Induktive Statistik

Fehler 1. Art (Alphafehler)

Dieser Beitrag behandelt den Fehler 1. Art und damit Situationen, in denen die Nullhypothese als Teil des Hypothesentests fälschlicherweise verworfen wird. Im Folgenden liefern wir dir nicht nur ein anschauliches Beispiel für eine solche Situation, sondern stellen dir im Zuge dessen auch den Fehler 2. Art als Gegenstück vor.

In unserem Video werden dir der Fehler 1. und 2. Art auch visuell anschaulich erklärt!

Inhaltsübersicht

Fehler 1. Art einfach erklärt

Beim Treffen von Entscheidungen können Menschen nicht nur in ganz alltäglichen Situationen Fehler unterlaufen. Auch in der Statistik und im Zusammenhang mit dem Durchführen von Tests können schlussendlich Fehler auftreten, ganz besonders wenn man sich im Zuge des Hypothesentests nach langen Testverfahren endgültig für die Nullhypothese oder eben die Alternativhypothese entscheiden soll. Die Art dieser Fehler kann etwa aus mehreren Faktoren resultieren: die Stichprobe hat die Grundgesamtheit nicht repräsentativ genug abgebildet oder es wurden vorschnelle Schlüsse bezüglich der Hypothesenbildung getroffen.

Konkret gibt es bei Hypothesentests vier Möglichkeiten, wie die Entscheidung ausfallen kann und was sie für das Ergebnis des Testverfahrens bedeutet:

  Die Nullhypothese ist wahr Die Nullhypothese ist falsch
Ergebnis der Stichprobe liegt im Annahmebereich der Nullhypothese Die getroffene Entscheidung ist richtig. (Annahme und die Nullhypothese ist wahr) Die getroffene Entscheidung ist falsch. (Annahme, aber die Nullhypothese ist falsch)

Fehler 2. Art
Ergebnis der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese Die getroffene Entscheidung ist falsch. (Ablehnung, aber die Nullhypothese ist wahr)

Fehler 1. Art
Die getroffene Entscheidung ist richtig. (Ablehnung und die Nullhypothese ist falsch)

Richtige Entscheidungen bezogen auf deine Hypothesen triffst du dann, wenn du die Nullhypothese beibehältst und sie wahr ist oder wenn du die Alternativhypothese annimmst und diese wahr ist. Fehler bei der Entscheidung machst du in den asymmetrischen Fällen: du behältst die Nullhypothese bei, obwohl stattdessen die Alternativhypothese wahr ist oder du nimmst die Alternativhypothese an, obwohl die Nullhypothese wahr gewesen wäre.

Wie die beiden genannten Fehlerarten nun als Fehler 1. und 2. Art, die du alternativ auch als Alpha und Beta Fehler bezeichnen kannst, zu kategorisieren sind und auf welche Art und Weise sie dir unterlaufen können, zeigt dir ein einfaches alltägliches Beispiel im nächsten Abschnitt.

Fehler 1. und 2. Art

Grundsätzlich ist in unserer Gesellschaft das Tragen eines Rings am Ringfinger ein verlässliches Zeichen dafür, ob ein Mensch verheiratet ist oder nicht. Allerdings kann man diesem Umstand nicht immer zu 100% vertrauen, wie das folgende Beispiel zeigen wird. Bei einem Spaziergang durch den städtischen Park begegnen dir ein Mann ohne Ehering und eine Frau, die mehrere Ringe an der Hand trägt, einen davon sogar am Ringfinger. Auf Grundlage deiner Vorkenntnisse über die Ehe und die Verknüpfung mit Eheringen kategorisierst du den Mann als unverheiratet und die Frau als verheiratet. Im Fall des Mannes hast du die Nullhypothese „Eine Person ist verheiratet“ also auf Grundlage deiner Beobachtung abgelehnt, im Falle der Frau hast du sie beibehalten.

Du bist ein offener Mensch und verwickelst beide in eine nette Konversation. Der Mann erzählt dir, dass er seit langem verheiratet ist, jedoch keinen Ehering trägt, da er ihn vor Jahren verloren hat. Du hast bei deiner Einschätzung also den Fehler 1. Art begangen: mit der Annahme, dass er unverheiratet ist, hast du die Nullhypothese „eine Person ist verheiratet“ abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Die Frau erzählt dir ihrerseits, dass sie gerne viel Schmuck trägt, aber unverheiratet ist. Bei deiner Einschätzung über sie hast du demnach den Fehler 2. Art begangen: du hast die Nullhypothese, nämlich dass die Frau verheiratet ist, als wahr beibehalten. Die Annahme hat sich jedoch als falsch herausgestellt, weil der von dir gewählte Indikator Ring bei ihr nicht als Symbol der Ehe fungiert.

kein Ring: nicht verheiratet ⇒ falsch negative Entscheidung: Fehler 1. Art

Ring: verheiratet ⇒ falsch positive Entscheidung: Fehler 2. Art

Im Allgemeinen kannst du dir also folgende Regel merken: Ein Fehler 1. Art bzw. Alpha Fehler liegt dann vor, wenn die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird und die Alternativhypothese angenommen wird. Umgekehrt liegt ein Fehler 2. Art bzw. Beta Fehler dann vor, wenn die Nullhypothese fälschlicherweise beibehalten wird, obwohl die Alternativhypothese wahr ist.

