Ist Cramers V eine Effektstärke?

Cramers V ist eine Effektstärke für den Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Variablen, weil es die Stärke der Abweichung von Unabhängigkeit in einem Wert zwischen 0 und 1 ausdrückt. In Berichten wird Cramers V deshalb oft als Effektstärkenmaß zum χ²-Test angegeben.

Was ist der Unterschied zwischen Cramers V und Chi-Quadrat?

Chi-Quadrat (χ²) ist eine Prüfgröße, die aus beobachteten und erwarteten Häufigkeiten berechnet wird und mit der Stichprobengröße wächst. Cramers V nutzt χ², skaliert es aber so, dass ein vergleichbarer Zusammenhangswert zwischen 0 und 1 entsteht, auch bei unterschiedlichen Tabellengrößen.

Was bedeutet ein Cramers V von 1?

Ein Cramers V von 1 bedeutet einen perfekten Zusammenhang: Aus der Ausprägung der einen Variablen lässt sich die Ausprägung der anderen ohne Fehler ableiten. In der Kontingenztabelle hätten die Kategorien dann keine „Durchmischung“, sondern jede Zeile wäre auf genau eine Spalte festgelegt.

Warum nimmt man bei Cramers V die kleinere Zahl aus den Werten Zeilen minus 1 und Spalten minus 1?

Bei Cramers V nimmt man „min(k−1, m−1)“, weil die maximal mögliche Stärke des Zusammenhangs durch die kleinere Tabellenrichtung begrenzt ist. Die Skalierung mit der kleineren Zahl sorgt dafür, dass V unabhängig von der Form der k×m-Tabelle höchstens 1 werden kann.

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Cramers V

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist Cramers V?

(00:12)

Cramers V berechnen: Beispiel

(01:16)

Du möchtest wissen, was Cramers V ist und wie du es berechnen kannst? Hier und in unserem Video erklären wir es dir anhand von einem Beispiel!

Inhaltsübersicht

Was ist Cramers V?

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(00:12)

Cramers V ist ein Maß dafür, wie groß der Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Variablen ist. Das kann zum Beispiel der Zusammenhang zwischen Geschlecht und Hobby sein.

Der Wert von Cramer’s V liegt dabei immer zwischen 0 und 1. Dabei gilt: je höher der Wert, desto größer der statistische Zusammenhang!

Cramers V, Cramer's V, Cramers V berechnen, Cramersches Kontigenzmaß — Cramers V interpretieren

Hast du eine k×m–Tabelle der Merkmalsausprägungen mit k Zeilen und m Spalten gegeben, kannst du Cramers V ganz leicht berechnen und interpretieren:

Bestimme mithilfe der Tabelle zuerst Chi-Quadrat (X² )
Berechne damit Cramers V, wobei
$V = \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{\chi^2}}{\text{Stichprobengröße} \cdot \text{min}(\textcolor{red}{k}-1, \textcolor{olive}{m}-1)}}$
Interpretiere dein Ergebnis mithilfe der Skala.

Das ging dir zu schnell? Im Folgenden siehst du ein ganz ausführliches Beispiel!

Cramers V berechnen: Beispiel

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(01:16)

Du möchtest herausfinden, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und dem Hobby einer Person gibt. Dazu befragst du in deinem Bekanntenkreis 70 Jungen und 50 Mädchen, ob sie lieber lesen, Computerspiele spielen oder Sport machen. Die Stichprobengröße beträgt also insgesamt 120.

Dabei hältst du deine beobachteten Häufigkeiten in folgender Kontingenztabelle fest.

	lesen	Computerspiele	Sport	Summe (Zeile)
Jungen	11	33	26	70
Mädchen	15	17	18	50
Summe (Spalte)	26	50	44	120

Übrigens: Im Gegensatz zum Phi Koeffizient kannst du Cramer’s V auch berechnen, wenn ein Merkmal mehr als 2 Ausprägungen hat (hier das Merkmal Hobby).

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1. Chi Quadrat berechnen

Um Cramers V zu berechnen, musst du davor X² bestimmen.

Stelle dazu zuerst eine sogenannte Indifferenztabelle auf. Sie gibt die erwarteten Häufigkeiten an. Das sind die Häufigkeiten, die du erhalten würdest, wenn Geschlecht und Hobby komplett unabhängig wären.
Für die Einträge der Felder gilt:
$\text{Zeile x, Spalte y} = \frac{\textcolor{red}{\text{Summe Zeile x}} \cdot \textcolor{olive}{\text{ Summe Spalte y}}}{\text{Stichprobengröße 120}}$

	lesen	Computerspiele	Sport	Summe (Zeile)
Jungen	$\frac{70 \cdot 26}{120}$ = 15,2	$\frac{70 \cdot 50}{120}$ = 29,2	$\frac{70 \cdot 44}{120}$ = 25,7	70
Mädchen	$\frac{50 \cdot 26}{120}$ = 10,8	$\frac{50 \cdot 50}{120}$ = 20,8	$\frac{50 \cdot 44}{120}$ = 18,3	50
Summe (Spalte)	26	50	44	120

