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Gleichungen Aufgaben

Wichtige Inhalte in diesem Video

Lineare Gleichungen Aufgabe 1

Quadratische Gleichungen Aufgabe 2

Bruchgleichungen Aufgabe 3

Du möchtest dein Wissen testen und Aufgaben zu Gleichungen lösen? Dann bist du hier genau richtig! In diesem Beitrag und im Video bekommst du verschiedene Aufgaben mit Lösungen.

Inhaltsübersicht

Lineare Gleichungen Aufgabe 1

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Löse die folgenden linearen Gleichungen .

x + 3 = 5 – x
3 · (x – 2) = x
2x + 5 – x + 2 + 2x = 4x – 2x + 1
14 = x + 5 · (x + 6) + 2x – 4 · (3x – 1)

Lösungen Aufgabe 1

Um die linearen Gleichungen zu lösen, musst die Variable x auf die eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen.

$\begin{align*}x + 3 &=5 - x &| + x\\2x + 3 &= 5 &| - 3\\2x &= 2 &| : 2\\x &= 1\end{align*}$
$\begin{align*} 3 · (x - 2) &= x\\3x - 6 &= x &|+ 6\\3x &= x + 6 &| - x\\2x &= 6 &| : 2\\x &= 3\end{align*}$
$\begin{align*}2x + 5 - x + 2 + 2x &= 4x - 2x + 1\\3x + 7 &= 2x + 1 &| -7\\ 3x &= 2x - 6 &| - 2x\\x &= -6\end{align*}$
$\begin{align*}14 &= x + 5 · (x + 6) + 2x - 4 · (3x - 1)\\ 14 &= x + 5x + 30 + 2x - 12x + 4\\14 &= -4x + 34 &|-34\\-20 &= -4x &| : (-4)\\x &= 5\end{align*}$

Weitere Aufgaben zu linearen Funktionen findest du in einem anderen Artikel.

Quadratische Gleichungen Aufgabe 2

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Löse die folgenden quadratischen Gleichungen .

x² = 25x
(x + 1)(x – 2) = 0
(x – 2)² = 16
5 · (x + 1)² = x

Lösungen Aufgabe 2

Um quadratische Gleichungen zu lösen , benötigst du für manche Aufgaben den Satz vom Nullprodukt , die Mitternachtsformel oder binomische Formeln .

$\begin{align*}x^{2} &= 25x &| - 25x\\x^{2} - 25x &= 0\\x \cdot(x - 25) &= 0 &| \text{ Satz vom Nullprodukt}\\x_{1} &= 0\\x_{2} &= 25\end{align*}$
$\begin{align*}(x + 1)(x - 2) &= 0 &| \text{ Satz vom Nullprodukt}\\x_{1} &= -1\\x_{2} &= 2\end{align*}$
$(x - 2)^{2} = 16\quad | \text{ Wurzel ziehen}$

Dadurch entstehen die Lösungen – 4 und + 4 von der Wurzel 16 .

$\begin{align*}x - 2 &= - 4 &| + 2\\x_{1} &= -2\\\\x - 2 &= + 4 &| + 2\\x_{2} &= 6\end{align*}$
$\begin{align*}5\cdot(x + 1)^{2} &= - x &| \text{ 1. Binomische Formel}\\5\cdot(x^{2} + 2x + 1) &= -x &| \text{ Klammer auflösen}\\5x^{2}+ 10x + 5 &= - x&|+x\\5x^{2} + 11x + 5 &= 0 &|\text{ Mitternachtsformel}\\x_{1,2} &= \cfrac{- 11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot5\cdot5}}{2\cdot5}\\x_{1} &= - 1,56\\x_{2} &= - 0,64\end{align*}$

Bruchgleichungen Aufgabe 3

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Löse folgende Bruchgleichungen und gibt die Lösungsmenge an.

$\cfrac{1}{x}$ + 2 = $\cfrac{9}{x}$
$\cfrac{4}{x}\cdot\cfrac{3}{2}$ = 6
$\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{3} = \cfrac{5}{6}$
$\cfrac{2x + 4}{8} = \cfrac{8x - 7}{20}$

Lösungen Aufgabe 3

Um Bruchgleichungen zu lösen, musst du darauf achten, dass du keine Zahl aus dem Zähler heraus multiplizierst.

$\begin{align*}\cfrac{1}{x} + 2 &= \cfrac{9}{x} &| - \cfrac{1}{x}\\2 &= \cfrac{8}{x} &| \cdot x\\2x &= 8 &| : 2\\x &= 4\\L &= \{4\}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{4}{x}\cdot\cfrac{3}{2} &= 6 &| \cdot \cfrac{2}{3}\\\cfrac{4}{x} &= 4 &| \cdot x\\4 &= 4x &| : 4\\x &= 1\\L &= \{1\}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{3} &= \cfrac{5}{6} &| \cdot 2\\\cfrac{x}{3} &= \cfrac{10}{6} &| \cdot 3\\x &= \cfrac{30}{6}\\x &= 5\\L &= \{5\}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{2x + 4}{8} &= \cfrac{8x - 7}{20} &| \cdot 8\\2x + 4 &= \cfrac{64x - 56}{20} &| \cdot 20\\40x + 80 &= 64x - 56 &| + 56\\40x + 136 &= 64x &| - 40 x\\136 &= 24x &| : 24\\ x &=\cfrac{17}{3}\\L &= \left\{\left\cfrac{17}{3}\right\}\right\end{align*}$

Gleichungen umstellen Aufgabe 4

Stelle die Gleichungen nach a um .

$\cfrac{b}{a}$ = c
A = $\frac{1}{2}$ · b · a
A = π · a²
$\cfrac{b}{2\cdot\pi\cdot a} = \cfrac{\alpha}{360\degree}$

Lösungen Aufgabe 4

Um die Gleichungen umzustellen, musst du a alleine und den Rest der Gleichung auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen.

$\begin{align*}\cfrac{b}{a}&= c &| \cdot a\\ b &= c \cdot a &| : c\\a &= \cfrac{b}{c}\end{align*}$
$\begin{align*}A &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot a &| \cdot2\\ A \cdot 2 &= b \cdot a &| : b\\a &= \cfrac{A\cdot2}{b}\end{align*}$
$\begin{align*}A &= \pi \cdot a^{2} &| : \pi\\ \cfrac{A}{\pi} &= a^{2} &| \text{ Wurzel ziehen}\\a &= \sqrt{\cfrac{A}{\pi}}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{b}{2\cdot\pi\cdot a} &= \cfrac{\alpha}{360\degree} &| \cdot a\\ \cfrac{b}{2\cdot\pi} &= \cfrac{\alpha}{360\degree} \cdot a &| \cdot\cfrac{360\degree}{\alpha}\\a &= \cfrac{b\cdot360\degree}{2\cdot\pi\cdot\alpha}\end{align*}$

Quiz zum Thema Gleichungen Aufgaben

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

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