Algebra

Du möchtest wissen was Bruchgleichungen sind und wie du sie lösen kannst? Das erklären wir dir anhand mehrerer Beispiele.

Mit unserem Video verstehst du das Thema ganz entspannt in wenigen Minuten.

Inhaltsübersicht

Bruchgleichungen einfach erklärt

Bruchgleichungen sind Gleichungen mit Brüchen. Sie enthalten mindestens einen Bruchterm. Ein Bruchterm ist ein Bruch aus Zähler und Nenner, bei dem eine Variable im Nenner steht. 

\frac{8}{\textcolor{blue}{x}} = 4

Werte, für die der Nenner 0 wird, werden in der Definitionsmenge ausgeschlossen. Da durch 0 nicht geteilt werden kann, darfst du für x keinen Wert einfügen, der den Nenner auf 0 bringt.

Wie das Brüche auflösen mit Variablen geht schaust du dir am Besten direkt am Beispiel an.

Bruchgleichungen mit einem Bruch

Schauen wir uns zuerst an, wie du Bruchgleichungen mit einem Bruch lösen kannst. Starten wir mit einem Beispiel mit einem Bruch nur auf einer Seite der Gleichung.

Beispiel 1

Du sollst folgende Bruchgleichung lösen.

\frac{6}{\textcolor{blue}{x}} = 3

1. Definitionsmenge festlegen: Da durch 0 nicht geteilt werden kann, darf der Nenner des Bruchs nicht 0 werden.  Für x = 0 hätten wir eine 0 im Nenner. Außer der Null, kannst du alle Zahlen für x einsetzen. Die Definitionsmenge ist daher die Menge der Reellen Zahlen ohne 0.

\mathbb{D}= \mathbb{R} \backslash 0

2. Bruchgleichung nach x auflösen: Dazu musst du den Bruch so umstellen, dass x alleine steht.

    \begin{align*} \frac{6}{\textcolor{blue}{x}} &= 3 \qquad &|& \cdot \textcolor{blue}{x} \\ 6 &= 3\textcolor{blue}{x} \qquad &|& : 3 \\ 2 &= \textcolor{blue}{x}\end{align*}

3. Lösungsmenge angeben: Die einzige Zahl, die die Definitionsmenge ausschließt, ist 0. Die Lösung x = 2 ist also in \mathbb{D} enthalten und darf eingesetzt werden. Das berechnete Ergebnis schreibst du als Lösungsmenge \mathbb{L} auf.

\mathbb{L} = \{2\}

Beispiel 2

Du sollst folgende Bruchgleichung lösen. 

\frac{27}{\textcolor{blue}{x}-2} = 3

1. Definitionsmenge festlegen: Da durch 0 nicht geteilt werden darf, musst du den Nenner x – 2 im Bruch gleich 0 setzen und nach  x auflösen. 

    \begin{align*} \textcolor{blue}{x}-2 &= 0\qquad | + 2 \\ \textcolor{blue}{x} &= 2 \\\end{align*}

Setzt du also für x eine 2 ein, dann wird der Nenner 0. Die Definitionsmenge ist daher die Menge der reellen Zahlen ohne 2.

    \begin{align*} \mathbb{D} &= \mathbb{R} \backslash \{2\}\end{align*}

  

2. Bruchgleichung nach x auflösen:

    \begin{align*} \frac{27}{\textcolor{blue}{x}-2}&= 3 &|& \cdot (\textcolor{blue}{x} -2)\\ 27&= 3 \cdot (\textcolor{blue}{x}-2) &|& : 3\\ 9 &= \textcolor{blue}{x} -2 &|& + 2 \\ 11 &= \textcolor{blue}{x}\end{align*}

             

3. Lösungsmenge angeben: Da 11 in der Definitionsmenge liegt, ist die Lösung gültig und 11 darf für x eingesetzt werden.

\mathbb{L} = \{11\}

Hinweis: Wenn die Lösung für x nicht in der Definitionsmenge vorkommt, sind Gleichungen mit Brüchen nicht lösbar. Dann ist die Lösungsmenge leer.

\mathbb{L}= { }

Bruchgleichung mit mehreren Brüchen

Du kannst auch Gleichungen lösen mit Brüchen auf beiden Seiten. Bruchgleichungen lösen mit mehreren Brüchen funktioniert im Prinzip aber genauso wie in den vorherigen Beispielen.

Beispiel

Berechne die Lösung für die Gleichung

\frac{3}{\textcolor{blue}{x}-4} = \frac{6}{5\textcolor{blue}{x}+1}.

1.Definitionsmenge festlegen: Da du jetzt auf beiden Seiten der Gleichung ein x im Nenner hast, musst du beide Bruchterme umstellen. Um herauszufinden, für welches x der Nenner 0 wird, setzt du beide Nenner gleich 0 und löst nach x auf.

  • Nenner x – 4 null setzen:

    \begin{align*} \textcolor{blue}{x} - 4&=0 \qquad &|&+4 \\ \textcolor{blue}{x} &= 4\end{align*}

  • Nenner 5x + 1 null setzen:

    \begin{align*} 5\textcolor{blue}{x} + 1 &= 0 \qquad &|& -1 \\ 5\textcolor{blue}{x} &= -1 \qquad &|& : 5 \\ \textcolor{blue}{x} &= -\frac{1}{5} = - 0,2\end{align*}

  • Die Ergebnisse -0,2 und 4 schließt du also in der Definitionsmenge als Lösung für x aus.