Damit kannst du X² jetzt leicht bestimmen. Dazu gehst du jedes der 6 Tabellenfelder (z.B. Jungen – lesen) durch und rechnest dafür
$\frac{(\text{beobachtete Häufigkeit} - \text{erwartete Häufigkeit})^2}{\text{erwartete Häufigkeit}}$
Die beobachtete Häufigkeit bekommst du aus der ursprünglichen Tabelle, die erwartete Häufigkeit aus der Indifferenztabelle. Für das Feld Jungen – lesen bekommst du also
$\frac{(11 - 15,2)^2}{15,2}$
Um X² zu erhalten, addierst du anschließend die Ergebnisse für jedes Feld:
$\begin{align*} \textcolor{blue}{\chi^2} &= \sum{\frac{(\text{beobachtete Häufigkeit} - \text{erwartete Häufigkeit})^2}{\text{erwartete Häufigkeit}}} \\ &= \frac{(11 - 15,2)^2}{15,2} + \frac{(33 - 29,2)^2}{29,2} + \frac{(26 - 25,7)^2}{25,7} \\ &~~+ \frac{(15 - 10,8)^2}{10,8} + \frac{(17 - 20,8)^2}{20,8} + \frac{(18 - 18,3)^2}{18,3} \\ &= 3,99 \end{align*}$

2. Cramers V berechnen

Mithilfe deines X²-Wertes kannst du jetzt ganz einfach Cramer’s V berechnen. Die Formel dazu lautet:

$V = \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{\chi^2}}{\text{Stichprobengröße} \cdot \text{min}(\textcolor{red}{k}-1, \textcolor{olive}{m}-1)}}$

Du weißt:

X² = 3,99
Stichprobengröße = 120
Zeilenanzahl k = 2, Spaltenanzahl m = 3.

Also bekommst du:

$\begin{align*} V &= \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{3,99}}{120 \cdot \text{min}(\textcolor{red}{2}-1, \textcolor{olive}{3}-1)}} \\ &=\sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{3,99}}{120 \cdot 1 }} \\ &= 0,18\end{align*}$

3. Cramers V interpretieren

Zuletzt musst du deinen berechneten Wert von V = 0,18 nur noch interpretieren. Dabei hilft dir die Skala von oben:

In deinem Bekanntenkreis gibt es also einen schwachen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Hobby!

Pearson Korrelation

Übrigens: Da der Wert des cramerschen Kontigenzmaß immer positiv ist, kann er nur eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs treffen, nicht aber über die Richtung!

Anders ist das bei der Pearson Korrelation, bei der der Korrelationskoeffizient r zwischen -1 und 1 liegt. Du möchtest mehr über die Pearson Korrelation erfahren? Dann schau dir direkt unser Video dazu an!

Cramers V — häufigste Fragen

(ausklappen)

Ist Cramers V eine Effektstärke?

Cramers V ist eine Effektstärke für den Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Variablen, weil es die Stärke der Abweichung von Unabhängigkeit in einem Wert zwischen 0 und 1 ausdrückt. In Berichten wird Cramers V deshalb oft als Effektstärkenmaß zum χ²-Test angegeben.
Was ist der Unterschied zwischen Cramers V und Chi-Quadrat?

Chi-Quadrat (χ²) ist eine Prüfgröße, die aus beobachteten und erwarteten Häufigkeiten berechnet wird und mit der Stichprobengröße wächst. Cramers V nutzt χ², skaliert es aber so, dass ein vergleichbarer Zusammenhangswert zwischen 0 und 1 entsteht, auch bei unterschiedlichen Tabellengrößen.
Was bedeutet ein Cramers V von 1?

Ein Cramers V von 1 bedeutet einen perfekten Zusammenhang: Aus der Ausprägung der einen Variablen lässt sich die Ausprägung der anderen ohne Fehler ableiten. In der Kontingenztabelle hätten die Kategorien dann keine „Durchmischung“, sondern jede Zeile wäre auf genau eine Spalte festgelegt.
Warum nimmt man bei Cramers V die kleinere Zahl aus den Werten Zeilen minus 1 und Spalten minus 1?

Bei Cramers V nimmt man „min(k−1, m−1)“, weil die maximal mögliche Stärke des Zusammenhangs durch die kleinere Tabellenrichtung begrenzt ist. Die Skalierung mit der kleineren Zahl sorgt dafür, dass V unabhängig von der Form der k×m-Tabelle höchstens 1 werden kann.

Zusammenhangsmaße verstehen

Cramers V ist ein Zusammenhangsmaß aus der Statistik und gehört zu den Maßen für den Zusammenhang zwischen Variablen. Wer sich mit Zusammenhangsmaßen beschäftigt, vergleicht verschiedene Maße und ordnet sie nach Skalenniveau, Stärke und Aussage ein. So wird klar, welches Maß zu einer Tabelle, zu Datenwerten oder zu einem bestimmten Datentyp passt. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.

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