Fibonacci-Folge
Du fragst dich, was die Fibonacci-Folge ist? Hier und im Video erklären wir dir, was das ist und wo sie herkommt.
Inhaltsübersicht
Fibonacci-Folge einfach erklärt
Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von natürlichen Zahlen. Ihr Anfang sieht so aus:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Weiterführen kannst du das Muster, indem du immer die zwei vorhergehenden Zahlen zusammenrechnest. Zum Beispiel 8 + 13 = 21. Das bedeutet, dass die nächste Zahl in der Folge 21 ist.
Eine Zahlenfolge (an) ist eine Funktion, die ein Muster beschreibt, das in einer Aneinanderreihung von Zahlen auftritt. Die einzelnen Glieder der Zahlenfolge sind dabei eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet.
Fibonacci-Folge — Allgemeine Formel
Du kannst die Fibonacci-Folge auch durch eine allgemeine Formel beschreiben. Es werden immer die beiden vorherigen Folgenglieder addiert:
an = an-1 + an-2 für n > 2
Weil du zur Berechnung eines Folgengliedes die beiden vorhergehenden Folgenglieder brauchst, müssen am Anfang die ersten beiden bekannt sein:
a1 = 0 und a2 = 1
Mit der Formel und den ersten beiden Folgengliedern kannst du jetzt jedes weitere Folgenglied berechnen:
a3 = a2 + a1 = 1 + 0 = 1
a4 = a3 + a2 = 1 + 1 = 2
a5 = a4 + a3 = 2 + 1 = 3
In der Tabelle hast du eine Übersicht über die Berechnung der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge.
| Folgenglied: | Berechnung: | Wert: |
| a1 | 0 | 0 |
| a2 | 1 | 1 |
| a3 | 0 + 1 = 1 | 1 |
| a4 | 1 + 1 = 2 | 2 |
| a5 | 1 + 2 = 3 | 3 |
| a6 | 2 + 3 = 5 | 5 |
| a7 | 3 + 5 = 8 | 8 |
| a8 | 5 + 8 = 13 | 13 |
| a9 | 8 + 13 = 21 | 21 |
| a10 | 13 + 21 = 34 | 34 |
| a11 | 21 + 34 = 55 | 55 |
| a12 | 34 + 55 = 89 | 89 |
| a13 | 55 + 89 = 144 | 144 |
| a14 | 89 + 144 = 233 | 233 |
| a15 | 144 + 233 = 377 | 377 |
| a16 | 233 + 377 = 610 | 610 |
| a17 | 377 + 610 = 987 | 987 |
| a18 | 610 + 987 = 1597 | 1597 |
| a19 | 987 + 1597 = 2584 | 2584 |
| a20 | 1597 + 2584 = 4181 | 4181 |
Leonardo Fibonacci wurde ca. 1170 in Pisa geboren und gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters. Seine bekannteste mathematische Erkenntnis — die Fibonacci Folge — ist nicht nur Theorie, sondern auch in der Natur zu finden.
Fibonacci und Kaninchen — Zusammenhang
Fibonacci entdeckte die Zahlenfolge, während er das Wachstum einer Kaninchenpopulation beobachtete. Dabei stellte er folgendes fest:
Wenn die Kaninchen sich vermehren, kann ein erwachsenes Paar jeden Monat ein neues Kaninchenpaar zeugen. Die jungen Kaninchenpaare müssen dann erst einen Monat lang erwachsen werden, bevor sie sich selber vermehren können.
Wenn du mit dieser Beobachtung nun das Wachstum einer neuen Kaninchenpopulation beschreiben willst, kannst du dafür die Fibonacci-Folge benutzen:
Am Anfang gibt es noch kein Kaninchenpaar. Das wird erst zum Beginn des zweiten Monats angeschafft. Dafür stehen die ersten beiden Zahlen der Folge:
a1 = 0 und a2 = 1
Das Paar braucht noch einen Monat, um erwachsen zu werden. Dann kann es selber ein Kaninchenpaar zeugen, deshalb hat die Zahlenfolge im dritten Monat auch den Wert:
a3 = 1
Im vierten Monat kommt dann deren erstes Kaninchenpaar auf die Welt. Also gibt es im vierten Monat zwei Kaninchenpaare:
a4 = a3 + a2 = 1 + 1 = 2
Im nächsten Monat bekommt das Anfangspaar wieder ein neues Pärchen und das von ihnen im Vormonat gezeugte Pärchen wird erwachsen. Deshalb rechnet man im fünften Monat:
a5 = a4 + a3 = 2 + 1 = 3
Diesen Gedankengang kannst du jetzt beliebig oft wiederholen. Die Anzahl der Kaninchenpaare im Folgemonat wird dabei immer so groß sein, wie das nächste Folgenglied in der Fibonacci-Folge.
Übrigens: Die Fibonacci-Folge beschreibt auch noch andere Bestandteile der Natur: z. B. die Struktur mancher Blätter.
Fibonacci-Folge — Häufigste Fragen
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Was ist die Fibonacci-Folge?
Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Zahlenfolge. Wenn du beide vorherigen Folgenglieder addierst, entsteht so das nächste Folgenglied.
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Was hat die Fibonacci-Folge mit Hasen zu tun?
Leonardo von Pisa, auch Fibonacci genannt, hat sich bei der Entdeckung der Zahlenfolge am Wachstum einer Kaninchenpopulation orientiert.
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Wofür braucht man die Fibonacci-Folge?
Die Zahlen der Fibonacci-Folge werden zum Beispiel bei der Gestaltung von Buchcovern verwendet, um die Anordnung der geometrischen Formen optimal zu gestalten. Außerdem findest du die Fibonacci-Zahlen auch in der Natur, zum Beispiel bei Pflanzen und ihrer Blattstruktur.
Wer hat Mathe erfunden?
Hast du dich schon einmal gefragt, wer Mathe eigentlich erfunden hat? Dann schau dir gleich das Video dazu an.
