Lineare Algebra

Gaußsche Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene erlaubt es dir, komplexe Zahlen anschaulich darzustellen. Wie genau das funktioniert, erfährst du in diesem Beitrag. Unser Video  zur Gaußschen Zahlenebene erklärt dir das Wichtigste in kurzer Zeit.

Inhaltsübersicht

Gaußsche Zahlenebene einfach erklärt  

Die Gaußsche Zahlenebene ermöglicht es dir, komplexe Zahlen  wie

z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}

als Punkte oder Vektoren zu veranschaulichen. Du nimmst ein Paar an Zahlen (\textcolor{blue}{x},\textcolor{red}{y}) und trägst es in ein Koordinatensystem ein.

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Gaußsche Zahlenebene mit einer komplexen Zahl z.

Der Unterschied zum kartesischen Koordinatensystem liegt in den folgenden Übergängen

x-Achse \longrightarrow reelle Achse,

y-Achse \longrightarrow imaginäre Achse,

\textcolor{blue}{x}-Koordinate \longrightarrow \text{\textcolor{blue}{Realteil}} Re(z) und

\textcolor{red}{y}-Koordinate \longrightarrow \text{\textcolor{red}{Imaginärteil}} Im(z).

Komplexe Zahlen in Gaußsche Zahlenebene darstellen  

Schauen wir uns an, wie genau du eine gegebene komplexe Zahl in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnest. Nehmen wir an, dass du die komplexe Zahl 

z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}

gegeben hast. Damit du diese Zahl in die komplexe Zahlenebene eintragen kannst, brauchst du ihren \text{\textcolor{blue}{Realteil}} Re(z) und ihren \text{\textcolor{red}{Imaginärteil}} Im(z). Für z bekommst du 

Re(z) = \textcolor{blue}{x}    und    Im(z) = \textcolor{red}{y}.

Mit diesen beiden Zahlen bildest du das Paar (\textcolor{blue}{x},\textcolor{red}{y}).

Jetzt hast du ein Paar an Zahlen, was die komplexe Zahl z repräsentiert. Um dieses Paar an Zahlen in die komplexe Zahlenebene einzuzeichnen, gehst du genauso vor, wie du bisher Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen hast. 

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Beispiel

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Komplexe Zahlen in Gaußsche Zahlenebene einzeichnen.

Schauen wir uns doch ein paar Beispiele dazu an. Beginnen wir mit der komplexen Zahl

\textcolor{orange}{z} = \textcolor{blue}{5} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{4}.

Der dazugehörige Punkt lautet (\textcolor{blue}{5},\textcolor{red}{4}). Das bedeutet, wir müssen vom Ursprung aus zunächst fünf Schritte nach rechts und dann vier Schritte nach oben.

Genauso funktioniert das auch für die komplexen Zahlen w und u:

\textcolor{violet}{w} = -4 + \text{i} \cdot 3

\textcolor{green}{u} = -2 - \text{i} \cdot 3.

Polarkoordinaten

Die Darstellungsmöglichkeit, die wir dir bisher gezeigt haben, ist die sogenannte kartesische Darstellung. Eine weitere Möglichkeit sind die Polarkoordinaten. Du gibst hier nicht x– und y-Koordinaten an, sondern den Abstand r vom Ursprung und den Winkel \theta zur reellen Achse.

z=r(\cos(\theta)+ \text{i}\sin(\theta))=re^{i \theta}

Mehr dazu und wie du zwischen diesen verschiedenen Darstellungen in der Gaußschen Zahlenebene umrechnest, findest du in unserem Beitrag hier .

Gaußsche Zahlenebene komplexe Zahlen  

In diesem Abschnitt schauen wir uns an, wie die Gaußsche Zahlenebene dir dabei helfen kann, die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen besser zu verstehen. 

Addition

Sagen wir du hast die komplexen Zahlen

\textcolor{blue}{z} und \textcolor{red}{w}

gegeben und du möchtest sie addieren. 

In der Gaußschen Zahlenebene kannst du dir die Addition von komplexen Zahlen wie die Vektoraddition vorstellen. Das heißt, du bildest mit den beiden „Vektoren“ \textcolor{blue}{z} und \textcolor{red}{w} ein Parallelogramm. Die Diagonale ist dann das Ergebnis der Addition, also \textcolor{violet}{z+w}.

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Gaußsche Zahlenebene Addition.

Multiplikation

Auch die Multiplikation kannst du dir in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Wenn du das Produkt \textcolor{orange}{z \cdot w} berechnest, dann nimmst du den „Vektor“ z, skalierst seine Länge um die Länge von dem „Vektor“ w, also \lvert w \rvert, und rotierst ihn zusätzlich um den Winkel vom „Vektor“ w, also \theta_w

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Gaußsche Zahlenebene Multiplikation.

Betrag einer komplexen Zahl  

Wir haben bei der Multiplikation von der „Länge“ einer komplexen Zahl gesprochen. Ein anderer Begriff dafür ist der Betrag. Wenn du eine komplexe Zahl z als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene darstellst, dann ist sein Betrag \lvert z \rvert gerade der Abstand vom Punkt zum Ursprung. Oder: Der Betrag ist die Länge des Vektorpfeils, wenn du dir z als Vektor in der komplexen Zahlenebene vorstellst.

Mehr zum Betrag einer komplexen Zahl erfährst du, wenn du dir gleich unser Video dazu anschaust!

Zum Video: Betrag komplexe Zahl
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