Induktive Statistik

Konfidenzintervall Übung

 Was berechne ich ein Konfidenzintervall? Wenn du zwar mittlerweile darüber Bescheid weißt, was ein Konfidenzintervall aussagt, aber bei der Berechnung noch mehr Übung brauchst, dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir besonders ausführlich, wie du das Konfidenzintervall berechnen kannst. Dafür führen wir dich in vier wesentlichen Schritten durch die Berechnung und sorgen so dafür, dass du Routine im Umgang mit der z-Transformation, dem Konfidenzniveau und dem Standardfehler bekommst.

Mit unserem Video  „Konfidenzintervall Übung“ wirst du die Berechnung des Konfidenzintervalls in Zukunft problemlos meistern!

Inhaltsübersicht

Konfidenzintervall Beispiel

Man legt vor dem Start der Berechnung das angestrebte Konfidenzniveau fest, also mit welcher Wahrscheinlichkeit der wahre Mittelwert im bestimmten Konfidenzintervall liegen soll. Häufig richtet man sich hier an 95% aus, weshalb dieser Wert auch für das Beispiel gilt. Für dieses Beispiel ziehen wir uns Daten einer fiktiven Erhebung zum Pizzakonsum von Studenten heran. Hierbei betrachten wir die Ausgaben in € pro Monat pro Student anhand einer Stichprobengröße von 100 Studenten.

Ein Konfidenzintervall besitzt immer zwei Endpunkte, die es vom Bereich der Irrtumswahrscheinlichkeit abgrenzen, weshalb du genau genommen zwei Formeln benötigst. Um das Intervall zu berechnen, benötigst du also die Werte für die sogenannte Ober- und Untergrenze. Die endgültigen Formeln zur Berechnung der Ober- und Untergrenze lauten so:

x_u=\ \bar{x}+\ z_u\ \cdot\ \frac{s_x}{\sqrt n}

x_o=\ \bar{x}+\ z_o\ \cdot\ \frac{s_x}{\sqrt n}

Hierbei stehen x_u und x_o respektive für die Untergrenze und die Obergrenze. \bar{x} bezeichnet den Mittelwert des Datensatzes, z_u und z_o sind die z-transformierten Intervallgrenzen. Zuletzt wird noch multipliziert mit dem Bruch aus dem Standardfehler s_x und der Wurzel aus der Stichprobengröße n.

Das Ziel der Berechnungen ist es, ein Konfidenzintervall um den geschätzten Mittelwert dieser Werte zu bestimmen, um so die Lage des wahren Mittelwerts der Grundgesamtheit einzugrenzen. Man bewegt sich mit unserem Beispiel des studentischen Pizzakonsums auf der Normalverteilung, da ab einer Stichprobengröße von 50 von der t-Verteilung auf die Normalverteilung approximiert werden kann. Sind alle wichtigen Eckdaten und Voraussetzungen gesammelt und festgelegt, kann in die Berechnung gestartet werden.

Schritt 1: Berechnung des geschätzten Parameters

Das Konfidenzintervall soll sich in diesem Beispiel um den folgenden geschätzten Parameter der Stichprobe aufspannen: den Mittelwert. Daher muss dieser in einem ersten Schritt berechnet werden. Aufgrund der hohen Stichprobengröße werden zur Vereinfachung gruppierte Daten verwendet.

Anzahl Befragte Ausgaben/Monat
20 8€
30 32€
10 0€
30 48€
10 16€

 

\bar{x}=\frac{20\cdot8+30\cdot32+10\cdot0+30\cdot48+10\cdot16}{100}=27,2

 

Für dieses Beispiel liegt der Mittelwert folglich bei \bar{x} = 27,20€.

Schritt 2: z-Transformation der Intervallgrenzen

Durch das festgelegte Konfidenzniveau von 95% ergeben sich die folgenden Intervallgrenzen: die Untergrenze liegt bei a=2,5 % und die Obergrenze bei b=97,5 %. Diese Werte muss man nun standardisieren und hierfür in der z-Verteilungstabelle nachschlagen.

0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995
z-Wert 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576

Für die gesuchte Obergrenze lässt sich der z-Wert ganz einfach ablesen, denn er ist in Dezimalform als 0,975 in der Tabelle zu finden. Der Wert für die Untergrenze ist in der Tabelle nicht abgebildet, lässt sich aber folgendermaßen ermitteln:

a-1 = 0,025 - 1 = - 0,975

Da die Normalverteilung symmetrisch und an der x-Achse gespiegelt ist, kann man einfach den Wert für die Obergrenze, also 0,975 = 1,960, ablesen und hierzu den Gegenwert, also - 1,960, bilden. Somit sind also die z-transformierten Werte für die Ober- und Untergrenze des Konfidenzintervalls ermittelt: Sie liegen bei -1,960 für die Untergrenze und 1,960 für die Obergrenze. Mit einem Mittelwert \bar{x} = 27,20€, der Untergrenze z_u= -1,960, der Obergrenze z_o= 1,960 und einer Stichprobengröße von n = 100 sind alle benötigten Parameter für die Formel außer dem Standardfehler s_x gegeben.

Standardfehler

Der Standardfehler ist essenziell nichts anderes als die Standardabweichung einer Stichprobe. Die Bezeichnung wird vor allem zur Abgrenzung von der Standardabweichung der Grundgesamtheit verwendet. Bevor man den Standardfehler berechnen kann, muss allerdings zuerst die Varianz ermittelt werden.

Normalverteilung

Der Standardfehler ergibt sich bekannterweise aus der Wurzel der Varianz. Die Angaben der Befragten wurden zur Veranschaulichung nochmal in einer Tabelle gruppiert.

Anzahl Befragte Ausgaben/Monat
20 8€
30 32€
10 0€
30 48€
10 16€

Schritt 3: Berechnung von Varianz und Standardfehler

Die Varianz lässt sich mit den Werten aus der Tabelle folgendermaßen berechnen:

s_x^2=\ \frac{\left(8-27,2\right)^2\cdot20+\left(32-27,2\right)^2\cdot30+\left(0-27,2\right)^2\cdot10+\left(48-27,2\right)^2\cdot30+\left(16-27,2\right)^2\cdot10}{100}

s_x^2=296,96

  Daraus ergibt sich dann ganz einfach der Standardfehler für den geschätzten Mittelwert:

s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{296,96}=17,23

Schritt 4: Einsetzen der Werte in die Formel

Im letzten Schritt kann man jetzt alle berechneten Werte in die Formeln übertragen.

x_u=\ \bar{x}+\ z_u\ \cdot\ \frac{s_x}{\sqrt n}=27,2+\left(-1,960\right)\cdot\frac{17,23}{\sqrt{100}}=23,82€

x_o=\ \bar{x}+\ z_o\ \cdot\ \frac{s_x}{\sqrt n}=27,2+1,960\cdot\frac{17,23}{\sqrt{100}}=30,58€

Die Grenzen des Kontingenzintervalls befinden sich also an den Punkten 23,82 und 30,58. Demnach befindet sich der wahre mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% innerhalb dieses Bereichs. Die Schlussfolgerung für das Beispiel lautet: Mit einer Sicherheit von 95% liegt der wahre Mittelwert für die monatlichen Pizzaausgaben von Studenten zwischen 23,82€ und 30,58€.

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