Induktive Statistik

Signifikanztest

In diesem Artikel erklären wir dir, was ein Signifikanztest ist. Du erfährst den Unterschied zwischen der Null- und der Alternativhypothese und wir klären den Begriff des Signifikanzniveaus \alpha. Außerdem besprechen wir die Abgrenzung zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen Signifikanztest.

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Inhaltsübersicht

 Signifikanztest einfach erklärt

Bei einem Signifikanztest (auch: Hypothesentest ) soll eine Entscheidung getroffen werden, ob sich ein beobachteter Wert überzufällig stark von einem vorgegebenen Wert unterscheidet. Das heißt einfach, dass man überprüft, ob die Abweichung des beobachteten Wertes vom erwarteten Wert zu groß ist, als dass sie noch zufällig sein kann. Dafür legt man einen Schwellenwert fest, ab dem man annimmt, dass die Abweichung zwischen zwei Werten nicht mehr nur zufällig sein kann. Diese Schwelle wird häufig als kritischer Wert bezeichnet.

Um den kritischen Wert zu finden, musst du zunächst das sogenannte Signifikanzniveau \alpha festlegen. Meistens wird für \alpha \equiv .05 gewählt. Mit Hilfe des Signifikanzniveaus kannst du in einer Tabelle den kritischen Wert nachschlagen. Anschließend vergleichst du den kritischen Wert mit deinem beobachteten Wert. Mit dem Ergebnis aus diesem Vergleich kannst du eine Entscheidung fällen, ob ein überzufälliger Unterschied zwischen dem beobachteten und dem vorgegebenen Wert besteht. Ist das der Fall, spricht man von einem signifikanten Ergebnis.

Signifikanztest Beispiel

Sehen wir uns den Signifikanztest einmal am Beispiel des Binomialtests an. Du weißt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Würfel eine gerade Zahl zu würfeln, bei 50 % liegt.

Als du nun mit einem Freund ein Würfelspiel spielst, fällt dir jedoch auf, dass er deutlich häufiger gerade Augenzahlen würfelt. Theoretisch wären bei 20 Versuchen 10 Würfe mit gerader Augenzahl zu erwarten.  Dein Freund hat jedoch ganze 15 Mal eine gerade Augenzahl gewürfelt. Das kommt dir komisch vor.  Du vermutest, dass dein Freund den Würfel verändert hat, so dass die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl bei mehr als 50 % liegt. Mit Hilfe des Signifikanztests willst du diese Vermutung nun überprüfen.

Nullhypothese und Alternativhypothese

Dein Freund streitet natürlich ab, den Würfel manipuliert zu haben. Seiner Aussage nach handelt es sich bei dem Würfel um einen ganz normales Exemplar mit fünfzigprozentiger Wahrscheinlichkeit für gerade Augenzahlen. Er behauptet, die häufigen geraden Augenzahlen seien einfach durch Zufall entstanden. Seine Aussage bildet die sogenannte Nullhypothese. Die Nullhypothese nimmt an, dass der beobachtete Wert nicht wirklich von dem vorgegebenen Wert abweicht und aufgetretene Unterschiede nur durch Zufallseinflüsse entstanden sind. Mathematisch notierst du die Nullhypothese so: 

Nullhypothese

H_0: p = 0,50

Dein Verdacht bildet hingegen die Alternativhypothese: Du glaubst, dass die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl bei dem Würfel deines Freundes systematisch über 50 % liegt. Mathematisch überprüfen willst du diesen Verdacht anhand der 15 geraden Würfen aus 20 Versuchen.
Die Alternativhypothese wird folgendermaßen notiert: 

Alternativhypothese

H_1: p > 0,50

Signifikanztest: Durchführung

Um den Signifikanztest durchzuführen, benötigst du nun noch das Signifikanzniveau. Das Signifikanzniveau kannst du selbst wählen. In der Regel wird es auf \alpha = .05 festgelegt. Jetzt hast du alle wichtigen Informationen für den Test beisammen:

Neben dem Signifikanzniveau benötigst du zunächst die Gesamtanzahl der betrachteten Fälle. In unserem Beispiel beträgt die Anzahl der betrachteten Fälle N = 20. Des Weiteren brauchst du für die Testdurchführung die sogenannte Trefferanzahl. Die Trefferanzahl ist die Anzahl der Fälle, bei denen das interessierende Ereignis aufgetreten ist. In unserem Beispiel sind das die Würfe mit einer geraden Augenzahl. Folglich beträgt die Trefferanzahl k = 15. Zuletzt notieren wir noch den Wahrscheinlichkeitswert, von dem wir eine Abweichung vermuten:  In unserem Fall ist das p = 0,50

Nun kannst du den kritischen Wert in einer speziellen Tabelle nachschlagen. Zur Erinnerung: Dein Freund hat k = 15 mal eine gerade Augenzahl gewürfelt. Die Tabelle liefert als kritischen Wert k = 14. Das heißt, der beobachte Wert aus dem Würfelspiel liegt über dem kritischen Wert. Folglich entscheiden wir uns für die Alternativhypothese und gegen die Nullhypothese. Es liegt also ein signifikanter Unterschied zwischen dem Wert der zuvor angenommenen Wahrscheinlichkeit und dem Wert der beobachteten relativen Häufigkeit vor. In anderen Worten liefert der Test also Hinweise dafür, dass die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Würfelzahl bei dem fraglichen Würfel mehr als 50% beträgt und dein Freund geschummelt hat. 

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Binomialverteilung für N = 20 und einem Signifikanzniveau von 5%

Signifikanzniveau alpha

In unserem Beispiel hast du ja schon gesehen, dass das Signifikanzniveau \alpha benötigt wird, um den kritischen Wert für die Entscheidung zwischen Null- und Alternativhypothese zu bestimmen. Daneben ist \alpha jedoch auch das Risiko, sich fälschlicherweise für die Alternativhypothese zu entscheiden, obwohl die zwei  betrachteten Werte in Wahrheit nur zufällig voneinander abweichen. Man nennt \alpha deshalb auch Irrtumswahrscheinlichkeit oder das Risiko für den Fehler 1. Art .

Einseitiger und Zweiseitiger Signifikanztest

Vielleicht hast du auch bereits davon gehört, dass man bei einem Signifikanztest einseitig oder zweiseitig testen kann. Doch was bedeutet das?

Bei einem einseitigen Signifikanztest wird untersucht, ob der beobachtete Wert in eine bestimmte Richtung von dem vorgegebenen Wert abweicht. In unserem Beispiel haben wir etwa nur überprüft, ob die Wahrscheinlichkeit für gerade Augenzahlen signifikant größer ist als 50 %. Alternativ hätten wir auch betrachten können, ob die Wahrscheinlichkeit signifikant kleiner ist als 50%, nie aber beides gleichzeitig.

Möchte man allgemein untersuchen, ob ein beobachteter Wert von einem vorgegebenen Wert abweicht, verwendet man einen zweiseitigen Signifikanztest. Bei dieser Testart wird überprüft, ob sich zwei Werte generell unterscheiden, egal ob nach oben oder nach unten. Das heißt, der Test wird signifikant, wenn der beobachtete Wert überzufällig stark größer oder kleiner ist als der vorgegebene Wert. Um einen zweiseitigen Signifikanztest durchzuführen, musst du den Wert deines Signifikanzniveaus halbieren und zwei kritische Werte in der Tabelle nachschlagen.

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