\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash  \{-0,2; 4\}

2. Bruchgleichung nach x auflösen

    \begin{align*} \frac{3}{\textcolor{blue}{x-4}}&= \frac{6}{\textcolor{red}{5x+1}} \qquad &|& \cdot (\textcolor{blue}{x-4}) \\ 3 &= \frac{6 \cdot (\textcolor{blue}{x-4})}{\textcolor{red}{5x+1}} \qquad &|& \cdot (\textcolor{red}{5x+1}) \\ 3 \cdot (\textcolor{red}{5x+1}) &= 6\cdot(\textcolor{blue}{x-4}) \\ 15x + 3 &= 6x - 24 \\ 9x &= -27 \\ x &= -3\end{align*}

3. Lösungsmenge angeben: Die Zahl -3 ist in der Definitionsmenge \mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash  \{-0,2; 4\} enthalten.  

\mathbb{L} = \{-3\}

Hinweis: Wenn beim Brüche auflösen irgendwann auf beiden Seiten der Bruchgleichung das gleiche steht, entspricht die Lösungsmenge der Definitionsmenge.

3x = 3x \rightarrow \mathbb{L} = \mathbb{D}

Tipp: Bruchgleichungen lösen durch Multiplikation über Kreuz 

 Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du eine Gleichung mit Bruch umstellen kannst.

\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{x-2}} = \frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{x}}

1. Definitionsmenge: \mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash  \{0, 2\}

2. Gleichung mit Bruch nach x auflösen: Dazu multiplizierst du den Zähler 3 des ersten Bruchs mit dem Nenner x des zweiten Bruchs. Anschließend nimmst du den Zähler 7 des zweiten Bruchs mal den Nenner (x-2) des ersten Bruchs.

\textcolor{blue}{3\cdot x} &= \textcolor{red}{7\cdot (x-2)}

Danach löst du wie gewohnt nach x auf.

    \begin{align*} 3x &= 7(x-2) \\ 3x &= 7x - 14 \qquad &|& -7x \\ -4x &= 14 \qquad &|& : (-4) \\ x &= 3,5\end{align*}

3. Lösungsmenge angeben: 3,5 ist in \mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash  \{0, 2\} enthalten.

\mathbb{L} = \{3,5\}

Tipp: Kehrwertbildung 

Eine weitere Möglichkeit Bruchgleichungen vor dem Lösen zu vereinfachen, ist die Bildung des Kehrwerts.

\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2x+8}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{x-3}}

1. Definitionsmenge festlegen: \mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash  \{-4, 3\}

2. Bruchgleichung lösen

  • Kehrwert auf beiden Seiten bilden:

\frac{\textcolor{red}{2x+8}}{\textcolor{blue}{4}} = \frac{\textcolor{red}{x-3}}{\textcolor{blue}{1}}

  • Gleichung mit Bruch nach x auflösen:

    \begin{align*} \frac{2x+8}{4}&=\frac{x-3}{1} \\ 0,5x + 2 &= x-3 \qquad &|& +3 \\ 0,5x + 5 &= x \qquad &|& -0,5x \\ 5 &= 0,5x \qquad &|& : 0,5 \\ 10 = x\end{align*}

 

3. Lösungsmenge angeben: 10 ist in \mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash  \{-4, 3\} enthalten.

\mathbb{L} = \{10\}

Bruchgleichungen Aufgaben

Zum Gleichungen lösen mit Brüchen haben wir dir einige Übungen zusammengestellt. Gib dabei die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

Aufgabe 1

\frac{24}{3x} = 4

Aufgabe 2

\frac{5}{x+2} = \frac{6}{3(x-1)}

Bruchgleichungen Aufgaben: Lösungen

Jetzt kannst du überprüfen, ob du das Thema Bruchgleichungen verstanden und alle Übungen zu den Gleichungen mit Brüchen richtig gelöst hast.

Lösung 1

1. Definitionsmenge : \mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{0\}

2. Bruchgleichung nach x auflösen:

    \begin{align*} \frac{24}{3x} &= 4 \qquad &|& \cdot 3x \\ 24 &= 4 \cdot 3x \qquad &|& :4 \\ 6 &= 3x \qquad &|& :3 \\ 2 &= x\end{align*}

3. Lösungsmenge angeben: \mathbb{L} = \{2\}

Lösung 2

1. Definitionsmenge: \mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{-2; 1\}

2. Gleichung mit Bruch nach x auflösen:

    \begin{align*} \frac{5}{x+2} &= \frac{6}{3(x-1)} \qquad &|& \cdot (x+2) \\ 5 &= \frac{6\cdot(x+2)}{3x-3} \qquad &|& \cdot (3x-3) \\ 5\cdot (3x-3) &= 6\cdot (x+2) \\ 15x-15 &= 6x+12 \qquad &|&+15  &|&-6x \\ 9x &= 27 \qquad &|& :9 \\ x &= 3\end{align*}

3. Lösungsmenge angeben: \mathbb{L} = \{3\}

Definitionsbereich 

Super du weißt jetzt, wie du Bruchgleichungen lösen kannst. Dabei musst du unter anderem die Definitionsmenge bestimmen. In unserem Video dazu erklären wir dir noch einmal was der Definitionsbereich  ist und wo du ihn sonst noch brauchst. Schau es dir gleich an!

Definitionsmenge, Definitionsbereich, Definitionsbereich bestimmen
Zum Video: Definitionsbereich

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