2x^2-18=0 betrachtest, so erhältst du als Ergebnis

2x^2=18  \quad \quad \quad \quad \quad \bigg| \div 2

x^2 = 9

x_{1,2} = \pm \sqrt{9} = \pm 3.

Sonderfall c=0:

Es gibt auch viele quadratische Gleichungen, in denen der Parameter c=0 ist. Hier löst du die Funktionsgleichung am besten durch Ausklammern und berechnest die Nullstellen der beiden Faktoren separat

ax2+bx=0

x(ax+b)=0

x_1 = 0 

ax+b=0 \Longleftrightarrow ax = -b  \Longleftrightarrow x_2 = -\frac{b}{a}.

abc Formel Übungen

Betrachten wir als nächstes die konkrete Anwendung der abc Formel. Dazu zeigen wir dir drei Beispiele, die entweder zwei, eine oder keine Lösung haben. 

Beispiel 1: abc Formel mit zwei Lösungen

Gehen wir davon aus, du suchst die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung 

0,5x^2+0,5x= 3.

Dazu stellen wir im ersten Schritt die Gleichung um, sodass die rechte Seite Null ergibt

0,5x^2+0,5x - 3=0.

Als nächstes bestimmen wir die Parameter a=0,5, b=0,5 und c=-3 die wir nun in die abc Formel einsetzen. 

x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \cfrac{-0,5 \pm \sqrt{0,5^2-4\cdot 0,5\cdot (-3)}}{2 \cdot 0,5}

x_{1,2} = \cfrac{0,5 \pm \sqrt{0,25-2 \cdot (-3)}}{1}  = 0,5\pm \sqrt{6,25} =0,5 \pm 2,5

\Longrightarrow \quad  \quad  x_1 =0,5+2,5= 3     und     x_2 = 0,5-2,5=-2

Im letzten Schritt schreiben wir nur noch die Lösungsmenge L=\{-2 ;3\} auf, die beide Lösungen enthält.

Beispiel 2: abc Formel mit einer Lösung

Wenn die Diskriminante unter der Wurzel der abc-Formel gleich Null ist, so hat eine quadratische Gleichung nur eine Lösung. Das siehst du direkt am folgenden Beispiel:

x^2+10x+25 =0.

Da dieser Term schon in allgemeiner Form vorliegt, können wir mit Schritt 2 der obigen Anleitung starten und a=1, b=10 und c=25 bestimmen. Einsetzen in die abc Formel ergibt dann

x_{1,2} = \cfrac{-10\pm \sqrt{10^2-4\cdot 1 \cdot 25}}{2\cdot 1}

=  \cfrac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2} = \cfrac{-10\pm 0}{2}=-5.

Es gibt also nur eine Lösung L=\{-5\}, was auch bedeutet, dass der Scheitel der entsprechenden Parabel ihre einzige Nullstelle ist.

Beispiel 3: abc Formel mit keiner Lösung

Schauen wir uns noch den Fall an, wenn die Diskriminante D<0 ist. Das bedeutet, dass du einen negativen Ausdruck unter der Wurzel erhältst und die quadratische Funktion im reellen keine Nulsltelle besitzt. Die Lösungsmenge ist hier die leere Menge L  = \emptyset = \{\}, was du auch leicht am Beispiel erkennen kannst

\frac{1}{2}x^2+3x+7=0.

Setzen wir a=\frac{1}{2}, b=3 und c=7 in die abc Formel ein, so erhalten wir

x_{1,2} = \cfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot \frac{1}{2} \cdot 7}}{2\cdot \frac{1}{2}}

= \cfrac{-3\pm \sqrt{6-14}}{1}

= -3 \pm \sqrt{-8}.

Da die Wurzelfunktion nicht für negative Zahlen definiert ist, hat diese Gleichung kein Ergebnis! 

abc Formel Herleitung

Abschließend zeigen wir dir, wie du die abc Formel herleiten kannst. Das ist gar nicht so schwer, da hier die allgemeine Form lediglich nach x aufgelöst wird.

ax^2+bx+c=0                   \bigg| -c

ax^2+bx=-c                                 \bigg| \div a          

x^2+\cfrac{b}{a}x = -\cfrac{c}{a}

Um an dieser Stelle weiterzurechnen, benötigst du die quadratische Ergänzung der linken Seite.  Dazu addieren wir auf beiden Seiten \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\right)^2= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 und fassen die rechte Seite durch geschicktes Erweitern zusammen.

x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2= -\cfrac{c}{a} + \left(\cfrac{b}{2a}\right)^2

x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2= -\cfrac{c}{a} + \cfrac{b^2}{4a^2}

x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2=   \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}

Die linke Seite kann nun unter Verwendung der ersten binomischen Formel zusammengefasst werden als

\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2=   \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}.

Davon ziehen wir im nächsten Schritt die Wurzel und erhalten

x+\cfrac{b}{2a} =\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

Wenn wir diesen Ausdruck vereinfachen und noch \frac{b}{2a} abziehen, erhalten wir die abc Formel

x = -\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

x = -\cfrac{b}{2a}\pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\Rightarrow x_{1,2} = \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Merke: Dass wir x_1 und x_2 und \pm schreiben, sorgt dafür, dass du die zweite Lösung nicht vergisst! 

pq Formel

Angenommen, du hast eine quadratische Gleichung gegeben, bei der a=1 ist, kannst du anstelle der abc Formel auch die pq Formel%verlinken verwenden. Für Terme der Form x^2+px+q=0 gilt dann: 

x^2+p\cdot x +q = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}

Merke: Wenn du eine allgemeine quadratische Funktion ax2+bx+c=0 gegeben hast, musst du durch a teilen, um die pq Formel anzuwenden. In diesem Fall ist p=\frac{b}{a} und q=\frac{c}{a}

ax^2+bx+c=0     \bigg| \div a

x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0.

Ausführlich und mit vielen Beispielen erklären wir dir das in einem eigenen Video. 

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