Induktive Statistik
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Du möchtest wissen, was Cramers V ist und wie du es berechnen kannst? Hier und in unserem Video erklären wir es dir anhand von einem Beispiel!

Was ist Cramers V?

Cramers V ist ein Maß dafür, wie groß der Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Variablen ist. Das kann zum Beispiel der Zusammenhang zwischen Geschlecht und Hobby sein.

Der Wert von Cramer’s V liegt dabei immer zwischen 0 und 1. Dabei gilt: je höher der Wert, desto größer der statistische Zusammenhang!

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Cramers V interpretieren

Hast du eine k×mTabelle der Merkmalsausprägungen mit k Zeilen und m Spalten gegeben, kannst du Cramers V ganz leicht berechnen und interpretieren:

  1. Bestimme mithilfe der Tabelle zuerst Chi-Quadrat (X2 )
  2. Berechne damit Cramers V, wobei

        \[ V = \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{\chi^2}}{\text{Stichprobengröße} \cdot \text{min}(\textcolor{red}{k}-1, \textcolor{olive}{m}-1)}} \]

  3. Interpretiere dein Ergebnis mithilfe der Skala.

Das ging dir zu schnell? Im Folgenden siehst du ein ganz ausführliches Beispiel!

Cramers V berechnen: Beispiel

Du möchtest herausfinden, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und dem Hobby einer Person gibt. Dazu befragst du in deinem Bekanntenkreis 70 Jungen und 50 Mädchen, ob sie lieber lesen, Computerspiele spielen oder Sport machen. Die Stichprobengröße beträgt also insgesamt 120.

Dabei hältst du deine beobachteten Häufigkeiten in folgender Kontingenztabelle fest.

  lesen Computerspiele Sport Summe (Zeile)
Jungen 11 33 26 70
Mädchen 15 17 18 50
Summe (Spalte) 26 50 44 120

Übrigens: Im Gegensatz zum Phi Koeffizient kannst du Cramer’s V auch berechnen, wenn ein Merkmal mehr als 2 Ausprägungen hat (hier das Merkmal Hobby).

1. Chi Quadrat berechnen

Um Cramers V zu berechnen, musst du davor X2 bestimmen.

  • Stelle dazu zuerst eine sogenannte Indifferenztabelle auf. Sie gibt die erwarteten Häufigkeiten an. Das sind die Häufigkeiten, die du erhalten würdest, wenn Geschlecht und Hobby komplett unabhängig wären.
    Für die Einträge der Felder gilt:

        \[\text{Zeile x, Spalte y} = \frac{\textcolor{red}{\text{Summe Zeile x}} \cdot \textcolor{olive}{\text{ Summe Spalte y}}}{\text{Stichprobengröße 120}} \]


  lesen Computerspiele Sport Summe (Zeile)
Jungen \frac{70 \cdot 26}{120} = 15,2 \frac{70 \cdot 50}{120} = 29,2 \frac{70 \cdot 44}{120} = 25,7 70
Mädchen \frac{50 \cdot 26}{120} = 10,8 \frac{50 \cdot 50}{120} = 20,8 \frac{50 \cdot 44}{120} = 18,3 50
Summe (Spalte) 26 50 44 120
  • Damit kannst du X2 jetzt leicht bestimmen. Dazu gehst du jedes der 6 Tabellenfelder (z.B. Jungenlesen) durch und rechnest dafür

        \[ \frac{(\text{beobachtete Häufigkeit} - \text{erwartete Häufigkeit})^2}{\text{erwartete Häufigkeit}}\]

    Die beobachtete Häufigkeit bekommst du aus der ursprünglichen Tabelle, die erwartete Häufigkeit aus der Indifferenztabelle. Für das Feld Jungenlesen bekommst du also

        \[ \frac{(11 - 15,2)^2}{15,2} \]

    Um X2 zu erhalten, addierst du anschließend die Ergebnisse für jedes Feld:

        \begin{align*} \textcolor{blue}{\chi^2} &= \sum{\frac{(\text{beobachtete Häufigkeit} - \text{erwartete Häufigkeit})^2}{\text{erwartete Häufigkeit}}} \\ &= \frac{(11 - 15,2)^2}{15,2} + \frac{(33 - 29,2)^2}{29,2} + \frac{(26 - 25,7)^2}{25,7} \\ &~~+ \frac{(15 - 10,8)^2}{10,8} + \frac{(17 - 20,8)^2}{20,8} + \frac{(18 - 18,3)^2}{18,3} \\ &= 3,99 \end{align*}

2. Cramers V berechnen

Mithilfe deines X2-Wertes kannst du jetzt ganz einfach Cramer’s V berechnen. Die Formel dazu lautet:

    \[ V = \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{\chi^2}}{\text{Stichprobengröße} \cdot \text{min}(\textcolor{red}{k}-1, \textcolor{olive}{m}-1)}} \]

Du weißt:

  • X2 = 3,99
  • Stichprobengröße = 120
  • Zeilenanzahl k = 2, Spaltenanzahl m = 3.

Also bekommst du:

    \begin{align*} V &= \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{3,99}}{120 \cdot \text{min}(\textcolor{red}{2}-1, \textcolor{olive}{3}-1)}} \\ &=\sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{3,99}}{120 \cdot 1 }} \\ &= 0,18\end{align*}

3. Cramers V interpretieren

Zuletzt musst du deinen berechneten Wert von V = 0,18 nur noch interpretieren. Dabei hilft dir die Skala von oben:

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Cramers V interpretieren

In deinem Bekanntenkreis gibt es also einen schwachen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Hobby!

Pearson Korrelation

Übrigens: Da der Wert des cramerschen Kontigenzmaß immer positiv ist, kann er nur eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs treffen, nicht aber über die Richtung!

Anders ist das bei der Pearson Korrelation, bei der der Korrelationskoeffizient r zwischen -1 und 1 liegt. Du möchtest mehr über die Pearson Korrelation erfahren? Dann schau dir direkt unser Video dazu an!

Zum Video: Pearson Korrelation
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