Fehler 1. Art und 2. Art -Tabelle zur Veranschaulichung
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Fehler 1. Art und 2. Art – Tabelle zur Veranschaulichung

Zum Fehler 1. Art kannst du dir zusätzlich noch Folgendes merken: Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, entspricht immer maximal dem Signifikanzniveau \alpha und liegt niemals darüber. Er steht also in direktem Zusammenhang mit dem Signifikanzniveau , über das du im zugehörigen Video näheres erfahren kannst.

Die Verschränkung zwischen dem Fehler 1. und 2. Art (Alpha und Beta Fehler), dem Signifikanzniveau und dem Hypothesenpaar lernst du im folgenden Absatz durch ein Beispiel für einen Hypothesentest noch näher kennen.

Hypothesentest Fehler 1. Art

Zur Erinnerung: Die Aufgabe von Hypothesentests liegt primär darin, die Übertragung von Ergebnissen einer Stichprobe auf die zugrunde liegende Grundgesamtheit statistisch zu überprüfen und zu gewährleisten. Bei aller Übertragbarkeit muss bei jeder Art des Hypothesentests auch immer bedacht werden, dass bei der Entscheidung für eine der beiden zur Verfügung stehenden Hypothesen Fehler auftreten können. Dabei kann einerseits der Fehler 1. Art (Alpha Fehler) und andererseits der Fehler 2. Art (Beta Fehler) auftreten.

Stellen wir uns Folgendes vor: eine Partei will testen, ob ein möglicher Kandidat für die Kanzlerwahl kurz vor seiner Nominierung immer noch eine Zustimmung von mindestens 30% aufweisen kann, die ihm bei einem bereits durchgeführten Test bescheinigt wurde. Ein passendes Hypothesenpaar würde folgendermaßen aussehen:

H_1: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei unter 30%.                                 H_1: p < 0,3

H_0: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei mindestens 30%.                     H_0: p \geq 0,3

Die Fehler, die aus dieser Fragestellung im Zuge eines Hypothesentests resultieren können, würden sich so darstellen:

Fehler 1. Art: Wir kommen zu dem Schluss, dass der Kandidat an Zustimmung verloren hat (somit Ablehnung der H_0), obwohl seine Zustimmung immer noch bei mindestens 30% liegt

Fehler 2. Art: Wir kommen zu dem Schluss, dass der Kandidat immer noch eine Zustimmung von mindestens 30% aufweist (somit Beibehaltung der H_0), obwohl die Zustimmung für ihn gesunken ist.

Fehler 1. Art berechnen

Weder der Fehler 1. Art noch der Fehler 2. Art lassen sich auf direktem Weg berechnen. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind essenziell abhängig von der Lage und Größe der Annahme- und Ablehnungsbereiche für die jeweiligen Hypothesen. Doch welchem der beiden Fehler sollte mehr Beachtung geschenkt werden?

Meist wird es als wichtiger angesehen, den Fehler 1. Art zu kontrollieren. Das ist über die Festlegung des Signifikanzniveaus auch im Bereich des Möglichen. Wenn also ein Hypothesentest durchgeführt wird, kannst du als Forscher beispielsweise insofern Kontrolle ausüben, als dass mit einer Wahrscheinlichkeit von nur annähernd 5% die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt und somit ein Fehler 1. Art begangen werden soll. Dabei muss dir jedoch auch die Kehrseite dieser Entscheidung bewusst sein: eine Kontrolle des Fehler 1. Art, die mit einer Begrenzung des Signifikanzniveaus einhergeht, lässt parallel die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 2. Art zu begehen, ansteigen. Den Fehler 2. Art kannst du im Gegenzug leider auch nicht durch spezielle Maßnahmen wieder eindämmen.

Du kannst dir also abschließend merken: Der Fehler 1. Art bzw. Alpha Fehler sollte so gut es geht vermieden werden und ist direkt kontrollierbar über die Ansetzung eines bestimmten Signifikanzniveaus. Den Fehler 2. Art bzw. Beta Fehler kannst du hingegen nicht direkt kontrollieren bzw. eindämmen. Aber: kontrollierst du den Fehler 1. Art, wirkt sich das auch auf die Höhe des Fehlers 2. Art aus und dieser ändert sich ebenfalls.

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